Etablissement des ´ equations du mod` ele continu bidimensionnel
3.1. D ´ ERIVATION DE L’ ´ EQUATION DE LUBRIFICATION 81
(a) Configuration `a d´ebit constant.
(b) Configuration `a volume constant.
Figure3.1 – Repr´esentation 2D d’un film liquide s´ecoulant sur un plan inclin´e d’un angle β et soumis `a un cisaillement gazeuxτix.
Ecoulements ´etudi´es
Les films liquides rencontr´es dans les applications de givrage a´eronautique que nous souhaitons mod´eliser sont des films qui se d´eplacent principalement sous l’effet du cisaille-ment du gaz. Dans ce type de configuration, on peut montrer (voir Annexe A) que les nombres de Reynolds de Froude et de Weber valent respectivement
Re= ρ uo ho
µ ∼1 (3.1a)
F r= u2o
g ho 1 (3.1b)
W e= ρ u2o ho
γlg 1 (3.1c)
avec uo la vitesse moyenne du liquide etho son ´epaisseur. Comme nous l’avons mentionn´e au chapitre 2, la litt´erature num´erique et exp´erimentale sur les films minces cisaill´es est encore `a ce jour tr`es mince. On trouve davantage d’´etudes sur des films tombants, i.e.
pilot´es par la gravit´e, qui v´erifient [8, 11]
Re∼1 , F r∼1, W e1 (3.2)
On propose donc un mod`ele dont le domaine de validit´e en terme de nombres adimen-sionn´es s’´ecrit
Re∼1 ,
(F r∼1
F r1 , W e1 (3.3)
afin qu’il soit adapt´e aux applications vis´ees de films cisaill´es (F r 1), tout en ´etant valable pour des ´etudes de films tombants (F r ∼ 1) auxquelles il sera majoritairement compar´e.
Hypoth`ese onde longue
Des exp´eriences ont montr´e qu’`a petit nombre de Reynolds (Re∼1), l’amplitude des vagues est tr`es faible devant l’´epaisseur du film [100] et l’´ecoulement est dit `a ”ondes longues”. Ainsi, si on introduit Lo une longueur caract´eristique de l’´ecoulement dans la direction longitudinalex, on peut introduire le rapport εsuivant :
=ho/Lo1 (3.4)
Dans le cas d’un film s’´ecoulant `a d´ebit constant, la longueur caract´eristiqueLorepr´esente la longueur d’onde des vagues (figure 3.1a), et dans le cas d’un ´ecoulement `a volume constant, elle repr´esente la longueur d’´etalement du film (figure 3.1b). Cette hypoth`ese permet de supposer que l’´ecoulement est quasi parall`ele, soit
v(x, z, t)u(x, z, t) (3.5)
avecu(x, z, t) le champ de vitesse longitudinal (directionx) etv(x, z, t) le champ de vitesse normal (directionz).
Remarque 5
En condition de givrage a´eronautique, l’interfaceliquide/gaz peut ˆetre le si`ege de flux de masses. On trouve des flux entrants dans le syst`eme, ils proviennent de gouttes qui impactent l’interface liquide/gaz. On trouve aussi des flux sortants issus des ph´enom`enes d’´evaporation. Ces ph´enom`enes ne sont pas abord´es dans le cadre de ce travail. On invite le lecteur `a se r´eferrer `a la th`ese de R. Chauvin [84] pour plus de d´etails sur l’int´egration de ces flux de masses dans une ´equation de lubrification.
3.1.2 Conditions aux limites
La dynamique du film est d´ecrite par son champ de vitesseu(x, z, t) longitudinal, son champ de vitessev(x, z, t) normal, et son champ de pressionP(x, z, t). Afin de d´eterminer ces trois inconnues, il faut d´efinir au pr´ealable des conditions aux limites, i.e. leurs valeurs
`a la paroi (z = 0) et `a l’interface (z = h). On applique une condition aux limites de non-glissement `a la paroi pour le champ de vitesse transversal :
v(z= 0) = 0 (3.6)
une condition de Navier pour le champ de vitesse longitudinal : u(z= 0) = b
3 ∂u
∂z
(z=0)
(3.7) avecbla longueur de glissement introduite `a la section 2.2.6. Le facteur 1/3 est arbitraire, il permet seulement d’obtenir une forme factoris´ee de l’´equation (3.28). On applique une condition de continuit´e des contraintes tangentielles `a l’interface liquide/gaz (qui sera d´emontr´ee `a la section 3.2.1) :
µ ∂u
∂z
(x,z=h)
=µg ∂ug
∂z
(x,z=h)
=τix (3.8)
3.1. D ´ERIVATION DE L’ ´EQUATION DE LUBRIFICATION 83 avec µ(resp. µg) la viscosit´e dynamique du liquide (resp. du gaz),u(x, z) (resp.ug(x, z)) le champ de vitesse dans la phase liquide (reps. la phase gazeuse) et τixle taux de cisaille-ment `a l’interfaceliquide/gaz. On applique ´egalement la condition de saut de pression `a l’interface introduite `a la section 1.1.2 :
P(x, z=h) = Pg(x)
| {z }
P ression du gaz
+ γlg Kxz(x)
| {z }
P ression de Laplace
(3.9) avec γlg la tension de surface liquide/gaz et Kxz la courbure de l’interface dans le plan (xz). Comme nous l’avons soulign´e `a la section 2.1.3, la courbureKxz de l’interface admet comme expression exacte
Kxz(x) =−
∂2h
∂x2
1 +∂h∂x2
3/2 (3.10)
qui est g´en´eralement simplifi´ee dans la litt´erature par − ∂2h/∂x2 en supposant que la pente locale de l’interface liquide/gaz est tr`es petite, i.e. (∂h/∂x) 1. Dans le cadre de ce travail, nous cherchons `a simuler des dynamiques de mouillage. Il est alors n´ecessaire de bien mod´eliser les forces capillaires au voisinage du point triple, qui est le point o`u l’inter-face liquide/gaz rencontre le substrat. Loin de ce point, le film liquide est g´en´eralement tr`es plat, on a donc (∂h/∂x) 1 et l’approximation de la courbure est valable. Cepen-dant, au voisinage de ce point, nous avons vu `a la section 1.2.4 que l’interfaceliquide/gaz forme un angle θd avec le substrat, repr´esent´e sur la figure 3.2. Cet angle est statique-ment et dynamiquestatique-ment grand pour des liquides non mouillants, qui sont les types de liquide que nous souhaitons ´etudier. Par cons´equent, la pente locale de l’interface, qui vaut (∂h/∂x) = tan(θd), est ´egalement grande. Nous utiliserons donc l’expression exacte (3.10) de la courbure afin de pouvoir mod´eliser les forces capillaires au voisinage du point triple sans limite de validit´e pour l’angle de contact dynamiqueθd(ou statique θs).
Figure3.2 – Repr´esentation 2D d’un film liquide s´ecoulant sur un plan inclin´e d’un angle β. L’angle θd repr´esente l’angle apparent `a l’´echelle macroscopique que fait l’interface liquide/gaz avec le substrat.
3.1.3 Equation de conservation de la masse Int´egration sur la hauteur du film
Le liquide est suppos´e incompressible newtonien, de propri´et´es physiques constantes.
Les ´equations utilis´ees pour d´ecrire la dynamique du film sont donc celles de Navier-Stokes pour un fluide incompressible, et la conservation de la masse s’´ecrit dans le plan (x, z) :
∂u
∂x+∂v
∂z = 0 (3.11)
Sous l’hypoth`ese ”onde longue”, les variations spatiales de l’´epaisseur du film sont faibles.
On peut alors consid´erer que le film ne peut pas d´eferler, cela implique que sa hauteur est uniquement fonction de la cooordonn´eex. On peut alors int´egrer (3.11) sur la hauteur du film dans la directionz, ce qui donne :
Z h(x,y)
En appliquant la r`egle de Leibniz sous le signe d’int´egration, il vient
∂
Et en utilisant la condition de non-glissement (3.6), l’´equation int´egrale de conservation de la masse s’´ecrit provisoirement
∂(hu)
avec u la vitesse dans la directionx moyenn´ee sur la hauteur du film.
Continuit´e des vitesses `a l’interface liquide/gaz
En effectuant un bilan de masse `a l’interface liquide/gaz, on peut ´ecrire [11] : ρ
L’interface ´etant une discontinuit´e de contact, la relation (3.17) implique Dh
Dt −v(x, z =h) = 0 (3.16a)
Dh
Dt −vg(x, z=h) = 0 (3.16b)
avec DhDt la d´eriv´ee particulaire donn´ee par Dh La relation (3.16a) s’´ecrit donc :
∂h
appel´ee dans la litt´erature ”´equation de continuit´e des vitesses”.
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