L‟analyse a priori que je développe (Cf. (1) dans le schéma) se rapproche du deuxième axe défini par les auteurs précédents. Une différence importante existe cependant : dans le cas de l‟étude qu‟ils présentent, Assude et Mercier ont fait travailler les professeurs observés sur un canevas de deux séances consécutives contenant le problème à poser aux élèves. Dans le travail que je mène je ne sais rien de ce que je vais observer, si ce n‟est parfois le titre du chapitre en cours.
4.4 Outils d’analyse des praxéologies mathématiques des RDN
Pour développer l‟analyse a posteriori présentée dans la section précédente, des outils sont nécessaires pour décrire et analyser les données avec un grain plus fin que celui de la séance. En particulier un outil me permet de caractériser une praxéologie mathématique ponctuelle par rapport à des critères relatifs au numérique et à ses reprises. Par ailleurs le filtre du numérique est spécifiquement élaboré pour l’observatoire du numérique (Bronner, 2007).
4.4.1 Outil pour les praxéologies mathématiques ponctuelles relatives aux RDN
4.4.1.1 Le critère du rapport au nouveau
Un premier axe a été décrit pour caractériser une reprise, il concerne le rapport au nouveau (Cf. 2.5.6). Je rappelle cette caractéristique à tout moment d‟enseignement d‟un objet du numérique, qu‟il corresponde ou non à une reprise de connaissances du collège, ce qui renvoie alors aux quatre catégories générales suivantes :
une reprise de connaissances du collège
o sous la forme de révisions systématiques ;
o en lien avec du nouveau.
la rencontre avec des objets nouveaux du lycée
o sous la forme d‟une première rencontre ;
o sous la forme d‟une reprise.
Ces catégories sont à considérer comme des extrêmes qui ne représentent évidemment pas toutes les situations possibles.
4.4.1.2 Le critère de complétude des praxéologies
Un deuxième critère d‟analyse des praxéologies concerne la complétude des organisations mathématiques institutionnalisées, il est fonction des praxéologies construites explicitement au terme d‟un processus d‟enseignement. Il est à mettre en relation avec les objectifs d‟apprentissages de l‟enseignant :
soit ce sont des techniques données à reproduire par mimétisme, et non justifiées par un discours, des éléments de la praxéologie sont alors manquants ;
soit ce sont des savoir-faire pour l‟action, légitimés uniquement par des discours qui sont des raisons utilitaires et pratiques, ou même ergonomiques. Par exemple pour une tâche de simplification de quotients, le bloc technologico-théorique pourrait être réduit
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au discours suivant : « on barre avec un trait en haut et en bas le même nombre ». Autrement dit la technologie ne serait pas absente, mais elle n‟assurerait pas la consistance épistémologique attendue en mathématiques, des éléments de la praxéologie sont alors non valides au niveau de la discipline des mathématiques ;
soit ce sont des savoirs constitués en praxéologies complètes ce qui suppose d‟être cohérents au niveau épistémologique, et fondés par des raisons mathématiques. Pour l‟exemple précédent, le discours technologico-théorique pourrait être : « pour simplifier un quotient, si on est dans le cas où on a le quotient de deux produits qui ont un facteur commun, alors ce quotient a une autre écriture qui est obtenue en supprimant ce facteur commun ».
Cette classification est un outil pour caractériser les organisations mathématiques visées en lien avec la troisième hypothèse pour laquelle je postule qu‟un enseignement efficace va de pair avec un enseignement qui construit des praxéologies mathématiques complètes.
Ce critère de complétude des praxéologies permet de les repérer selon leur degré de complétude entre deux extrêmes : soit elles sont complètes, et sous-entendu consistantes ; soit elles sont incomplètes.
Je fais l‟hypothèse en lien avec H3 que ce qui devrait guider principalement les enseignants dans leurs choix pour un enseignement efficace est de permettre aux élèves de se poser des questions sur les raisons d‟être mathématiques de l‟existence des savoirs, et qu‟un enseignement réduit à des règles pour opérer syntaxiquement sur les écritures ne peut permettre aux élèves de comprendre ce qu‟est une véritable activité mathématique.
4.4.1.3 Critère relatif à la frontière entre collège et lycée
Les organisations mathématiques peuvent être également analysées en fonction d‟une frontière qui sépare les enseignements du collège de ceux du lycée. Cette frontière peut être définie selon trois critères permettant de préciser le caractère de nouveauté d‟une organisation mathématique, à savoir :
l‟exigibilité des connaissances visées en fonction de la frontière collège/lycée fixée par les programmes ;
la complexité de la situation allant de l‟exercice d‟application au problème ouvert1
;
la nature des spécimens choisis comme expressions numériques ou algébriques pour les tâches données dans le domaine du numérique.
4.4.1.4 Le critère du statut des connaissances
Une dimension supplémentaire est la prise en compte du statut des connaissances selon les différents niveaux définis par Brousseau et que j‟ai décrits dans la section 2.5.2 (Cf. p. 24).
1
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Ces premiers critères au nombre de 6, peuvent être interprétés comme les composantes d‟un vecteur R(R1, R2, R3, R4, R5, R6). Ces 6 dimensions sont répertoriées dans le tableau suivant qui synthétise les critères décrits précédemment pour caractériser les praxéologies mathématiques dans des moments de travail du numérique.
Critères Choix d’enseignement du numérique
R1 Rapport au nouveau Révisions systématiques de connaissances du collège 1 Reprises de connaissances du collège liées à du nouveau
2 Première rencontre avec une notion
du programme de seconde 3
Reprise d‟une notion rencontrée pour la première fois en seconde
4 R2 Complétude des praxéologies Praxéologies incomplètes 1 Praxéologies complètes 2 R3 Exigibilité des connaissances visées Exigible en collège 1 Exigible à partir de la seconde 2 Exigible au lycée après la seconde 3 R4 Notion utilisée comme outil ou objet Notion travaillée comme objet 1 Notion travaillée comme outil 2 R5 Nature des spécimens choisis par rapport à la tâche Conforme au programme de collège 1 Conforme au programme de seconde 2 Conforme au programme après la seconde 3 R6 Statut final de la connaissance au sens de Brousseau
Cinq niveaux possibles repérés de 1 à 5 (Cf. section 2.5.2.2 p. 24)
Tableau 2 : outil d’analyse d’une praxéologie ponctuelle 4.4.2 Mise en œuvre du filtre du numérique
Ce filtre présenté dans la partie théorique (Cf. section 2.1.3.1 p. 12) permet de penser le numérique dans toutes ses occurrences, permet de le questionner, de le nommer selon un cadre méthodiquement organisé. Il n‟apparaîtra pas toujours explicitement mais il sera en arrière fond du raisonnement pour tenter de ne pas occulter certaines dimensions du numérique.
L‟intérêt de cet outil est double :
d‟une part en partant de l‟analyse des données, le filtre permet d‟identifier les éléments constitutifs du numérique en les catégorisant. Ainsi la notion de valeur
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absolue est un objet du numérique nouveau en seconde qui apparaît davantage en tant qu‟opérateur dans le curriculum réel, que sous la forme d‟une fonction ;
d‟autre part en partant du filtre, il donne une grille de questions pour enquêter sur le numérique. Par exemple pour le concept de valeur absolue, quelles sont les dynamiques dans lesquelles ce concept prend part ?
L‟outil d‟analyse des praxéologies ponctuelles et le filtre du numérique sont deux outils qui vont se compléter. Si le premier permet de caractériser les unités d‟enseignement comme chacune des tâches de l‟activité mathématique, le second permet davantage une vue globale et synthétique sur un thème donné pour contribuer à la description de l‟espace numérique.