Mod` eles r´ eduits pour la dynamique d’un film
2.2. MOD ` ELES AVEC LIGNE TRIPLE 57
Figure2.13 – Trac´e typique de la pression de disjonction Πd(h) pour le cas d’un mouillage total, partiel et pseudo-partiel [15].
Ainsi, contrairement `a une situation de mouillage partiel o`u l’interface liquide/gaz forme un angle θs avec un substrat sec (figure 1.4), une situation de mouillage pseudo-partiel (figure 2.14) correspond `a une interface formant un angle θs avec un substrat recouvert d’un film d’´epaisseurhm, appel´e dans la litt´erature ”film pr´ecurseur”. La valeur de cette ´epaisseur r´esiduelle hm est d´efinie par un ´equilibre entre les forces attractives et r´epulsives.
Figure 2.14 – Repr´esentation de Potash et Wayner [44] de la ligne triple `a diff´erentes
´
echelles d’un liquide pseudo-partiellement mouillant.
Mod`ele simplifi´e de pression de disjonction
L’expression (2.37) permet de mod´eliser l’ensemble des interactions `a leurs ´echelles respectives mais n´ecessite de d´eterminer l’ensemble des coefficients Ai, ce qui n’est pas ais´e. Dans le cadre d’applications destin´ees `a simuler le comportement d’un film `a l’´echelle macroscopique, on cherche seulement `a observer une interface liquide/gaz formant un angle de contactθsavec le substrat `a l’´equilibre. Dejarguin introduit dans ses travaux [37]
une m´ethode qui consiste `a simplifier l’expression de (2.37) et `a calibrer les coefficientsAi
afin de retrouver l’angleθs. En n´egligeant les forces dipolaires qui sont tr`es faibles [42, 43],
Dejarguin propose l’expression suivante : Πd(h) =B
"h∗
h 3
− h∗
h 2#
(2.38) o`uh∗ joue le rˆole de rayon d’action<des forces mol´eculaires etB >0 est un coefficient `a d´eterminer. Cette pression repr´esente un cas de mouillage pseudo-partiel et est trac´e sur la figure 2.15.
Figure2.15 – Trac´e de la pression de disjonction Πd(h) introduite par Dejarguin [37]. La pression est adimensionn´ee parB et l’´epaisseurh du film parh∗.
A courte port´ee, i.e.h/h∗ <1, la pression de disjonction est positive et le mouillage est total. A longue port´ee, i.e.h/h∗ >1, le mouillage est partiel car la pression de disjonction est n´egative. Enh=h∗, on a les r´esultats suivants :
∂ed
∂h
(h=h∗)
=−Πd(h=h∗) = 0 (2.39a)
∂2ed
∂h2
!
(h=h∗)
= ∂Πd
∂h
(h=h∗)
>0 (2.39b)
ce qui signifie que l’´equilibre entre les forces attractives et r´epulsives est atteint pour l’´epaisseurh∗. Le mod`ele de pression de disjonction d´ecrit alors la ligne triple repr´esent´ee sur la figure 2.14 avec un film pr´ecurseur d’´epaisseurhm =h∗.
Relation augment´ee de Young-Dupr´e
Pour calibrer la constante B dans l’expression (2.38) de la pression de disjonction, on peut effectuer un bilan de forces au point triple [45, 46]. On suppose que les ´epaisseurs de films sont petites devant la longueur capillaire (hlc) au voisinage de ce point, on peut donc n´egliger la pression hydrostatique. `A l’´equilibre, le gradient de pression en tout point du liquide est nul. La somme de la pression de disjonction et de la pression de Laplace est alors constante, i.e. :
∀x, ∀h, γlg Kxz(h(x)) + Πd(h(x)) =Pe (2.40)
2.2. MOD `ELES AVEC LIGNE TRIPLE 59 avecPeune constante. On d´efnitθ(x) l’angle entre l’interfaceliquide/gazet le substrat en tout pointx. Nous supposons que la forme de l’interfaceliquide/gaz est telle que d´ecrite par Potash [44], `a savoir :
— au niveau du film pr´ecurseur loin du point triple (pointB sur la figure 2.16), on a d’apr`es (2.39a) :
Πd(xB) = 0 (2.41)
et l’´epaisseur est uniform´ement ´egale `a h∗ , soit :
θ(xB) = 0 (2.42a)
Kxz(xB) = 0 (2.42b)
— `a des ´epaisseurs de film qui v´erifientlchh∗ (pointA), les interfaces sont trop
´
elogn´ees pour interagirent, ce qui se traduit par :
Πd(xA) = 0 (2.43a)
ed(xA) = 0 (2.43b)
et la pente de l’interfaceliquide/gaz est constante, soit :
θ(xA) =θs (2.44a)
Kxz(xA) = 0 (2.44b)
A partir des conditions aux limites aux points A et B, on trouve Pe = 0, et la relation d’´equilibre des pressions devient :
∀x, ∀h, γlg Kxz(h(x)) + Πd(h(x)) = 0 (2.45)
Figure 2.16 – Repr´esentation de Potash et Wayner [44] du point triple. Le point A se situe dans la macro-r´egion hh∗ et le pointB dans la r´egion du film pr´ecurseur h=h∗.
En utilisant les formules de Frenet suivantes : Kxz =−dθ
ds (2.46a)
dh
ds =sin(θ) (2.46b)
avec s(x) l’abscisse curviligne le long de la l’interfaceliquide/gaz, on obtient en int´egrant la relation (2.45) entre le pointB et le pointA :
−
qui est appel´ee dans la litt´erature relation augment´ee de Young-Dupr´e. La d´emonstration dans le cas d’un liquide partiellement mouillant est analogue [15] et on obtient :
ed(h= 0) =− Z +∞
0
[Πd(h)] dh=S mouillage partiel (2.48) Cette relation permet de calibrer les mod`eles de presion de disjonction pour retrouver l’angle de contact statique θs `a l’´equilibre. Dans le cas du mod`ele (2.38) propos´e par Dejarguin, cela revient `a prendreB ´egal `a :
B=−2S h∗
(2.49) En int´egrant la pression de disjonction Πd(h) dans l’´equation de lubrification (2.34), on obtient :
qui tient compte des interactions mol´eculaires entre les interfaces quand l’´epaisseur du film h tend vers 0.
Remarque 2
Les param`etres ajustables du mod`ele (2.50) sont donc l’angle de contact statique, d´eterminable exp´erimentalement, et le rayon d’action des forces mol´eculairesh∗. Si on prend le mod`ele de pression de disjonction (2.38)de Dejarguin, le rayon d’action est pilot´e par la valeur de h∗ qui est typiquement de l’ordre du nm. L’inconv´enient de mod´eliser des ph´enom`enes physiques `a de telles ´echelles est que cela n´ecessite d’utiliser des maillages du mˆeme ordre (∆x∼h∗) et peut entraˆıner des temps de calcul tr`es longs [47] lorsque nous discr´etiserons les ´equations. Par cons´equent, `a des fins num´eriques, le param`etre h∗ est g´en´eralement choisi plus grand que sa valeur physique. Il doit toutefois rester petit devant l’´epaisseur du film loin de la ligne triple (comme nous le verrons dans la section 4.7) afin de ne pas modifier le comportement macroscopique du film (angle de contact statique, ´etalement, vitesse du point triple).
2.2. MOD `ELES AVEC LIGNE TRIPLE 61