Choix de paramètres par simulation

Dans cette partie nous allons montrer quelques résultats de simulations qui nous ont permis de fixer les paramètres de la PCL : nombre de polynômes mesurés et compensés. Certes le degré de liberté étant en théorie le nombre de modes propres du système, le nombre de polynômes à mesurer et à compenser devrait être directement choisi en fonction de celui-ci. Cependant, les deux bases modales que sont les Zernike (base de la mesure) et les modes propres (base du système) ne sont pas équivalentes (en particulier le positionnement cartésien des actionneurs contraste fortement avec la géométrie polaire des Zernike). Nous nous intéressons donc dans cette partie aux problèmes d’erreurs de modèle qui apparaissent lorsqu’on projette une phase décrite par sa décomposition en coefficients de Zernike sur les modes propres du système. Dans un premier temps, nous décrivons le formalisme matriciel de la PCL, puis nous nous focalisons sur le nombre de polynômes de Zernike à mesurer et à compenser. Enfin nous présentons quelques résultats concernant les effets de repliement lors de la mesure par diversité de phase.

3.2.1.1 Formalisme matriciel de la Pseudo-Closed Loop

Le but de la Pseudo-Closed Loop est de s’affranchir des erreurs de modèle introduites lors de la projection des NCPA mesurées sur les tensions appliquées au miroir. Nous noterons dans la suite a le vecteur de coefficients de Zernike décrivant les NCPA (a = {ak}, et φN CP A=^P_ka_kZ_k). Cette projection peut se mettre sous une forme matricielle. Ceci demande d’introduire certaines matrices :

– soit Z la matrice de transformation des a en pentes p.

– soit D la matrice d’interaction du système d’OA, projettant les tensions v sur les pentes p – soit C la matrice de commande, projettant les pentes p sur les tensions à appliquer au miroir v. Zpermet de projetter dans l’espace des pentes, les coefficients de Zernike a décrivant les NCPA. Cette matrice est calculée analytiquement et prend en compte la géométrie du Shack-Hartmann.

p= Za (3.1)

Puis la fermeture de boucle consiste à calculer les tensions v à appliquer au miroir. Ces tensions corres-pondent à la compensation des NCPA mesurées par la diversité.

v= Cp (3.2)

La matrice de commande C s’obtient par inverse généralisée de la matrice d’interaction D :

C = D^TD
⁻¹D^T (3.3)

L’expression complète donnant les tensions appliquées au miroir déformable en boucle fermée est donc la suivante :

v= CZa (3.4)

Le calcul des tensions de correction compensant les NCPA mesurées fait donc appel à la matrice de commande (calibrée sur le banc) mais également à une matrice théorique Z qui ne prend pas en compte les

erreurs de modèle, les erreurs d’alignement des optiques ou de non-uniformité du flux sur le plan pupille d’entrée du Shack-Hartmann. Nous verrons dans la suite (partie 3.2.2.4) qu’il est possible d’améliorer ce calcul matriciel en changeant la base de décomposition des NCPA.

3.2.1.2 Etude du nombre de coefficients de Zernike mesurés et compensés

Le miroir déformable a un nombre limité d’actionneurs (9×9). Il ne peut par conséquent pas compenser toutes les fréquences spatiales des aberrations.

Une étude en simulation montre qu’après avoir compensé les polynômes de Zernike Z4 à Z78(1rad2 de variance), la phase résiduelle augmente avec l’indice des Zernike. (comme illustré sur la figure 3.1). Le MD est capable de générer correctement les premiers polynômes de Zernike , mais plus difficilement les Zernike de haut indice (à l’exception de certains polynômes dont la géométrie correspond à celle de la grille d’actionneurs).

Cette simulation prend seulement en compte la géométrie du MD et les fonctions d’influence, c’est à dire les déformées du miroir lors de l’application d’une tension de 1 V à un actionneur. La simulation ne prend pas en compte la mesure ASO du front d’onde, ou des désalignements optiques et est par conséquent optimiste. De plus, la décomposition de la phase résiduelle sur les polynômes de Zernike (Figure3.2) montre qu’un effet de couplage a introduit d’autres ordres. Par exemple lors de la compensation de 1 rad2 du polynôme Z40, la phase résiduelle est composée d’un résidu de 0,4 rad2de polynôme Z40mais également de 0,3 rad2 du polynôme Z60(voir Figure3.2).

Pour éviter ces effets de couplage néfastes, nous avons choisi de compenser seulement 25 polynômes de Zernike, du défocus Z4jusqu’au polynôme Z28. Ainsi, nous nous assurons de compenser significativement les aberrations (l’énergie de la phase aberrante est principalement concentrée dans les premiers polynômes de Zernike), sans introduire d’effets incontrôlés.

La compensation d’un plus grand nombre de polynômes de Zernike sera discutée plus tard.

FIG. 3.1 – Simulation : variance de la phase résiduelle après compensation des 75 premiers polynômes de Zernike par le MD.

Residual phase 4 ⁷⁸ Zernike index 4 170 60 40 40

FIG. 3.2 – Décomposition de la phase résiduelle sur les polynômes de Zernike. L’échelle de nuances de gris est linéaire, en abscisses les 75 résidus de phase après compensation par le MD, en ordonnée leur décomposition sur les 167 premiers polynômes de Zernike.

A la lumière de cette étude, il est maintenant possible de quantifier le nombre de polynômes de Zernike corrigeables par le MD. Le MD peut aisément corriger les 6 premiers ordres radiaux de Zernike (de Z4 à Z28) sans introduire de variance résiduelle excessive (V < 0,2rad2). Cette valeur a été choisie lors des manipulations présentées dans l’article de la section3.1.

3.2.1.3 Etude du repliement de la mesure par diversité de phase

La mesure des NCPA par la diversité de phase se heurte aux mêmes limitations que toute mesure de front d’onde par un ASO : le repliement. C’est à dire que la phase aberrante est une grandeur physique continue et son spectre est par conséquent à support infini. Ce spectre contient en particulier des hautes fréquences spatiales.

Or, la phase est mesurée par sa décomposition tronquée sur la base des polynômes de Zernike, les hautes fréquences se replient donc sur les plus basses lors de la mesure. Nous avons cherché ici à quantifier et à qualifier ce phénomène de repliement lors de la mesure des aberrations par la diversité de phase.

Cette étude est faite en simulation. Les images focalisées et défocalisées sont simulées sans bruit de ma-nière à isoler l’influence du repliement. Les conditions expérimentales sont les suivantes : la phase aberrante est constituée de l’unique polynôme Zk, de variance ak= 1rad. L’indice k est pris élevé (k = 104 . . . 200) pour introduire des hautes fréquences dans la phase. Puis la phase est estimée sur les 100 premiers poly-nômes de Zernike (de Z4 à Z103). Le résultat attendu en l’absence de repliement serait normalement une phase estimée nulle, mais la haute fréquence se replie sur les basses fréquences et introduit une erreur non nulle. La Figure3.4montre l’erreur de reconstruction en fonction du degré du polynôme introduit.

FIG. 3.3 – Effet du repliement d’un polynôme de haut ordre k sur l’erreur totale de reconstruction, en fonction du polynôme de haut ordre introduit dans la phase, d’un EQM de 1 radians. La phase est reconstruite sur les 100 polynômes Z4à Z103.

Le polynôme introduit Zkmais non reconstruit se replie donc sur les 100 premiers polynômes, de façon non négligeable, quelque soit le polynôme introduit. On peut cependant noter un léger amoindrissement de l’effet de repliement lorsque k tend vers 200. La variance a2

k introduite sur le polynôme k se replie intégralement sur les polynômes Z4 à Z103. L’effet de repliement est même amplifié pour certains modes particuliers, en particulier pour Z120où l’erreur de reconstruction est plus de deux fois supérieure à la valeur du coefficient introduit.

Dans un cas réaliste cependant, les aberrations à mesurer ne présentent pas un spectre constant (a2 k = 1 rad²) mais un spectre décroissant (a2

Figure3.4est donc à pondérer par le spectre typique des aberrations à mesurer. Dans le cas d’un spectre en 1/n2, en considérant que la mesure par diversité de phase est linéaire, et en considérant un coefficient a104de 1 rad², l’erreur de repliement associée est tracée en Figure3.4. Dans ce cas, l’effet du repliement est visible jusqu’au polynôme k ' 150. Au delà, l’effet du repliement est assimilable à un bruit de reconstruction.

FIG. 3.4 – Effet du repliement d’un polynôme de haut ordre k sur l’erreur totale de reconstruction, en fonction du polynôme de haut ordre introduit dans la phase. La variance du polynôme introduit suit un spectre en 1/n2. La phase est reconstruite sur les 100 polynômes Z4à Z103.

Pour pallier ce problème de repliement, une solution immédiate est de mesurer plus de modes que ceux dont on a effectivement besoin, et tronquer le résultat aux seuls modes nécessaires. Ainsi le repliement est absorbé par les modes supplémentaires mesurés.

Concrètement, sur le banc BOA, le MD peut corriger correctement les polynômes Z4 à Z28. Pour être certains d’éviter l’erreur de mesure liée au repliement, nous mesurerons les modes a4à a78, et ne conserve-rons que les modes a4à a28pour la compensation.

Nous allons maintenant étudier le repliement mode à mode d’un polynôme radial (k = 106) sur les polynômes d’indice inférieurs. Comme énoncé par Ludovic Meynadier [103], les polynômes se replient selon un même ordre azimutal (m constant), et sur les ordres radiaux inférieurs de même parité. J’ai pu ainsi observer que le polynôme Z106 (n = 7) se replie sur les polynômes Z4, Z11, Z22, Z37, Z56 et Z79 (n = 0 à 6) qui sont les ordres radiaux inférieurs (Figure3.5).

Cette étude sur le repliement des Zernike lors de la mesure par diversité permet maintenant de fixer le nombre de coefficients à mesurer pour absorber le phénomère de repliement. Dans le cas de N coefficients utilisés pour la compensation, une marge de manœuvre consiste à en mesurer ' 2N. Dans le cas des manipulations sur BOA, 25 coefficients sont compensés par le MD. Il a donc été nécessaire d’en mesurer deux fois plus, soit 75 afin de conserver l’intégralité du dernier ordre radial (n = 11).

3.2.2 Effets de reconstruction