Chapitre IV : Calcul des écoulements expérimentaux à l’aide du code 2D
Param 13 : La formule de diffusion numéro (13) du Chapitre II est utilisée avec le coefficient k=1
I. Passage de l’échelle de l’installation expérimentale à une échelle de zone urbaine
L’objectif de ce paragraphe est de vérifier, par une étude de similitude, si les conditions d’écoulement aux abords du carrefour sélectionné correspondent aux écoulements étudiés expérimentalement.
Nous rappelons que les mesures expérimentales présentées au Chapitre III ont été acquises sur l’installation expérimentale ayant les dimensions suivantes : branches de longueur 2 m, de largeur 0.3 m, débits amont variant entre 0 et 10 l/s et pentes variant entre 1% et 5%. Les caractéristiques géométriques et les choix de débit ont permis de travailler avec des écoulements dans les branches amont ayant des nombres de Froude relativement élevés, allant de 1.8 pour les pentes de 1% à 4.5 pour les pentes de 5%. L’avantage d’avoir choisi des écoulements à nombre de Froude si élevé est que les structures d’écoulement (ressauts, ligne de déviation, zones de recirculation, bourrelet) sont apparues de manière très nette expérimentalement ce qui a permis de mettre en place la typologie des écoulements et les modèles analytiques.
1) Caractéristiques du carrefour sélectionné
Le carrefour sélectionné dans ce chapitre pour l’étude des écoulements intermédiaires entre torrentiel et fluvial est un carrefour particulier du quartier Richelieu de la ville de Nîmes au sein de la zone modélisée au Chapitre VI. Il s’agit de l’intersection entre les rues Flamande et Villars située dans la zone Centre du domaine d’étude. Le choix de ce carrefour s’est fait sur la valeur des angles d’intersection, proches de 90° et sur la présence des deux régimes d’écoulement (fluvial et torrentiel) au sein du carrefour au moment du pic de la crue du 3 octobre 1988 (cf. Chapitre VI). Les écoulements à ce carrefour sont donc ceux qui ont les plus grandes probabilités d’être analogues à ceux étudiés expérimentalement.
Dans le Chapitre VI, nous allons étudier les écoulements qui se développent dans le réseau de rue global et donc entre autre à ce carrefour lors de la simulation de l’événement de crue du 3 octobre 1988. Les écoulements calculés seront donc en régime non permanent et ainsi la somme des débits entrant dans le carrefour sélectionné sera différente de la somme des débits qui en sortent.
Dans le cadre de cette étude, nous allons nous focaliser sur l’étude des écoulements qui apparaissent à ce carrefour en régime permanent avec les débits d’entrée égaux à ceux calculés en 2D au moment du pic de la crue de 1988. Le choix d’étudier un écoulement permanent dans ce carrefour vient du fait que l’on souhaite comparer cet écoulement à ceux présents dans la typologie du Chapitre III (mesurés en régime permanent) et l’on souhaite vérifier s’il est possible d’appliquer les modèles analytiques mis en place au Chapitre III. Les conditions d’écoulement calculées aux abords de ce carrefour au moment du pic de la crue du 3 octobre 1988 ont été relevées à partir des résultats des calculs de la simulation de l’événement (Cas 4A du Chapitre VI qui considère des sections de rues planes et une topographie simplifiée des carrefours) et sont présentées dans le Tableau V. 1.
Largeurs des rues :
bM et bm 6.5 m et 6.2 m Pentes moyennes des rues
SM et Sm 1.4 % et 0.6 % Débits amont
QM et Qm 25.14 et 3.02 m3/s Hauteurs d’eau amont normales
hM et hm 0.98 m et 0.33 m Nombres de Froude amont
FrM et Frm 1.27 et 0.82 Coefficient de Strickler 40
Tableau V. 1 : Caractéristiques du carrefour et des écoulements aux abords de ce carrefour au pic de la crue du 3 octobre 1988 à Nîmes selon les résultats de simulation de l’événement avec M = branche amont majoritaire et m = branche amont minoritaire
Le nombre de Froude de l’écoulement amont majoritaire est donc bien inférieur à ceux des écoulements étudiés au Chapitre III. Les profils de rue de cette jonction sont horizontaux, l’altitude des nœuds de chaque profil de rue étant égale à l’altitude au centre de la rue. Un schéma du carrefour sélectionné est donné en Figure V. 1.
Figure V. 1 : Schéma du carrefour sélectionné et localisation des conditions limites amont et aval
2) Etude de similitude
L’objectif d’une étude de similitude est généralement de déterminer les dimensions et caractéristiques d’un modèle physique que l’on souhaite mettre en place afin de représenter à une échelle plus petite des phénomènes réels. Dans le cas présent, la situation est légèrement différente. En effet, les travaux expérimentaux ont déjà eu lieu sur l’installation expérimentale avec des dimensions et des caractéristiques fixées préalablement suite à une autre étude de similitude non présentée ici. L’étude de similitude présentée ici a pour objectif de vérifier si les caractéristiques des écoulements à l’amont du carrefour étudié ramenées à l’échelle de l’installation expérimentale se situent ou non dans la gamme des paramètres hydrauliques étudiée lors de la campagne d’étude expérimentale présentée au Chapitre III. En d’autres termes, on recherche la configuration expérimentale en laboratoire qui conduirait à des
60 m
82 m 55 m
80 m
QM, hM
Qm, hm
h aval
h aval
écoulements uniformes amont en similitude avec les écoulements amont calculés dans le carrefour de Nîmes étudié (Tableau V. 1). Les conclusions de cette étude doivent alors permettre de déterminer si les écoulements au sein du carrefour étudié s’inscrivent dans la typologie des écoulements présentée au Chapitre III.
En hydraulique à surface libre, dès lors que les forces de viscosité et d’inertie au sein du fluide deviennent négligeables devant les forces de pesanteur, la concordance entre un modèle réduit et les phénomènes à échelle réelle doit respecter la similitude de Froude. Celle-ci consiste à considérer que les nombres adimensionnels de Froude du modèle physique Frmodèle
et du prototype (écoulement à échelle réel) Frprototype sont égaux soit
Frmodèle = Frprototype (1)
De plus, l’avantage pour notre étude d’utiliser une similitude de Froude est que les transitions entre les régimes fluviaux et torrentiels sont localisées aux mêmes endroits sur le prototype et sur le modèle.
On introduit alors un facteur d’échelle de longueur entre le modèle et le prototype, noté λl, où b représente la largeur de la rue ou du canal :
Par définition le rapport d’échelle relatif à l’accélération de pesanteur noté λg=1 car les conditions de pesanteur sont inchangées entre le prototype et le modèle. A partir des équations (1) et (2), on obtient la relation (3) qui conduit alors à la relation (4) avec λV le facteur
Dans notre configuration, le rapport d’échelle de longueur vaut d’après (2) : 0.048 3
. 6.3
l=0 = λ
soit 4.8%. Cela permet donc de déterminer les caractéristiques des écoulements du carrefour en conditions réelles ramenées à l’échelle de l’installation expérimentale à partir des équations (2) et (4) et du Tableau V. 1:
hM Modèle= 0.98*0.048=0.047m soit 4.7 cm, hm Modèle=0.33*0.048=0.016m soit 1.6 cm, QM Modèle=25.1*0.0485/2=0.012 m3/s soit 12.4 l/s, Qm Modèle=3.0*0.0485/2=0.0015 m3/s soit 1.5 l/s.
On recherche ensuite les valeurs des pentes des branches amont de l’installation expérimentale pour lesquelles les caractéristiques ci-dessus correspondent au régime uniforme. Sachant que l’installation expérimentale est en verre, avec pour taille caractéristique des aspérités Ks=5.10-5 m soit Ks=5.10-2 mm, les pentes correspondantes calculées à l’aide de la formule de Colebrook-White (Equation 8 du Chapitre II) sont de Sx=0.46 % et Sy=0.23%. Il s’agit de pentes bien inférieures à celles testées expérimentalement durant la campagne de mesure présentée au Chapitre III.
Même si l’on ne peut assurer une similitude de Reynolds entre le prototype et le modèle (car on s’est attaché à obtenir une similitude de Froude), il convient de s’assurer que le nombre de Reynolds du modèle ne descend pas en deçà d’une valeur de 4000, garantissant un éloignement suffisant du régime laminaire. On calcule alors les nombres de Reynolds des deux écoulements amont dans la jonction ReM_Modèle=161000 (écoulement amont majoritaire) et Rm_Modèle=20000 (écoulement amont minoritaire). Les écoulements au sein de la jonction sont donc pleinement turbulents.
Les résultats de l’étude de similitude sont répertoriés dans le Tableau V. 2.
Largeur des canaux :
bM et bm 0.3 m
Pentes moyennes des canaux
SMet Sm 0.46% et 0.23%
Débits amont
QM et Qm 12.4 et 1.5 l/s Hauteurs d’eau amont normales
hM et hm 4.7 cm et 1.6 cm Nombre de Froude amont
FrM et Frm 1.29 et 0.79 Coefficient de Strickler approx 115 m1/3.s-1
Tableau V. 2 : Caractéristiques du carrefour ramenées à l’échelle de l’installation expérimentale
Les résultats du Tableau V. 2 montrent que les débits amont équivalents au carrefour étudié ramenés à l’échelle de l’installation expérimentale correspondent aux débits utilisés lors de la campagne de mesure expérimentale mais que les pentes du carrefour ramenées à l’échelle de l’installation expérimentale (<0.5%) sortent de la gamme des pentes étudiées expérimentalement (1% - 5%). Ainsi, les nombres de Froude des deux écoulements à l’entrée du carrefour sélectionné (~ 0.8 et 1.3) sont plus faibles que ceux étudiés expérimentalement au Chapitre III (1.8 – 4.5). Il n’est donc pas évident que les écoulements calculés dans le
carrefour considéré s’insèrent dans la typologie présentée au Chapitre III et cela va être étudié dans les paragraphes suivants.