Phases quantiques d’un spineur de chrome

4.2.1 Interactions de contact dépendantes du spin

Notre stratégie de condensation (cf. section 1.2.7) repose sur le chargement d’un piège optique dipolaire. Les atomes qui y sont piégés sont ensuite polarisés par pompage optique dans l’état de projection du spinm_S =−3de plus basse énergie, afin d’interdire la relaxation dipolaire, avant de débuter l’étape d’évaporation.

Cependant, si les taux de relaxation dipolaire étaient négligeables, il serait envi-sageable d’atteindre la condensation à partir d’autres sous-états Zeeman, suivant les propriétés des collisions élastiques et inélastiques correspondantes. C’est le cas dans des expériences avec des spineurs alcalins (de Rb et Na), pour lesquels les taux de relaxation dipolaire sont faibles, et où l’étape d’évaporation peut être effectuée dans divers sous-états Zeeman, parfois même plusieurs simultanément [133].

Pour un condensat de chrome où le taux de relaxation dipolaire est important, il faut que les atomes soient tous polarisés dans le même sous-état Zeeman de plus basse énergiemS =−3: cet état, stable en présence d’un champ magnétique suffisant (un champ supérieur à 5 mG suffit amplement dans nos conditions expérimentales), correspond à une phase ferromagnétique, et c’est l’état dans lequel nous produisons le condensat.

A champ magnétique nul, il n’y a plus d’effet Zeeman pour lever la dégénérescence des sous-états m_S et pour imposer l’état fondamental du système. Dans ce cas, ce sont les interactions de contact qui définissent l’état de plus basse énergie, et plus particulièrement la partie des interactions de contact qui dépend du spin.

Phases spinorielles à champ magnétique nul

Pour introduire quelques notions nécessaires, et afin de déterminer quelle est la phase de plus basse énergie à champ nul, fixée d’après la partie des interactions de contact dépendante du spin, nous reprenons ici le traitement effectué en [134] dans le cas d’une espèce bosonique de spin 1 (telle que ²³Na, ⁸⁷Rb). Le calcul repose tout d’abord sur la séparation, dans l’expression des interactions de contact, des parties dépendantes et indépendantes du spin. L’interaction de contact étant à symétrie sphé-rique, le spin totalSt d’une paire de particules est un bon nombre quantique pour dé-crire cette interaction. Nous écrivons alors le potentiel d’interactions de contact adapté à la description d’un spineur, ici dans le cas simplifié d’un spin S = 1, sous la forme :

ˆ V(⃗r) = δ(⃗r) ∑ St=0,2 g_StP^ˆ_St =δ(⃗r) ( g₀P^ˆ₀+g₂P^ˆ₂ ) (4.1)

oùg_St = ^4π~2aSt

m est la constante d’interaction de contact pour le canal de collision de spin total S_t, avec m la masse d’un atome, et a_St la longueur de diffusion en onde s associée à ce canal. Pour des raisons de symétrie, seules les valeurs paires de St sont considérées ici : lors de la collision entre deux particules identiques dans le même sous-état Zeeman, la fonction d’onde associée est paire, ce qui impose au spin totalS_t pour deux bosons collisionnant en onde s (moment angulaire orbital relatifl = 0, collisions dominantes à très basse température) d’être pair [151].

Le termeP^ˆ_St est l’opérateur de projection de la paire dans l’état de spin totalS_t. On utilise la relation de complétudeP^ˆ₀+ ˆP₂ = ˆI (avecI^ˆl’opérateur identité, etP^ˆ₁ nul par symétrie), ainsi que la relationS^⃗₁·_S⃗_{2 =}∑_2S

j=0λ_jP^ˆ_j (avecλ_j = ¹₂[j(j+ 1)−S(S+ 1)]), qui donne [134, 151] la relation S^⃗1 ·_S⃗_{2 = ˆP2} −2 ˆP0. Avec ces deux relations, on peut décomposer le potentiel d’interaction de contact en une partie indépendante du spin de coefficient c₀ et une partie dépendante du spin de coefficient c₂ :

ˆ

V(⃗r) = δ(⃗r)

(

c₀+c₂S^⃗₁·_S⃗₂)

(4.2) où les constantes c₀ et c₂ sont définies par c₀ = ^g0+2g2

3 et c₂ = ^g2−g0

3 . L’hamiltonien décrivant les interactions de contact s’écrit alors en seconde quantification :

ˆ Hcontact= ¹ 2 ∫ d⃗r ( c0 S ∑ m,j=−S ˆ Ψ^†_mΨ^ˆ†_jΨj^ˆ Ψm^ˆ +c2 S ∑ m,j,l,k=−S ˆ Ψ^†_mΨ^ˆ†_jS^⃗m,k·_S⃗_j,lΨlˆ _Ψkˆ ) (4.3)

où l’opérateur densité est défini parnˆ(⃗r) =∑_S

m=−S_Ψˆ†

m(⃗r) ˆΨm(⃗r), avec Ψ^ˆ†_m les opéra-teurs de création d’une particule dans le sous-état Zeemanm_S =m formant le vecteur du spineur. L’énergie associée à ces interactions de contact est calculée [134] dans l’ap-proximation de champ moyen :

E_contact=⟨_Hˆ_contact⟩= ¹ 2 ∫ d⃗r n²(⃗r) ( c₀+c₂⟨_S⃗⟩2) (4.4) où la densité s’écritn(⃗r) =⟨nˆ(⃗r)⟩=∑S

m=−Sψ_m^∗(⃗r)ψ_m(⃗r). Les termes S^⃗ = (S_x, S_y, S_z)

représentent les opérateurs vecteurs de spin, ⟨_S⃗

µ(⃗r)⟩ = ∑S

m,n=−Sζ_m^∗(s_µ)_m,nζ_n, où s_µ,

pourµ=x, y, z, sont les matrices de spin pour S = 1 et ψ_m(⃗r) = √

n(⃗r)ζ_m(⃗r), avec

ζ un spineur normalisé, ∑S

m=−Sζ_m^∗ζm = 1.

L’état fondamental est alors déterminé par la minimisation de l’énergie du système pour un nombre fixe de particules. A champ magnétique nul, la référence [134] démontre l’existence de deux phases distinctes, suivant le signe du coefficientc₂.

Pour c₂ <0, l’énergie du système est minimisée en rendant maximum la valeur de ⟨_S⃗⟩2 = 1, ce qui est réalisable par exemple lorsque tous les atomes sont polarisés dans le même sous-état Zeeman de magnétisation extrême. L’état fondamental du système

correspond donc à une phase ferromagnétique. L’état fondamental est constitué de tous les spineurs reliés par rotation et par transformation de jauge au spineur ζ = (1,0,0)

[134].

Pourc₂ >0, l’énergie est minimisée dans le cas où⟨_S⃗⟩= 0. Dans ce cas, l’état fon-damental correspond à une phase appelée polaire, de magnétisation nulle, représentée par le spineur ζ = (0,1,0) (et tous les spineurs liés par rotation et transformation de jauge). Cette phase est également appelée antiferromagnétique, terme adapté de la phy-sique des cristaux liquides, cependant elle ne correspond pas à un alignement alterné de spins antiparallèles (ordre de Néel), car le condensat ne possède pas l’ordonnancement d’un cristal.

Ces résultats calculés pour un spin S = 1 sont généralisables aux spins plus grands [136, 137, 16, 17]. Dans ce cas, les coefficients c_i sont des combinaisons linéaires des constantes d’interactionsg_St, et des phases supplémentaires apparaissent. On constate d’après cet exemple l’importance de la partie des interactions de contact dépendante du spin, qui détermine la nature de l’état fondamental.

4.2.2 Diagramme des phases à champ magnétique fini

A champ magnétique fini, l’effet Zeeman linéaire vient modifier les résultats précé-dents. En effet, pour l’exemple d’un spin S = 1, la séparation en énergie entre phase ferromagnétique et phase polaire, apparaissant àc₂ = 0, est alors décalée par l’énergie Zeeman. La transition de phase s’effectue alors pour un champ magnétique critique

B_c dépendant de la valeur de c₂ [151], telle que l’énergie Zeeman soit compensée par l’énergie d’interaction provenant de la partie des interactions de contact dépendante du spin. Ainsi, un système S = 1 initialement dans la phase polaire (antiferromagné-tique) à champ nul, deviendra ferromagnétique pour un champ magnétique supérieur au champ critique B_c. Au contraire, un système ferromagnétique à champ nul restera toujours ferromagnétique à champ fini.

Dans le cas du chrome, de spin S = 3, les différentes longueurs de diffusions a₆,

a₄, a₂, et a₀ déterminent la nature de l’état fondamental à champ magnétique nul. La différence a₆−a₄ ≈ 38a_B est positive, ce qui impose que l’état fondamental soit une phase non-ferromagnétique : par analogie avec le casS = 1décrit ci-dessus, la différence

a₆−a₄ correspondant au terme c₂ >0, nous appellerons alors antiferromagnétique la nature du condensat de chrome à champ nul. Dans ce cas, la phase quantique corres-pondant à l’état fondamental antiferromagnétique du chrome est indéterminée : elle peut être polaire, cyclique,... selon la valeur de la longueur de diffusion a₀ encore in-connue. Le diagramme des phases est par ailleurs enrichi du fait de la complexité d’une espèce de spinS = 3 [17].

La nature du chrome à champ nul étant antiferromagnétique, en appliquant un champ magnétique externe croissant il est possible de traverser une transition entre la phase de l’état antiferromanétique et une phase ferromagnétique, quand l’énergie Zeeman devient supérieure à celle de la partie des interactions de contact dépendante

du spin. Une version simplifiée du diagramme de phase prédit théoriquement [17, 16] est donnée à la figure Fig.4.1, en fonction de la valeur du champ magnétique externe et de la longueur de diffusion inconnuea₀.

Figure 4.1 – Diagramme simplifié des phases quantiques pour le chrome (spin 3), adapté de [17, 16]. La phase quantique correspondant à l’état fondamental du système dépend à la fois du champ magnétique externe et de la valeur de la longueur de diffusion a₀ associée au potentiel moléculaire pourS_t= 0, inconnue pour le52Cr. La distribution dans les différents sous-états Zeeman est représentée qualitativement pour chaque phase, par le spineur normaliséζ =(α, β, γ, δ, ϵ, η, θ) correspondant aux sous-états Zeeman m_S = (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3). La phase ferromagnétique est stable uniquement pour un champ magnétique supérieur au champ critique B_c défini par éq. (4.5).

Nous donnons qualitativement le spineur normalisé ζ =(α, β, γ, δ, ϵ, η, θ) repré-sentant les populations dans les différents sous-états Zeeman mS = (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), pour les trois phases principales (dont les existences sont prédites sur de larges gammes de paramètres) : ferromagnétique (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), polaire (α, 0, 0, 0, 0, 0,

β) et cyclique (α, 0, 0, 0, 0, β, 0).

La transition entre la phase ferromagnétique et la phase de l’état antiferromagné-tique survient pour un champ magnéantiferromagné-tique criantiferromagné-tique B_c. En dessous de ce champ ma-gnétique critique, le condensat initialement produit dans une phase ferromama-gnétique (tous les atomes sont polarisés dans le sous-état Zeeman m_S = −3) n’est alors plus dans l’état fondamental. B_c est défini par [17, 121] :

g_Sµ_BB_c= ^7.5

11

2π~2(a₆−a₄)

Ce champ critique dépend donc de la densitén, et de la différence de longueurs de diffusion a₆−a₄. Dans le cas des espèces Rb et Na, la différence entre les longueurs de diffusion est faible, et donc la partie des interactions de contact dépendante du spin l’est également. Ainsi, le champ magnétique critique calculé dans le cas du87Rb pour F = 2 [137] est de l’ordre de 30µG pour une densité n₀ = 10²⁰ m⁻³. Pour le chrome au contraire, les longueurs de diffusion sont très différentes (cf. section 2.6) :

a₆−a₄ ≈38a_B. Le champ magnétique critiqueB_c en dessous duquel le condensat n’est plus ferromagnétique a alors une valeur accessible expérimentalement, typiquement inférieure à 1 mG : pour un condensat de chrome de 20000 atomes et une densité de

n₀ = 3.5×1020 m⁻3, nous avons B_c≈250µG.

Stabiliser le champ magnétique externe en dessous de cette valeur requiert cepen-dant une très bonne maîtrise technique des champs, par exemple grâce à un blindage magnétique de la chambre expérimentale. Le procédé que nous avons utilisé est basé sur la compensation active des champs magnétiques, que je décris dans l’annexeA.2.