ANALYSE DE STABILIT ´ E LIN ´ EAIRE 109

avec k = 2π/λ le nombre d’onde de la perturbation sinusoidale, λ sa longueur d’onde, et c = cr +i ci la vitesse (r´eelle ou imaginaire) de propagation de la perturbation. En injectant (3.129) dans le syst`eme matriciel lin´earis´e, on obtient :

h−i k c I +i k Ao+k² Bo−So

i

| {z }

=Do

U1 =0 (3.130)

avec I la matrice identit´e. Les solutions non triviales de (3.130) correspondent `a une ma-triceD<sub>o</sub> non inversible dont le d´eterminant est donc nul. La relation de dispersion s’´ecrit par cons´equent : La r´esolution de cette ´equation de dispersion peut se faire num´eriquement et permet d’obtenir l’expressionc=f(k) de la vitesse de propagation en fonction du nombre d’onde de la perturbation. Cependant, on peut obtenir une solution analytique en se pla¸cant dans l’hypoth`ese des petits (resp. grandes) nombres d’ondes (reps. longueur d’ondes) de perturbation, soit k 1. En d´ecomposant la c´el´erit´e sous forme r´eelle et imaginaire, on obtient le syst`eme d’´equation suivant

h(c_r)²−(c_i)²ⁱ k−2 u_o c_r k−3ν

et en ´ecrivant la c´el´erit´e r´eelle et imaginaire sous la forme d’un d´eveloppement asympto-tique en puissance du nombre d’ondek1, soit

c_r= (c_r)_o+k (c_r)₁ (3.133a) c_i = (c_i)_o+k (c_i)₁ (3.133b) le syst`eme d’´equation (3.132) devient :

On obtient apr`es r´esolution de l’ordre 0 en k:

(cr)_o = 3 uo−uτ_i^x (3.135a)

(ci)_o= 0 (3.135b)

et de l’ordre 1 enk :

La c´el´erit´e des ondes s’´ecrit donc finalement :

cr= 3 uo−uτ_i^x (3.137a)

La partie r´ellec_rdonne la vitesse de propagation des vagues `a l’interfaceliquide/gaz. Dans le cas d’un film liquide non-ciasill´e s’´ecoulant `a l’´equilibre sur un plan inclin´e avec une vitesse moyenne u_o, les vagues se propagent donc trois fois plus vite. La partie imaginaire c_ipilote la stabilit´e du film. Sic_iest n´egatif, le film est stable en r´eponse `a une perturbation de grande longueur d’onde, et une perturbation du film d´ecroˆıt dans le temps. Inversement, si ci est positif, le film est instable et une perturbation s’amplifie. On retrouve ainsi les r´esultats bien connus de la litt´erature qu’un film liquide est d´estabilis´e par l’inertie et stabilis´e par la pesanteur. La stabilit´e vis-`a-vis des interactions mol´eculaires d´epend de l’expression de la densit´e surfacique d’´energie de disjonctione_disj(h).

Remarque 9

L’expression(3.137b)de la c´el´erit´e imaginaireci des ondes ne tient pas compte des ef-fets capillaires qui sont proportionnels `ak<sup>3</sup>. Il faut pour cela effectuer un d´eveloppement limit´e en puissance du nombre d’ondek jusqu’`a l’ordre 3. Ils apportent une contribu-tion n´egative `a ci qui stabilise les petites (resp. les grands) longueurs d’ondes (resp.

nombres d’ondes) de perturbation.

3.5.3 Stabilit´e d’un film dans diff´erentes configurations

Nous souhaitons d´eterminer les diff´erents r´egimes critiques qui font passer le film d’un r´egime stable `a un r´egime instable. La limite de stabilit´e du film en r´eponse `a une perturba-tion de grande longueur d’onde (k1) est donn´ee parc_i = 0. Nous allons nous int´eress´es

`

a deux cas particuliers (film liquide sur plan inclin´e et horizontal) et ainsi v´erifier que l’on retrouve bien des r´esultats de la litt´erature.

Stabilit´e d’un film `a l’´equilibre sur un plan horizontal

Nous souhaitons ´etudier la stabilit´e d’un film liquide d’´epaisseur h_o `a l’´equilibre sur un plan horizontal en fonction des propri´et´es de mouillage (angle de contact statique θ_s, rayon d’action mol´eculaire h∗). Le liquide est suppos´e statique (uo = 0) et l’air est au

3.5. ANALYSE DE STABILIT ´E LIN ´EAIRE 111

Dans notre cas, la densit´e d’´energie de disjonctionedisj(h) est donn´ee par (3.100), qui est une fonction strictement concave deh car :

∂²e_disj

La stabilit´e du film est alors r´egie par une comp´etition entre la gravit´e stabilisante et les interactions mol´eculaires d´estabilisantes. La limite de stabilit´e du film liquide est donn´ee par la r´esolution de l’´equation k_c² = 0. Elle peut se faire analytiquement dans le cas du mod`ele (3.100) et correspond `a : dont nous allons commenter la courbe trac´ee sur la figure 3.10.

Figure 3.10 – Limite de stabilit´e d’un film d’´epaisseur ho `a l’´equilibre sur un plan horizontal en fonction du param`etre h∗ et de l’angle de contact statique θs. Le do-maine stable se situe au-dessus de la courbe, et le dodo-maine instable en-dessous. Les

´

epaisseurh_o eth∗ sont adimensionn´ees par la longeur capillairel_c. La croix correspond `a (h∗/lc ; ho/lc) = (0,2 ; 0,4).

On rappelle que le param`etre h∗ joue le role de rayon d’action mol´eculaire et d´efinie donc `a partir de quelle ´epaisseur de film h_o les interfaces solide/liquide et liquide/gaz interagissent. Ainsi, `a ´epaisseur ho de film fix´ee, on voit sur la figure 3.10 que si h∗ est petit devant h<sub>o</sub>, le film est stable. Ce r´esultat est bien en accord avec le fait que les interfaces sont trop ´eloign´ees pour interagirent et elles ne peuvent donc pas d´estabiliser le film. Par contre, si h∗ est comparable `a ho, on voit sur la figure que le film est instable, coh´erent car les interfaces interagissent `a ces ´epaisseurs. Enfin, sih∗ est grand devant h_o, le film redevient stable. En effet, bien que les interfaces puissent toujours interagir, on a :

lim

h∗/ho→+∞

∂²e_disj

∂h²

!

(h=ho)

= 0 (3.141)

Les forces mol´eculaires deviennent donc de moins en moins d´estabilisantes quand le rayon d’action h∗ devient tr`es grand, et le film est `a nouveau stabilis´e par la gravit´e. La valeur de l’angle de contact θs influence ´egalement fortement la stabilit´e du film puisque le do-maine o`u il est instable se r´eduit lorsque θ<sub>s</sub> diminue, et disparaˆıt compl`etement lorsque θs= 0^◦. Ce r´esultat ´etait pr´evisible car le casθs= 0^◦ correspond `a un mouillage total. Le film ne subit donc aucune interaction mol´eculaire et est uniquement stabilis´e par la gravit´e.

Cette analyse de stabilit´e lin´eaire permet ´egalement de d´efinir une valeur limite pour le param`etre h∗ qu’il ne faut pas d´epasser, au risque de g´en´erer des instabilit´es de film non-physiques. En effet, les instabilit´es d´ecrites ci-dessus sont des instabilit´es spinodales que nous avons introduites `a la section 2.2.4. Elles n’apparaissent normalement que dans le cas de films tr`es minces dont les ´epaisseurs sont proches du vrai rayon d’action des forces mol´eculaires <, de l’ordre du nanom`etre. On rappelle que le mod`ele de densit´e surfacique d’´energie de disjonction propos´e induit un rayon d’action ´egal `a h∗ qui sera g´en´eralement pris plus grand que sa vraie valeur <pour des raisons num´eriques (qui seront expliqu´ees au chapitre 5). Puisque l’on s’int´eresse ici `a des films macroscopiques, ces instabilit´es sont normalement absentes. Nous devons alors nous assurer que le rayon d’action h∗ choisi reste suffisament petit devant l’´epaisseur ho du film afin de ne pas g´en´erer d’instabilit´es non-physiques, soit :

< h∗ h_o (3.142) Pour illustrer un mauvais choix de h∗, on prend l’exemple d’un film d’eau `a temp´erature ambiante (lc= 2,633mm) `a l’´equilibre sur un plan horizontal. On suppose que son angle de contact statique avec le substrat est ´egal `a θ<sub>s</sub> = 60<sup>◦</sup>. On voit donc que si l’on prend le cas repr´esent´e par la croix sur le figure 3.10 d’une ´epaisseur d’´equilibre macroscopique ho = 0,4 lc et d’un rayon d’action h∗ =ho/2, le film est instable alors que son ´epaisseur h<sub>o</sub> = 1,08mm est tr`es loin des ´echelles mol´eculaires <.

Stabilit´e d’un film `a l’´equilibre sur un plan inclin´e

Nous souhaitons `a pr´esent ´etudier la stabilit´e d’un film s’´ecoulant sous l’effet de la gravit´e et/ou du cisaillement d’un gaz sur un plan inclin´e d’un angle β. On suppose que l’´epaisseur ho est suffisament grande devant le rayon d’action h∗ pour que les interfaces solide/liquideetliquide/gaz n’interagissent pas (e_disj = 0). La partie imaginaire c_i de la c´el´erit´e des ondes vaut alors :