POSITION D’ ´ EQUILIBRE STATIQUE D’UN FILM BIDIMENSIONNEL 133

(a) Erreur relative sur l’´etalement (b) Erreur relative sur l’angle apparent Figure5.4 – Influence du rayon d’actionh∗ sur l’´etalement et l’angle de contact apparent

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a l’´equilibre. Les donn´ees sont regroup´ees dans le tableau 5.3.

Table 5.2 – Evolution de l’angle θ_num, de l’´etalementW_num, et de l’erreur E_h∗ obtenus num´eriquement `a t = 10s en fonction du param`etre h∗. Le pas de maillage est fix´e `a

∆x= 2.22×10⁻⁵ m. Le pas de temps est de ∆t= 10⁻⁴ spour l’ensemble des simulations.

h∗ (m) h∗

h_puddle

h∗

∆x

|θnum−θs |

θ_s ×10⁻² |Wnum−Ws|

W_s ×10⁻²

3,498×10⁻⁴ 1/5 '16 49,56 3,815

1,749×10⁻⁴ 1/10 '8 29,9 0,276

4,44×10⁻⁵ '1/40 2 5,74 0,075

2,22×10⁻⁵ '1/80 1 3,67 0,333

1,11×10⁻⁵ '1/160 1/2 2,77 1,51

4,44×10⁻⁶ '1/400 1/5 10,7 1,4671

2,22×10⁻⁶ '1/800 1/10 6,42 2,218

4,44×10⁻⁷ '1/4000 1/50 6,1 2,131

Ces r´esultats sont coh´erents car en tra¸cant l’´evolution de la force lin´eique de disjonction F^d(x) sur la figure 5.5, on voit que l’´etalement des forces mol´eculaires au voisinage du point triple diminue avech∗. Par contre sih∗devient petit par rapport au pas de maillage ∆x, ces forces ne sont plus r´egularis´ees (car sous-r´esolues `a l’´echelle du maillage) et apparaissent comme discontinues. Elles peuvent donc conduire `a des r´esultats moins pr´ecis dans le voisinage de la ligne triple. Ce manque de pr´ecision peut toutefois ˆetre relativis´e car les r´esultats montrent que l’´etalement (donn´ee principale recherch´ee dans les applications vis´ees) est retrouv´e avec une erreur de moins de 3% et ceux, mˆeme pour un rayon d’action h∗ 50 fois plus petit que le pas de maillage ∆x. La bonne repr´esentation de l’´etalement statique ne semble donc pas vraiment d´ependre de la r´esolution du maillage.

Figure 5.5 – Vue au voisinage du point triple de la force lin´eique de disjonction F^d(x) adimensionn´ee parγ_lg[1−cos(θ_s)].

En conclusion, si nous souhaitons retrouver tr`es fid`element le profil d’´equilibre `a des

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echelles beaucoup plus petites que celles macroscopiques, il faut faire tendreh∗et ∆x vers 0. En effet, l’angle de contact statiqueθ_sest d’autant mieux retrouv´e que la r´egularisation des forces mol´eculaires est faiblement ´etal´ee, et le pas de maillage doit pouvoir captu-rer ce ph´enom`ene physique. Par contre, si nous souhaitons seulement retrouver les ca-ract´eristiques macrocopiques du profil d’´equilibre, tel que sa surface d’´etalement, il suffit de prendre h∗ = hpuddle/10. Les forces mol´eculaires seront trop ´etal´ee pour retrouver l’angle de contact statique θ<sub>s</sub>, mais suffisament peu ´etal´ee pour retrouver le bon bilan de force et surtout le bon bilan d’´energie `a l’´echelle macroscopique. En effet, nous avons montr´e `a la section 3.3 que l’´energie totale du film associ´ee au mod`ele continu propos´e ´etait d´ecroissante dans une configuration sans forces ext´erieures (cas ´etudi´e ici). Par cons´equent, le film ne peut ´evoluer que vers un ´etat stationnaire qui va minimiser son ´energie totale, et ce, ind´ependamment de la bonne repr´esentation ou non des forces mol´eculaires `a l’´echelle du maillage.

Remarque 12

En pratique, pour des simulations dans un cadre acad´emique o`u des maillages tr`es fins peuvent ˆetre utilis´es, nous prendrons toujours la plus petite valeur de h∗ possible dans la limite de temps de calcul raisonnable, car nous devons respecter ∆x'h∗ pour guarantir la convergence num´erique des forces mol´eculaires. Pour des applications in-dustrielles, nous prendrons plutˆoth∗ ≤ho/10, avechol’ordre de grandeur de l’´epaisseur du film loin du point triple. Bien que nous ne respecterons par n´ecessairement la condi-tion ∆x ≤ho et `a fortiori ∆x ' h∗, la surface d’´etalement stationnaire sera tout de mˆeme bien retrouv´ee.

Convergence en maillage

On ´etudie maintenant l’influence du pas de maillage ∆xsur la solution stationnaire `a param`etre h∗ =h_puddle/10 fix´e. L’int´erˆet de cette ´etude est de v´erifier qu’il existe un pas de maillage ∆x `a partir duquel la solution calcul´ee num´eriquement ne varie plus. Afin de

5.1. POSITION D’ ´EQUILIBRE STATIQUE D’UN FILM BIDIMENSIONNEL 135 v´erifier la convergence en maillage du mod`ele, nous calculons la norme suivante :

E_h(∆x) =

qui ´evalue `a t = 10s l’´ecart entre le profil h_∆x(x,10) obtenu par simulation num´erique avec un pas de maillage ∆x et le profil th´eorique d’´equilibre h_x(x). Nous introduisons

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egalement une autre norme : E_p(∆x) = 1

qui ´evalue `a t = 10s l’´ecart entre la variable p<sub>∆x</sub> obtenu par simulation num´erique avec un pas de maillage ∆x et sa valeur th´eorique (∂h/∂x)<sub>∆x</sub> ´egale `a la d´eriv´ee spatiale de l’´epaisseur du film

(∂h/∂x)_∆x = h(x_i+1)−h(xi−1)

2 ∆x (5.4)

L’´evolution de ces deux normes en fonction du pas maillage est trac´ee sur la figure 5.6.

(a) Convergence de la normeEh(∆x). (b) Convergence de la normeEp(∆x).

Figure 5.6 – Evolution de diff´erentes normes L² en fonction du pas de maillage ∆x uniforme. Une ´echelle logarithmique est utilis´ee.

Table 5.3 – Evolution de l’angle θnum, de l’´etalementWnum, et de l’erreur E_h∗ obtenus num´eriquement `at= 10sen fonction du pas de maillage ∆x. Le rayon d’action h∗ est fix´e

`a ∆x= 1.749×10⁻⁴ m. Le pas de temps moyen ∆t est d’environ 10⁻⁴ s.

∆x(m) ∆x

h∗

∆x h_puddle

|Wnum−Ws|

W_s ×10⁻² E_h×10⁻² Ep×10⁻² 2,733×10⁻⁶ 1/64 '1/640 4,774×10⁻¹ 5,3×10⁻¹ 6,9×10⁻² 5,466×10⁻⁶ 1/32 '1/320 4,82×10⁻¹ 5,33×10⁻¹ 1,28×10⁻¹ 8,742×10⁻⁵ 1/2 '1/20 4,471×10⁻¹ 6,58×10⁻¹ 1,23 1,749×10⁻⁴ 1 '0,1 3,668×10⁻¹ 7,69×10⁻¹ 1,93

3,498×10⁻⁴ 2 '0,2 8,715×10⁻¹ 3,89 2,77

6,996×10⁻⁴ 4 '0,4 4,655 6,79 3,88

3,748×10⁻³ 10 '0,2 1,478×10¹ − 4,07

1,749×10⁻² 20 '1 2,463×10¹ 3,48×10¹ 4,25

On voit que les deux normes E_h(∆x) et E_p(∆x) diminuent de fa¸con monotone avec le pas de maillage ∆x. De plus, on constate qu’`a partir de ∆x = h∗, la norme Eh(∆x) varie tr`es peu, traduisant qu’il n’est pas n´ecessaire de raffiner davantage le maillage. En effet, `a partir de ∆x=h∗, les forces mol´eculaires sont bien discr´etis´ees. Un maillage plus fin n’apporte donc que tr`es peu de pr´ecision suppl´ementaire au voisinage du point triple.

Si on s’int´eresse `a pr´esent `a l’´evolution de l’´etalement stationnaire du film en fonction de ∆x, on constate que celui-ci est toujours bien retrouv´e, et ce mˆeme pour des pas de maillage du mˆeme ordre que l’´epaisseurh_puddledu film. En effet, bien que l’erreur de 25 % avec le pas de maillage le plus grossier ∆x =h_puddle semble grande, on voit sur la figure 5.7 que l’´etalement est en fait retrouv´e `a l’´echelle du maillage. On en vient `a la mˆeme conclusion formul´ee au paragraphe pr´ecedent que l’´etalement stationnaire est toujours bien retrouv´e ind´ependamment du pas de maillage utilis´e.

Figure 5.7 – Vue au voisinage du point triple du profil `a l’´equilibre de l’´epaisseur h(x) en fonction du pas de maillage ∆x. L’´epaisseur du film h(x) et l’abscisse x sont respecti-vements adimensionn´es par l’´epaisseurh<sub>puddle</sub> et par l’´etalementW<sub>s</sub> du profil th´eorique `a l’´equilibre.

5.1. POSITION D’ ´EQUILIBRE STATIQUE D’UN FILM BIDIMENSIONNEL 137