Condition aux limites ` a la paroi

egalement lin´eairement avec le nombre capillaire et logarithmiquement avec une ´echelle de coupure microscopique.

Remarque 4

Les deux approches aboutissent `a un polynˆome de degr´e 3 en angle de contact dyna-miqueθdproportionnel au nombre capillaireCa. Il apparaˆıt ´egalement une d´ependance avec un rapport micro/macro n´ecessaire pour s’affranchir de la singularit´e `a la ligne de contact. Ce rapport constitue un param`etre ajustable et est tr`es difficile `a ´evaluer exactement car il d´epend des caract´eristiques de surface du solide et des interac-tions mol´eculaires. Toutefois, son influence sur l’angle dynamique est faible (logarith-mique) et un rapport compris entre de 10⁴ et 10⁶ s’accorde bien avec des donn´ees exp´erimentales [13].

2.2.6 Condition aux limites `a la paroi

Nous avons vu `a la section pr´ec´edente qu’une singularit´e existe au point triple `a cause de la condition aux limites de non-glissement (2.6a) utilis´ee pour obtenir le profil de vitesse. Cette singularit´e induit une divergence de la dissipation visqueuse `a moins d’in-troduire ”manuellement” une longueur de coupure microscopique. Puisque l’´equation de lubrification (2.34) d´erive de la condition aux limites (2.6a), elle admet ce mˆeme probl`eme th´eorique. On pr´esente deux solutions tr`es r´epandues dans la litt´erarure afin de rendre l’´equation de lubrification (2.34) consistent avec le mouvement d’un point triple.

Approche par longueur de glissement

On rappel que le choix d’une condition aux limites de non-glissement sur la vitesse longitudinale, du typeu(z= 0) = 0, m`ene `a un gradient de vitesse `a la paroi qui s’´ecrit

∂u

∂z

(z=0)

= 1 µ

3 µ u(x) h(x) −τ_i^x

2

(2.61) Puisque la condition aux limites de non-glissement induit que (2.61) diverge lorsquehtend vers 0, celle-ci n’est pas adapt´ee au voisinage du point triple. Afin de lever cette divergence, Huh [60] et Greenspan [61] proposent de remplacer la condition de non-glissement sur la vitesse par une condition de glissement qui impose que la contrainte visqueuse `a la paroi v´erifie :

∂u

∂z

(z=0)

= u(z= 0)

b/3 (2.62)

avec b appel´ee dans la litt´erature longueur de glissement. Le facteur 1/3 est arbitraire, il permet seulement d’obtenir une forme factoris´ee de l’expression (2.64c). La nouvelle condition aux limites `a la paroi, dite condition de Navier [62, 63], s’´ecrit alors

u(z= 0) = b 3

∂u

∂z

(z=0)

(2.63) La longueurb/3 s’interpr`ete comme la profondeur (`a l’int´erieur du substrat) `a laquelle l’ex-trapolation lin´eaire du profil de vitesse s’annule (figure 2.22b). On parle ainsi de condition

2.2. MOD `ELES AVEC LIGNE TRIPLE 67 de glissement car la vitesse `a la paroi u(z = 0) devient nulle. La condition de non-glissement est retrouv´ee dans la limite b= 0.

(a) Condition au limites de non-glissement

(b) Condition aux limites dite de Na-vier

Figure 2.22 – Repr´esentation du profil de vitesse longitudinal u(z) en fonction de la condition aux limites `a la paroi.

En rempla¸cant la condition de non-glissement (2.6a) par celle de Navier (2.63), le profil de vitesse paraboliqueu(x, z), sa moyenne dans l’´epaisseur du filmu(x) et les contraintes visqueusesτ_w(x) s’´ecrivent :

u(x, z) =−1 En r´e´evaluant le travail des forces visqueuses (2.55) de De Gennes, on obtient :

dWµ= qui ne diverge plus au voisinge du point triple et ne n´ecessite plus de tronquer l’int´egrale en h= 0, car la longueur de glissementbjoue le role de longueur de coupure mol´eculaire.

Finalement, l’´equation de lubrification modifi´ee s’´ecrit en 2D :

∂h

Approche par pression de disjonction

Certains auteurs [48, 49, 50, 52] pr´ef`erent utiliser une pression de disjonction qui com-bine des forces attractives et r´epulsives. Cette pression permet de d´ecrire un liquide par-tiellement mouillant, cependant il ne va pas se d´eplacer sur un substrat sec, mais sur un substrat totalement recouvert d’un film pr´ecurseur (voir section 2.2.4). Si on reprend le mod`ele (2.38) utilis´ee par Dejarguin, il permet d’introduire un film pr´ecurseur `a l’´equilibre d’´epaisseurh∗. Cette m´ethode est donc similaire `a l’introduction d’une longueur de glis-sement b = h∗, car on voit sur la figure 2.23b que la vitesse `a la paroi ”pr´e-mouill´ee”

u(z=h∗) est non-nulle et que le travail des forces visqueuses vaut : dWµ=

Z "

3µ U² h dt

#

dx= 3µ U² dt tan(θd) ln

H h∗

(2.67) Le film pr´ecurseur pr´esent sur le substrat empˆeche la divergence de la dissipation visqueuse puisque l’´epaisseurh est minor´ee parh∗.

(a) Substrat sec (b) Film pr´ecurseur d’´epaisseur h_∗

Figure 2.23 – Repr´esentation profil de vitesse longitudinal u(z) dans le cas d’une ligne triple en contact avec un substrat sec et un substrat ”pr´e-mouill´e”.

Conclusion

Pour s’affranchir de la singularit´e `a la ligne de contact, le probl`eme est trait´e dans la litt´erature en introduisant une longueur de coupure mol´eculaire via une longeur de glissement b soit via la pr´esence d’un film pr´ecurseur d’´epaisseur h∗. La comparaison des deux approches [107] m`ene `a la conclusion que les r´esultats sont tr`es proches quand l’´epaisseur du film pr´ecurseur h∗ et la longueur de glissementb ont des valeurs similaires.

2.2.7 Pr´ediction et simulation num´erique de la formation de ruisselets Pour comprendre le m´ecanisme `a l’origine de la formation de ruisselets ainsi que leurs caract´eristiques, telles que leur taux croissance temporelle ou la distance entre deux ruis-selets successifs, plusieurs auteurs se sont int´er´ess´es `a la stabilit´e lin´eaire et `a la simulation num´erique d’un film s’´ecoulant sur un plan inclin´e `a partir de l’´equation de lubrification (2.35). La litt´erature sur la transition en ruisselets par cisaillement d’air ´etant tr`es mince, on ne pr´esente dans cette section que des r´esultats d’´ecoulements de films pilot´es par la gravit´e.

2.2. MOD `ELES AVEC LIGNE TRIPLE 69