Sch´ ema de discr´ etisation num´ erique
5.2. ETUDE EN DYNAMIQUE DE L’ ´ ETALEMENT D’UN FILM 2D 147
Figure5.16 – Evolution du pas de temps de simulation ∆ten fonction du pas de maillage
∆x. Une ´echelle logarithmique est utilis´ee. La ligne en pointill´ee rouge est proportionnelle
`a ∆x1.093.
5.2.2 Cas d’un film partiellement mouillant Pr´esentation de l’´etude
On cherche `a pr´esent `a v´erifier que le mod`ele est capable de retrouver la loi (5.13) de Cox-Vo¨ınov dans le cas d’un mouillage partiel, avec un petit angle de contact statique θs = 4◦ pour rester dans les hypoth`eses de la loi. On ne s’int´eresse qu’`a l’influence du rayon d’actionh∗, et on fixe le pas de maillage ∆x`a 10−6met la longueur de glissementb
`
a 10−7 m. Le fait quebsoit pris petit devant ∆x ne pose d’une part pas de probl`eme dans le cadre de cette ´etude dont le but n’est pas de re-d´emontrer son influence logarithmique sur la loi de Tanner, et d’autre part permet d’´eviter l’apparition d’´eventuelles instabilit´es num´eriques (voir conclusion de la section 4.3). On cherche ainsi `a d´eterminer les conditions surh∗ qui permettent de retrouver le comportement dynamique th´eorique au voisinage du point triple.
Donn´ees num´eriques et exp´erimentales
On consid`ere les mˆemes propri´et´es physiques et la mˆeme initialisation de film `at= 0 que dans la cas pr´ec´edent de la section 5.2.1. Mais contrairement au film totalement mouillant qui s’´etale `a l’infini sur le substrat, le film partiellement mouillant admet un profil d’´equilibre circilaire (de forme parabolique car le film est tr`es mince) de rayon Rs = 1,865×10−3m donn´e par
∀x, hs(x) =max
v u u tmax
"
R2s
sin(θs)2 −x2 , 0
#
− Rs tan(θs) , 0
(5.15)
Un exemple de simulation num´erique est montr´e sur la figure 5.17.
Figure 5.17 – Simulation num´erique obtenu avec h∗ = 6.51×10−6 m, ∆x = 10−6 m, b = 10−7 m et θs = 4◦. Les profils d’´epaisseurs sont trac´es aux instants t = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10 s. L’´epaisseur du film h et l’abscisse x sont respectivements adimensionn´es par l’´epaisseurhs(x= 0) et par le rayonRsdu profil parabolique th´eorique
`
a l’´equilibre.
Influence du rayon d’action h∗ `a pas de maillage ∆x fix´e
En faisant varier le rayon d’actionh∗, on constate sur la figure 5.18 que pour l’ensemble des cas, l’angle apparent θnum augmente avec le nombre capillaireCa.
Figure5.18 – Angle de contact apparentθnumen fonction du nombre capillaireCaobtenu par simlation num´erique de l’´etalement sym´etrique d’un film partiellement mouillant pour diff´erents h∗. Les lignes en pointill´ees correspondent aux r´egressions lin´eaires dont les donn´ees sont regroup´ees dans le tableau 5.9.
Cependant, si nous effectuons une r´egression lin´eaire de la forme θ3num−θ3s =r×Ca pour chaque cas, on constate dans le tableau 5.9 que l’erreur entre la r´egression et les donn´ees augmente avec des valeurs croissantes deh∗. Il faut donc prendre h∗ le plus petit possible afin de s’approcher le plus fid`element possible de la loi de Cox-Vo¨ınov dans le cas d’un film partiellement mouillant.
5.2. ETUDE EN DYNAMIQUE DE L’ ´ETALEMENT D’UN FILM 2D 149 Table 5.9 – Influence du rayon d’actionh∗ sur la r´egression lin´eaireθnum3 −θs3 =a×Ca. La derni`ere colonne donne la norme L2 de l’erreur entre les r´esultats num´eriques et la r´egression.
h∗ (m) h∗/hs h∗/∆x ∆t(s) r error×10−6
1,302×10−5 1/5 13,02
2,0×10−6
24,76 1,837
6,51×10−6 1/10 6,51 27,39 0,825
3,255×10−6 1/20 3,255 27,74 0,433
10−6 1/65 1 27,1 0,232
On peut ´egalement tracer sur la figure 5.19 l’´evolution temporelle de l’´etalementxCP(t) du film afin d’´evaluer l’influence du rayon d’action h∗ sur la dynamique d’´etalement du film. On retrouve dans tout les cas les deux r´egimes d’´etalement introduits lors de l’´etude totalement mouillante. Il apparaˆıt cependant un r´egime suppl´ementaire que l’on peut qualifier de ”mol´eculo-capillaire”, o`u le film se stabilise et adopte sa forme d’´equilibre r´egie par un ´equilibre entre les forces capillaires et mol´eculaires. On constate que le rayon d’actionh∗n’influence que le r´egime mol´eculo-capillaire, et que sih∗est inf´erieur `ahs/10, l’influence disparaˆıt.
Figure 5.19 – Evolution temporelle de l’´etalement xCP(t) pour diff´erent rayons d’action h∗. L’´etalementxCP(t) adimensionn´e par l’´epaisseur par le rayonRsdu profil th´eorique `a l’´equilibre. Une ´echelle logarithmique est utilis´ee.
On en arrive donc `a la mˆeme conclusion que celle faˆıte lors des ´etudes statiques `a la section 5.1 que si nous souhaitons retrouver pr´ecis´ement le profil dynamique du film au voisinage du point triple, i.e. retrouver l’´evolution dynamique de l’angle de contact apparent, il faut faire tendre h∗ et ∆x vers 0. Par contre, si nous ne souhaitons que retrouver la dynamique macroscopique du film, tel que son ´etalement, il suffit de prendre h∗ ≤ho/10, avec ho l’´epaisseur du film loin du point triple. Cette condition suffit `a lisser les forces mol´eculaire assez finement pour retrouver leur effet macroscopique sur le film tout en guarantissant un coˆut en temps de calcul faible, car ∆x doit rester proche deh∗
pour guarantir une convergence en maillage.
5.2.3 Discussion des r´esultats
Les r´esultats obtenus au cours de cette ´etude nous ont permis de d´emontrer que notre mod`ele discr´etis´e est capable de retrouver le comportement dynamique th´eorique d’un film au voisinage du point triple. De plus, nous avons pu identifier trois r´egimes d’´etalement de films et ´etudier l’influence des param`etres physiques et num´eriques r´eglables de notre mod`ele sur la simulation de ces r´egimes. Aux tr`es courts instants (t∼0 `a 10−3 s), il ap-paraˆıt un r´egime gouvern´e par les forces d’inertie qui ne d´epend ni des forces mol´eculaires, ni des effets visqueux. Aux instants suivants (t∼10−2 `a 10−1 s ), l’´etalement est princi-palement pilot´e par les forces visqueuses et donc d´epend de la longueur de glissement b.
Enfin, aux temps tr`es longs (t∼1 `a 10 s), l’´etalement quasi-statique d´epend uniquement du rayon d’actionh∗ des forces mol´eculaires.
On rappelle toutefois que les r´esultats de cette section ont ´et´e obtenus avec des films que l’on qualifie de mouillant (θs = 0◦ et θs = 4◦). Les liquides rencontr´es sont g´en´eralement peu mouillants et donc caract´eris´es par des angle θs beaucoup plus grands. Nous avons alors r´ealis´e les mˆemes simulations d’´etalement qu’`a la section 5.2 en augmentant l’angle de contact statique, et trac´e l’´evolution de l’´etalement du film sur la figure 5.20. On voit qu’`a partir d’un angleθsde 20◦, le r´egime visco-capillaire n’existe plus. Le film s’´etale tr`es rapidement et se stabilise aussitˆot qu’il se rapproche de son ´etat d’´equilibre.
Figure5.20 – Evolution temporelle de l’´etalementxCP(t) pour diff´erent angles de contact statique θs, obtenu avec h∗ = 6.51×10−6 m, ∆x= 10−6 m, et b= 10−7 m. Une ´echelle logarithmique est utilis´ee.
On peut donc en conclure que seul les r´egimes inertiels et mol´eculo-capillaires appa-raissent dans les applications vis´ees. Ainsi, seul le rayon d’action h∗, qui de plus n’a que besoin d’ˆetre petit par rapport aux ´epaisseurs de films macroscopiques, est important pour simuler l’´etalement d’un film peu mouillant.