MOD ` ELES AVEC LIGNE TRIPLE 53 Les ´ etudes sont alors majoritairement acad´ emiques et se concentrent sur des cas tr` es

simples, comme le cas de gouttes souffl´ees [32] et de ruisselets souffl´es [33, 34]

L’´etude qui se rapproche le plus `a ce jour d’une configuration industrielle car elle est repr´esentative d’une transition d’un film cisaill´e en ruisselets a ´et´e propos´ee par Zhang et al. [116]. Cette ´etude, men´ee sp´ecifiquement dans le cadre des probl´ematiques de givrage en a´eronautique, a consist´e `a g´en´erer un spray de gouttelettes qui se d´epose sur un profil d’aile. Le dispositif est plac´e dans une soufflerie afin de cr´eer un ´ecoulement d’air.

Figure 2.11 – Repr´esentation simplifi´ee du dispositif exp´erimental de Zhang [116].

La formation de ruisselets sur le profil s’effectue en trois phases : des gouttes isol´ees se d´eposent et se d´eplacent sur le bord d’attaque, puis elles coalescent et forment un film liquide, qui finalement se brise en plusieurs ruisselets. Zhang a ´etudi´e l’influence de la vitesse d’air sur le d´eclenchement de la transition film/ruisselets et a d´evelopp´e une m´ethode de projection [115] pour mesurer l’´epaisseur du film et obtenir des visualisations de transion film/ruisselet (figure 2.12).

(a)t= 1s (b)t= 2s

(c)t= 3s (d)t= 4s

Figure2.12 – Evolution temporelle d’un film liquide se d´epla¸cant sur un profil NACA0012 cisaill´e par un gaz. Exp´erience r´ealis´ee par Zhang et al. [116]

2.2.3 Equation de lubrification

Les ´ecoulements ´etudi´es dans la litt´erature impliquant des transitions en ruisselets se caract´erisent en g´en´eral par de faibles vitesses d’´ecoulements qui ne d´epassent pas des nombres de Reynolds de l’ordre de 1. Sous cette hypoth`ese, les effets inertiels sont n´egligeables et l’´ecoulement peut ˆetre d´ecrit par l’´equation de lubrification, que l’on rappel en 2D :

∂h

∂t +∂(hu)

∂x = 0 (2.31)

En se placant toujours dans l’hypoth`ese ”onde longue”, en consid´erant des ´ecoulements faiblement intertiels (Re 1, F r 1), et en s’inspirant de la m´ethode de Benney de r´esolution approch´ee des ´equations de N-S d´ecrite `a la section 2.1.3, le profil de vitesse longitudinal u(x, z) ainsi que sa valeur moyenneu(x) s’´ecrivent `a l’ordre 0 enε(voir [117]

pour des d´etails) :

u(x, z) = 1 µ

∂P

∂x

−ρ g sin(α) z²

2 −hz

! +τ_i^x

µz (2.32a)

u(x) =−h² 3µ

∂P

∂x

−ρ g sin(α)− 3τ_i^x 2h

(2.32b) avec P(x) le champs de pression dans le liquide donn´e par :

P(x, z) =P_g(x) +ρ g cos(β) [h−z] +γ_lg K^xz (2.33) comprenant la pression du gaz `a l’interface, la pression hydrostatique, et la pression de Laplace avec K^xz =−^∂_∂x^2h₂ l’approximation ”onde longue” de la courbure dans le plan

2.2. MOD `ELES AVEC LIGNE TRIPLE 55 (xz). Ce profil de vitesse correspond `a celui d’un ´ecoulement de Poiseuille pilot´e par la gra-vit´e, le champ de pression et le cisaillement du gaz. Il ressemble fortement au profil (2.21b) obtenu par Benney `a la diff´erence qu’il ne comprend de termes correctifs suppl´ementaires `a l’ordre 1enε. Ces termes sont n´ecessaires `a la mod´elisation exacte des instabilit´es de type

”Roll-Waves”, mais ne sont pas utiles dans les r´egimes de lubrification o`u ces instabilit´es sont absentes. En injectant l’expression de la vitesse moyenne u dans l’´equation (2.31) , on obtient le mod`ele de lubrification 2D suivant

∂h

Il se g´en´eralise ais´ement en 3 dimensions [93, 117, 52, 47] et l’´evolution temporelle de l’´epaisseur h(x, y, t) d’un film liquide 3D s’´ecoulant sur un plan inclin´e d’un angle β par rotation autour de l’axey s’´ecrit :

∂h

avec∇.(∗) l’op´erateur divergence,∇(∗) l’op´erateur gradient, et∇.(∇∗) l’op´erateur lapla-cien. gt = ^t( g sin(β) , 0 ) repr´esente l’acc´el´eration gravitationnelle projet´ee sur le plan inclin´e d’un angle β par rotation de l’axe y etτ_i le cisaillement du gaz. Ce mod`ele est le plus utilis´e dans la litt´erature pour simuler l’´ecoulement de films liquides dans le cadre de la lubrification. Il est toutefois encore insuffisant pour simuler des dynamiques de mouillage pour deux raisons. La premi`ere est qu’il ne mod´elise pas l’angle de contact introduit `a la section 1.2.2. La seconde est que la condition aux limites utilis´ee d’adh´erence `a la paroi (2.6a) doit ˆetre chang´ee, car elle n’est pas compatible avec le mouvement d’une ligne triple.

Remarque 1

Dans la suite de ce chapitre, nous travaillerons par soucis de simplicit´e avec l’´equation de lubrification en deux dimensions(2.34). La g´en´eralisation en trois dimensions n’ajoute aucune difficult´e suppl´ementaire.

2.2.4 Mod´elisation de l’angle de contact statique

On pr´esente dans cette section l’approche la plus utilis´ee dans la litt´erature pour int´egrer les effets de l’angle de contact statique dans l’´equation de lubrification (2.34).

Faute de compr´ehension compl`ete du ph´enom`ene d’hyst´er´esis, les mod`eles propos´es ici n´egligent tous ce ph´enom`ene et supposent que l’angle de contact θs est unique.

Pression de disjonction de Dejarguin

L’´equation de lubrification telle qu’elle est ´ecrite sous la forme (2.34) ne permet pas par exemple de retrouver la forme d’´equilibre d’une goutte partiellement mouillante sur un substrat. Puisqu’elle ne tient pas compte des interactions mol´eculaires agissants au voisinage de la ligne de contact, n’importe quel volume de liquide d´epos´e sur le substrat

s’´etale ind´efiniment. La m´ethode la plus largement r´epandue pour int´egrer les effets du mouillage partiel dans (2.34) a ´et´e propos´ee par Frumkin et Derjaguin [36, 37, 39, 40].

Ils introduisent une pression dˆıte ”de disjonction”, not´ee Π_d(e), qui est la diminution de pression induit entre deux interfaces qui sont s´epar´ees d’une distanceeet qui interagissent.

Dans notre cas, on s’int´eresse aux interfaces solide/liquide et liquide/gaz. Elles sont s´epar´ees par l’´epaisseur du film h et induisent un saut de pression ∆P qui s’´ecrit :

∆P =−Π_d(h) = ∂e_d

∂h

(2.36) avec e_d(h) appel´ee dans la litt´erature ”densit´e surfacique d’´energie de disjonction” qui repr´esente l’ensemble des densit´es d’´energies des interaction mol´eculaires. Une expression de cette pression de disjonction dans le cas de deux interfaces infinies et parall`eles s´epar´ees d’une distanceh a ´et´e propos´ee par Dejarguin et al. [38] et s’´ecrit :

Π_d(h) = A1

h³ −A2

h² +A3,1 exp −h A_3,2

!

(2.37) Le terme `a la puissance 2, terme attractif dominant `a grande distance, repr´esente des forces de Van der Waals. Le terme `a la puissance 3 d´esigne des forces ´electrostatiques r´epulsives et dominantes `a courte port´ee. Le dernier terme repr´esente des forces dipolaires r´epulsives, avec les coefficientsA_i>0 variants en fonction du type d’interaction et de leur port´ee.

Lien entre pression de disjonction et mouillage

Selon la nature des forces, on peut retrouver les deux r´egimes de mouillage d´ecrits `a la section 1.2.1 :

— des forces r´epulsives g´en`erent une pression de disjonction n´egative (Π_d < 0). Il se forme une surpression (∆P > 0) entre les deux interfaces au voisinage du point triple, la goutte se r´etracte et le mouillage est partiel (S <0). Un trac´e typique de la pression de disjonction dans un cas partiellement mouillant se trouve sur la figure 2.13.

— en revanche, si les forces sont uniquement attractives, le mouillage est total (S >0) car il apparaˆıt une d´epression (∆P < 0) dans le film au voisinage du point triple.

Une goutte s’´etalera jusqu’`a former un substrat compl`etement mouill´e par un film d’´epaisseur mol´eculaire. Une pression de disjonction dans cas totalement mouillant est trac´ee sur la figure 2.13.

On voit cependant d’apr`es (2.37) que les forces ne sont pas toujours uniquement attractives ou r´epulsives. La mouillabilit´e peut donc varier en fonction de l’´epaisseurhdu film. Il existe alors un troisi`eme r´egime de mouillage dit ”pseudo-partiel”, o`u un film peut ˆetre totalement mouillant `a faible ´epaisseur (forces attractives en 1/h³) et ˆetre partiellement mouillant `a grande ´epaisseur (forces r´epulsives en 1/h²). Un exemple de pression de disjonction pour ce cas est trac´e sur la figure 2.13.