Principe général de la méthode

h_s1(f )et ˜hs2(f )sont les FTOs statiques des deux canaux. Ces FTO s’expriment simplement en fonction des aberrations statiques de chaque canal :

˜ h_s1(f ) =TF^ TF⁻¹  P(r)e^jφλ1s1(r)^  2^ (4.13) ˜hs2(f ) =TF^ TF⁻¹  P(r)e^jφλ2s2(r)^  2^ (4.14) De même la phase statique φsconsidérée à la longueur d’onde λ est notée φλ

s.

De plus, chaque image comporte un bruit b1 et b2 que nous considérerons en première approximation blanc gaussien et stationnaire. Notons qu’une complexification du modèle de bruit peut se faire simplement (voir chapitre3par exemple) sans nuire à la généralité des études menées ci-après.

L’objet o peut s’écrire à chaque longueur d’onde comme la somme d’une étoile (un dirac) de flux F0et du reste du champ observé à la longueur d’onde λ o0

λ(α):

o_λ1(α) = F0δ(α0) + o⁰_λ1(α) (4.15)

o_λ2(α) = F₀δ(α₀) + o0

λ2(α) (4.16)

où F0 est le flux de l’étoile, α0 est la position de l’étoile dans le champ, F1,k et F2,k sont les flux relatifs des différents compagnons et αkleur positions respectives. Les rapports typiques entre le spectre de l’étoile et celui du compagnon, aux longueurs d’onde d’intérêt de SPHERE, permettra de faire plus loin des hypothèses simplificatrices. Il est à noter dès maintenant que le flux de l’étoile reste constant entre canaux spectraux alors que celui de la planète présente des signatures dues à la chimie complexe de son atmosphère (Cf Figure4.1).

4.1.1 Principe général de la méthode

Nous proposons ici une méthode de déconvolution fondée sur une approche de Maximum A Posteriori. Ce cadre global est le même que celui de la diversité de phase (étudiée dans le chapitre 3) ou que celui de l’algorithme MISTRAL[65]. Cette méthode consiste à estimer la FEP ainsi que l’objet observé dans le jeu de données constitué des deux images spectrales dont l’expression est donnée à l’Equation 4.2. Les réflexions menées dans cette partie ainsi que les résultats présentés ont fait l’objet d’un acte de conférence[106], inséré en annexe à la fin de ce chapitre.

Dans ces deux équations, les inconnues sont les FEP aux deux longueurs d’onde, ainsi que les objets aux deux longueurs d’onde. Les FEP dépendent de la fonction de structure de la phase turbulente, ainsi que des aberrations statiques de chaque canal spectral. L’estimation conjointe de l’ensemble de ces paramètres représente un défi trop audacieux, étant donné le trop grand nombre de paramètres à estimer (deux objets, une fonction de structure, deux cartes de phase) par rapport au faible nombre de données (deux images).

Cependant, nous avons montré dans le chapitre 3qu’il est possible d’estimer les aberrations statiques à l’aide d’images plan-focal. Cette estimation fait intervenir la diversité de phase. Dans le chapitre 3, l’es-timation est faite dans un cas purement statique, non turbulent. Nous considérons dans un premier temps que cette estimation est parfaite. Eventuellement, dans un second temps, il est envisageable de chercher à améliorer cette connaissance en utilisant une méthode myope.

FIG. 4.1 – Spectre d’une planète géante gazeuse à 500K et d’une étoile G2. Le spectre de la planète est donné pour deux positions orbitales, à ' 1AU [vert] et à quelques AU [bleu], où la planète présente uni-quement son émission propre dans d’infrarouge.

Après cette hypothèse, l’estimation de la FEP se réduit dans notre cas à l’estimation de la fonction de transfert turbulente résiduelle et de l’objet. Cette estimation nécessite la mise en œuvre d’une méthode d’in-version dédiée. Nous allons donc maintenant nous y intéresser, en nous basant sur une approche MAP.

Comme expliqué dans le chapitre 2, l’approche MAP consiste à écrire la densité de probabilité P = P (o, D_φ|iλ1, i_λ2)de l’objet o aux deux longueurs d’onde et de la fonction de structure Dφ, connaissant les images. Trouver alors le meilleur objet et la meilleure fonction de structure revient à maximiser la probabilité P par rapport à o et Dφ. P(o, Dφ) = P (D_φ, o_λ1, o_λ2|iλ1, i_λ2, φ^λ1 s1, φ^λ2 s2) ∝ P (iλ1, i_λ2|o, Dφ, φ^λ1 s1, φ^λ2 s2)P (o)P (D_φ) (4.17) Le premier terme P (iλ1, i_λ2|o, Dφ, φ^λ1

s1, φ^λ2

s2)est le terme de vraisemblance, déterminé par le niveau de bruit dans les données et le modèle de formation d’image utilisé. Sa statistique est donnée par la statistique du bruit dans l’image. Dans une première approximation, nous le considérerons blanc et stationnaire. Les termes suivants P (o) et P (Dφ)sont les connaissances a priori que nous avons sur les paramètres à estimer. Ces termes de régularisation permettent d’améliorer les performances finales de la méthode. Par exemple, la fonction de structure présente une forme particulière dépendant des paramètres de la turbulence au moment de l’acquisition qui peut être pris en compte dans le terme P (Dφ).

Le critère MAP J (oλ1, o_λ2, D_φ)est l’antilogarithme de la probabilité P. Maximiser la probabilité P est équivalent à minimiser ce critère MAP :

J (oλ1, o_λ2, D_φ) = − ln(P) (4.18)

J (oλ1, o_λ2, D_φ) = ¹ 2σ2||˜iλ1(f ) − ˜h1(D_φ, φ^λ1 s1, f )˜o_λ1(f )||² + ¹ 2σ2||˜iλ2(f ) − ˜h2(D_φ, φ^λ2 s2, f )˜o_λ2(f )||² + JDφ(D_φ) + Jo(o) (4.19)

où JDφ(D_φ) et Jo(o) sont les termes de régularisation portant sur la fonction de structure et l’objet observé. Ils sont égaux à l’antilogarithme des lois de probabilité correspondantes. σ2est la variance du bruit dans l’image. Elle est supposée constante. Il est possible de considérer une variance non constante σ2(r) prenant alors en compte une statistique fine de bruit de photon (voir chapitre3, section3.1). Cependant nous nous sommes focalisés sur la faisabilité de l’estimation de Dφet n’avons pas implanté cette possibilité. Ce point ne présente à notre avis pas de difficulté majeure et ne remet pas en cause les conclusions essentielles de cette partie.

Les régularisations possibles sur l’objet ont déjà fait l’objet d’une section dans le chapitre 2. La régula-risation sur la fonction de structure fera l’objet d’une étude spécifique dans la suite.

4.1.1.1 Hypothèses et méthode simplifiée

Dans le cadre de cette méthode d’inversion, nous posons l’hypothèse suivante dans le but de simplifier la minimisation et de démontrer la faisabilité de l’approche générale proposée plus haut.

Nous supposons que le compagnon présente une signature spectrale particulière : celui-ci émet de la lu-mière à la longueur d’onde λ1et est indétectable à la seconde longueur d’onde λ2. Ceci signifie par exemple que le compagnon est un Jupiter chaud et présente une raie d’absorption très forte autour de λ2. Ce cas correspond à un cas « Baseline » pour SPHERE, où les longueurs d’ondes sont choisies autour de la raie d’absorption du méthane. La seconde image iλ2 est donc considérée comme une FEP de référence et la minimisation peut donc être ramenée en trois étapes successives, résumées sur la Figure4.2:

– Estimation de la fonction de structure Dφ(ρ) dans l’image iλ2 (sans compagnon), en supposant connues les aberrations statiques φλ2

s2. Ceci correspond à minimiser le critère global de l’équation4.19 par rapport à la fonction de structure Dφ. Ceci correspond à la minimisation du critère réduit suivant :

J (Dφ) = ¹

2σ2||˜iλ2(f ) − F0.˜h₂(D_φ, φ^λ2

s2, f )||²+ JDφ(D_φ) (4.20) celui-ci contient les second et troisième termes du critère global, à savoir le terme de vraisemblance sur iλ2 et le terme de régularisation JDφ(D_φ). La fonction de structure est alors estimée à la longueur d’onde λ2,

– Mise à l’échelle de la fonction de structure (estimée à la longueur d’onde λ2) à la longueur d’onde λ1 selon l’équation 4.12. Cette mise à l’échelle se fait théoriquement sans perte d’information, à la différence d’une mise à l’échelle des images. Puis, calcul de la FEP complète correspondant à la première voie optique,

– Déconvolution de la première image iλ1 à FEP h1 connue. Cette déconvolution permet d’estimer l’objet oλ1, constitué de l’étoile et du compagnon éventuel. Cette déconvolution consiste à minimiser le critère réduit suivant en fonction de l’objet o :

J (o) = _2σ¹₂||˜iλ1(f ) − ˜h2(D^λ1

φ , φ^λ1

s1, f ).˜o_λ1(f )||²+ Jo(o) (4.21) celui-ci contient les termes 1 et 4 du critère écrit à l’équation4.19. Ce sont (d’après notre hypothèse) les seuls termes dépendant de l’objet o.

FIG. 4.2 – Schéma général de la méthode telle qu’implantée dans notre approche simplifiée. Cette solution est légèrement sous-optimale. La seule approximation est d’estimer la fonction de struc-ture avec une seule des deux images, afin de découpler le problème, alors les deux images contiennent de l’information sur Dφ.