2.3 Les méthodes d’inversion
2.3.3 Estimation coinjointe de l’objet et de la FEP : limite des méthodes myopes ou aveugles 51
Comme énoncé précédemment, un raisonnement similaire peut être mené sur la réponse de l’instrument lorsque l’on fait une déconvolution myope, ie lorsque l’on cherche o et h. Le critère global s’écrit alors comme une somme de trois termes :
JM AP(o, h) = − ln p(i|o, h) − ln p(o) − lnp(h) (2.46) = Ji(o, h) + Jo(o) + Jh(h)
Il existe de nombreuses occasions où la réponse de l’instrument h est inconnue, ou mal connue (ab-sence de référence, ou référence approximative). La déconvolution (présentée dans la section précédente) appliquée avec une mauvaise réponse h n’apporte que des résultats catastrophiques, il est donc nécessaire de considérer la réponse comme inconnue. Ce second cas de figure, plus complexe, consiste donc à estimer conjointement la réponse de l’instrument et l’objet observé.
Le nombre d’inconnues est alors multiplié par 2, sauf en cas de paramétrisation de la FEP ou de l’objet, et le nombre de mesures (concrètement le nombre de pixels dans l’image acquise) ne suffit plus à condition-ner convenablement le problème. Le problème est alors dit « mal posé ». Parmi les techniques d’estimation conjointes de l’objet et de la FEP, on distingue la déconvolution « Aveugle » lorsqu’aucun a priori n’est imposé sur la FEP, et la déconvolution « myope » dans le cas avec a priori. Plusieurs exemples de déconvo-lution aveugle [68,69,70,71]) mènent à des résultats peu satisfaisants tant du point de vue de l’objet que du point de vue de la FEP.
L’estimation myope de la FEP [64,65] consiste à introduire des a priori sur la réponse de l’instrument, comme par exemple une DSP typique acquise sur les FEP de référence et rendant compte de la variabilité de cette dernière.
Dans le cas de longues poses turbulentes, la FEP ne s’exprime pas en fonction de la phase dans la pupille mais en fonction de la fonction de structure Dφ(Cf section2.2.3). L’estimatin de la FEP se fait alors point-à-point [65]. Dans la mesure où nous allons chercher dans la suite à mesurer un front d’onde aberrant, je ne me focalise pas sur ce cas.
Par contre, dans le cas de l’estimation de la FEP, il est nécessaire de distinguer deux cas. Dans le cas de courtes poses turbulentes, la FEP peut s’exprimer en fonction de la phase dans la pupille et l’estimation de la FEP peut se faire via l’estimation de la phase[64,53].
image focalisée image défocalisée d
φ
télescope
Phase dans la pupille
Focused image Defocused image Pupil phase
FIG. 2.21 – Schéma de principe de la diversité de phase.
2.3.4 La diversité de phase 2.3.4.1 Principe
La diversité de phase est une technique d’estimation de la phase aberrante à partir images plan-focal. Une description détaillée de la diversité de phase peut être trouvée dans l’ouvrage récent de L. Mugnier[72]. Ce type de technique se fonde sur la résolution d’un problème inverse, elles ont été développées tout d’abord dans le cas où l’objet observé est ponctuel. L’image plan-focal est alors directement une version bruitée de la FEP. Elles ont été ensuites adaptées à l’estimation conjointe d’un objet étendu et de la phase aberrante. La difficulté majeure lors de l’estimation de la phase à partir de la répartition d’intensité plan-focal est la non-unicité de la solution. Plus précisément, on peut montrer que cette indétermination porte sur la partie impaire de la décomposition de la phase φ. Ce problème d’indétermination a conduit Gonsalves [53] à proposer l’utilisation d’une seconde image lors de l’inversion, de façon à coder l’information sur la phase et lever les indéterminations. La seconde image id doit différer de la première if d’une phase connue φd, l’objet o observé restant identique :
if = hf ? o + bf avec hf = TF−1(P ejφ) 2 (2.47) id = hd? o + bd avec hd= TF−1(P ej(φ+φd)) 2 (2.48) où bf et bd sont les bruits respectifs des images if et id. Ces bruits peuvent avoir des statistiques diffé-rentes, en particulier à cause de la répartition différente d’intensité dans les deux images.
La Figure 2.21 montre le principe de la diversité de phase, où la phase connue φd est un défocus. Le defocus est en pratique la phase la plus aisée à introduire (et sera d’ailleurs considérée comme la diversité de phase dans toute la suite), par mouvement du détecteur au niveau du plan focal ou par le biais d’un miroir déformable dans le cas d’une boucle d’OA.
La diversité de phase repose sur une relation non linéaire entre les mesures (images) et la phase, et dépend en outre de l’objet. Cette relation rend donc l’inversion difficile mais permet à la diversité de phase d’allier les capacités d’analyse de surface d’onde et de restauration d’image. Sa simplicité de mise en œuvre, et en particulier l’absence de dispositif optique supplémentaire, est un avantage majeur.
Choix d’un estimateur Le problème de la diversité de phase réside essentiellement dans l’inversion per-mettant de passer des deux images focales à la phase et à l’objet observé.
Selon l’approche Bayésienne [73,72], il existe plusieurs estimateurs pour l’objet et la phase. On choisit le plus simple, un critère de Maximum A Posteriori conjoint portant sur l’objet o et la phase φ à estimer. Le développement de ce critère n’est pas refait ici, son expression complète simplifiée est seulement rappelée :
J(o, φ) = (if − hf ? o)tR−1b f (if − hf ? o) + (id− hd? o)tR−1b d (id− hd? o) + 1 2(o − om)tRo−1(o − om) +1 2(φ − φm)tR−1φ (φ − φm) (2.49) Les deux premiers termes de ce critère sont les termes d’attaches aux données, correpondant aux deux images focalisées et défocalisées if et id. Il est à noter que la présence des matrices de covariance du bruit Rbf et Rbd respectivement dans l’image focalisée et défocalisée permettent de prendre en compte une statistique de bruit corrélé. Dans le cadre de nos hypothèses sur le bruit cependant, la matrice de covariance est donc diagonale et comporte sur chaque élément de la diagonale les valeurs de variance du bruit sur chaque pixel.
Les différentes régularisations utilisables et portant sur l’objet ont été discutés dans la section 2.3.2 précédente. Les régularisation portant sur la phase φ sont similaires, elles visent à contraindre l’estimation de φ et amoindrir ainsi l’effet du bruit.
Exemple d’estimation L’exemple suivant (Figure2.22) montre la FEP reconstruite d’après la phase esti-mée par diversité de phase. L’estimation est faite sur deux images focalisée et défocalisée expérimentales. La phase est estimée sur une base tronquée de polynômes de Zernike, le nombre de coefficients estimés est de 15. Pour cette raison, seules les basses fréquences spatiales de la phase sont reconstruites, ce qui équivaut à reconstruire difficilement les structures de la FEP loin de l’axe optique. On note cependant une très bonne correspondance entre la FEP estimée et la FEP vraie.
Une étude plus approfondie de la diversité de phase, notamment en ce qui concerne son optimisation et ses performances, est effectuée dans le chapitre3.
FIG. 2.22 – Exemple de reconstruction de FEP par diversité de phase. Les FEP expérimentales [gauche] sont traitées par diversité de phase pour estimer la phase dans la pupille. Les FEP reconstruites d’après cette phase sont à droite. La phase est décomposée sur la base des Zernike tronquée à Z15, d’où la différence loin de l’axe optique. L’échelle d’affichage est logarithmique et inversée.