8.1.1 Un type de tâches emblématique du numérique chez Clotilde et Mathieu
Je rappelle ce commentaire de l‟accompagnement des programmes de seconde qui précise bien l‟articulation entre ancien et nouveau et que j‟ai déjà cité deux fois :
On fera une synthèse des connaissances rencontrées jusque là par les élèves et on introduira les notations usuelles des différents ensembles. Les élèves devront savoir reconnaître à quels ensembles appartiennent les nombres rencontrés.
Cet extrait indique également un type de tâches spécifique du numérique : « reconnaître à quels ensembles appartiennent les nombres rencontrés ». Ce type de tâches est emblématique du domaine numérique travaillé en début d‟année lors de la reprise scolaire. Il peut apparaître également emblématique de la liaison collège/lycée en permettant une reprise de connaissances anciennes tout en travaillant des connaissances complètement nouvelles (la désignation des ensembles). Je rappelle que j‟ai noté T ce type de tâches (Cf. p. 56).
Dans les classes de Clotilde et de Mathieu, d‟après l‟analyse des écrits (cahiers d‟élèves et devoirs), des spécimens de T sont travaillés dans le premier chapitre. Les justifications ne sont généralement pas demandées. Ainsi dans le cahier d‟exercices des élèves de Clotilde les affirmations suivantes apparaissent sans aucune justification :
« 18 irrationnel ; 1
3 rationnel »
Le même type de réponse se trouve dans les cahiers d‟exercices de la classe de Mathieu. Je vais m‟intéresser dans ce chapitre à l‟enseignement du thème « Nature et écriture des nombres » chez ces deux professeurs et plus particulièrement aux praxéologies développées relativement au type de tâches T.
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8.1.2 Analyse du thème « Nature et écriture des nombres » chez Mathieu
8.1.2.1 Analyse du cours de Mathieu
Le thème « Nature et écriture des nombres » s‟insère dans un premier chapitre intitulé
Activités numériques que je décris en partie pour montrer comment ce thème est articulé avec d‟autres (Cf. section 7.2.1 page 86 pour voir la progression de la reprise scolaire).
Reprise des « techniques de base »
Ce premier chapitre du cours de Mathieu débute par des révisions, annoncées par Techniques de base (Cf. Tableau 20 p. 86), que les élèves ont écrites à la main sur leur cahier à partir du 9 septembre 2006 vraisemblablement en recopiant (avec une erreur d‟orthographe pour « techniques ») ce que le professeur a écrit au tableau. Les dénominations des ensembles n‟ayant pas encore été travaillées cela ne permet pas au professeur de préciser le domaine de validité des règles qui sont rappelées. Même en l‟absence de ces dénominations rien n‟est dit sur les indéterminées des identités rappelées dans ce cours comme on peut le voir dans l‟extrait de cours de la Figure 5.
Figure 5: extrait de cahier d’un élève de la classe de Mathieu
Dans ces rappels concernant les quotients, la règle intitulée traditionnellement règle fondamentale des quotients, n‟est pas rappelée, à savoir :
« Quels que soient le réel a et les réels b et c non nuls 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑐
𝑏𝑐»
L‟écriture de cette règle est absente dans tout ce premier chapitre. Elle sera pourtant nécessaire dans les activités données aux élèves. Est-ce qu‟elle a été formulée oralement en lien avec des types de tâches qui la nécessitent ?
Je note dans le cours pris par l‟élève la forme incorrecte de l‟écriture : « L‟inverse de 𝑎
𝑏 =𝑏
𝑎 ».
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les élèves, elle traduit une conception erronée de l‟égalité et/ou une conversion incorrecte du registre de la langue naturelle vers le registre du langage symbolique mathématique. Le signe d‟égalité « traduit » le verbe être : l‟inverse de a sur b « est » b sur a.
Dans la première partie de ce cours de Mathieu les techniques de base comprennent également les notions suivantes (leur intitulé et leur ordre est respecté) : développements, puissance d‟un nombre, racine carrée, méthode pour démontrer une égalité, factoriser. Je note que dans ces techniques de base le professeur inclut des rappels de règles qui appartiennent aussi bien au domaine numérique qu‟au domaine algébrique. Je note également une séparation entre le rappel des éléments théoriques qui justifient un développement et ceux qui justifient une factorisation alors qu‟une même identité, un même élément théorique, correspond à deux théorèmes et respectivement à deux types de tâches qui sont le développement et la factorisation (Bellard & al., 2005).
Des reprises sous la forme de révisions systématiques
Le geste de reprise de Mathieu en ce début d‟année scolaire est un recommencement sous la forme de révisions systématiques qui ne fait pas démarrer le processus de chronogenèse. La reprise de règles du domaine numérique est utile pour que les élèves puissent s‟y référer en tant qu‟éléments du bloc technologico-théorique des praxéologies mathématiques du numérique (idem pour le domaine algébrique). En l‟absence de mémoire didactique, comme je l‟ai déjà souligné antérieurement, cette reprise permet de construire au début de la classe de seconde une mémoire commune de ces énoncés théoriques. Cependant, si les dénominations des ensembles de nombres avaient été enseignées, cette reprise aurait pu se faire en lien avec du nouveau en précisant la nature des nombres figurant dans les identités et en mobilisant les nouvelles connaissances sur les ensembles de nombres.
Les énoncés de savoir ainsi institutionnalisés auraient été ainsi épistémologiquement plus conformes aux nécessités mathématiques. En faisant ce choix le professeur aurait pu faire une reprise de connaissances rencontrées en collège en lien avec du nouveau et ainsi aurait pu faire avancer le temps didactique. Le choix de travailler les ensembles de nombres avec leurs dénominations avant la reprise des règles du numérique et de l‟algébrique est donc pertinent pour pouvoir donner des énoncés plus rigoureux mathématiquement. Cela constitue d‟ailleurs une raison d‟être épistémologique pour la connaissance des ensembles de nombres.
Les ensembles de nombres
Dans une deuxième partie de ce premier chapitre, Mathieu présente les ensembles de nombres (Cf. Figure 6). Je remarque que l‟élève a écrit : « voir complément p. 12 du livre » ce qui confirme l‟appui sur le livre pour le professeur. L‟élève qui a recopié le cours que j‟ai photocopié utilise des notations non conformes aux usages mathématiques concernant les symboles utilisés pour écrire en extension les ensembles de nombres. Est-ce encore une erreur de sa part (elle est d‟ailleurs répétée deux fois) ou bien est-ce l‟écriture utilisée par le professeur ? Mais que faut-il préconiser pour l‟écriture symbolique des ensembles en extension alors qu‟aucune étude théorique n‟est attendue à propos de la théorie des ensembles ?
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Figure 6 : prise de note par un élève du premier chapitre de Mathieu
Il ne reste que quelques vestiges d‟un enseignement qui a occupé une place très importante au collège et au lycée au moment de la réforme des mathématiques modernes. Les ruines de ce domaine se réduisent à du vocabulaire et à des notations dans quelques secteurs de l‟enseignement : la dénomination des ensembles de nombres et leur inclusion ; les intervalles
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de ℝ, leur réunion et leur intersection ; l‟ensemble des solutions d‟une équation ou d‟une inéquation. Pourquoi les conserver ou alors pourquoi ne pas inscrire explicitement l‟enseignement de ce domaine dans le curriculum ? La réponse à cette question n‟est pas immédiate et demanderait une étude, mais en ne conservant que quelques signifiants sans l‟objectif de développer les concepts et les théorèmes en jeu, l‟activité mathématique est dénaturée et s‟apparente à un jeu de traduction en sténodactylo.
L‟écriture canonique du nombre décimal choisie par Mathieu pour être institutionnalisée dans son cours est sous la forme du produit d‟un entier relatif par une puissance de 10 à exposant entier négatif. Il est précisé aussi que la partie décimale d‟un nombre décimal est finie.
Pour les rationnels idécimaux le professeur évoque une partie décimale périodique infinie.
Mathieu précise donc les critères de reconnaissance des décimaux et des rationnels idécimaux à partir de leurs écritures décimales.
Les irrationnels sont définis comme « les racines carrées, 𝜋, cosx » ce qui peut donner lieu à un obstacle didactique se traduisant par une confusion entre des signes apparents dans l‟écriture du nombre et la nature de ce nombre. Bronner dans sa thèse (1987) écrit à propos de l‟enseignement de l‟irrationalité présentée dans un manuel scolaire1
de 1947 :
La présentation de ce thème a pu conduire nos “ancêtres élèves‟‟ à des connaissances erronées : les rationnels sont présentés comme “les nombres qui ne contiennent pas de radicaux‟‟, tandis que “les irrationnels sont les nombres qui comprennent un ou plusieurs radicaux‟‟. 5, puis des “monstres‟‟ comme 2 + 3, 2 + 3, surgissent comme exemples prototypiques de nombres irrationnels. Seules la forme et l‟écriture représentant ces nombres pourraient être retenues, et des nombres comme 4, mais surtout comme 641601 (= 801 évidemment !), risquent d‟être pris comme irrationnels. Il est clair que les auteurs attendent d‟abord une “simplification‟‟, une “transformation‟‟ ou un “calcul‟‟ avant que le résultat final soit donné, mais c‟est largement implicite. (p. 89)
J‟ajoute que l‟obstacle pourrait se traduire également avec la définition du manuel précédent par cos𝜋4 est un rationnel puisqu‟il ne contient pas de radicaux. Avec les critères donnés par Mathieu c‟est cette autre erreur qui pourrait apparaître : cos𝜋3 est un irrationnel.
1
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Pour revenir au cours de Mathieu, un exemple montre que la présence de racines carrées dans un nombre n‟implique pas obligatoirement qu‟il soit irrationnel. Il s‟agit de 7+4 ( 7−4)
3
qui est égal au nombre entier relatif -3. La caractéristique des irrationnels donnée dans le cours aurait pu laisser croire que ce nombre est irrationnel de la même manière que 49 . Le traditionnel schéma utilisant les diagrammes de Venn illustre les inclusions successives des ensembles, mais les éléments ne sont pas référés par des croix. Cette règle de formation dans ce registre de représentation schématique des ensembles n‟est pas fixée rigoureusement dans le savoir de référence, mais dans le savoir à enseigner il est utile de différencier un objet, ici un élément d‟un ensemble, de sa dénomination.
Les équations
La troisième partie de ce premier chapitre de Mathieu est consacrée aux équations rencontrées au collège : celles du premier degré à une inconnue, et celles du second degré (et même plus) à une inconnue se ramenant à un produit nul de plusieurs facteurs du premier degré. Cette place dans l‟organisation des savoirs est encore en contradiction avec le titre du chapitre « Activités numériques ».
Les objectifs apparents de Mathieu
Ce qui semble être le plus important pour Mathieu c‟est le terme « activités » qui se traduit dans le travail proposé aux élèves dans la partie des exercices par de multiples activités pour entraîner les élèves à calculer, développer, factoriser, résoudre. Si le dernier type de tâches s‟inscrit évidemment dans le domaine algébrique, le troisième n‟est travaillé que dans l‟algébrique, et les deux premiers ont pour cadre soit le numérique, soit l‟algébrique. Par exemple des développements sont demandés avec :
une expression numérique comme 4 − 3 2 2
ou encore algébrique comme 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 4 − 𝑥2 𝑥 − 3 (la nature des nombres désignés par les lettres n‟étant jamais précisée).
8.1.2.2 Analyse a priori du travail de la technique dans les exercices
Dans la partie des exercices donnés par Mathieu dans le premier chapitre, les seuls exercices en lien avec T (déterminer la nature d‟un nombre) ou les différentes écritures des nombres sont issus du livre : le numéro 26 de la page 22 et le numéro 65 de la page 26 (voir page suivante).
Conformément à la méthodologie qui a été présentée, je développe une analyse a priori à partir des données, à savoir les exercices 26 et 65, correspondant au choix du professeur. Les résultats de cette analyse sont conditionnés par le curriculum officiel et les connaissances supposées des élèves de Mathieu au moment où ces exercices ont été donnés.
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Figure 7 : exercices donnés par Mathieu
Figure 8 : exercices donnés par Mathieu
Le flou sur les écritures décimales illimitées
Dans l‟exercice 26 huit spécimens sont proposés pour T. Une question se pose à propos de la nature du nombre 1,6666… Que dire de ce nombre ? Les pointillés signifient implicitement que la partie décimale est infinie, mais rien n‟indique qu‟elle est périodique. La nature de ce nombre ne peut donc pas être donnée : c‟est un nombre réel qui est idécimal, mais est-ce qu‟il est rationnel ou irrationnel ? Cette précision n‟est pas possible en l‟absence de renseignements supplémentaires sur les décimales qui suivent les quatre chiffres 6 de la partie décimale illimitée. Le choix des auteurs du manuel Déclic n‟est pas cohérent en ce qui concerne les règles de formation du registre des écritures décimales illimitées périodiques. Ainsi dans le livre figure un exercice où coexistent des écritures pour lesquelles la période est précisée par un trait au dessus des chiffres composant la période et une écriture pour laquelle il faut supposer que l‟écriture décimale illimitée est périodique de période 9. C‟est l‟exercice 47 de la page 24 reproduit Figure 9. Ainsi les auteurs attendaient-ils une interprétation de l‟écriture 1,6666… comme étant périodique de période égale à 6 ? Ce manque de cohérence est pour le moins étonnant et montre que l‟abandon de ce qui faisait l‟essentiel de l‟enseignement des réels au moment de la réforme des mathématiques modernes, laisse là aussi des vestiges mathématiquement peu rigoureux (Bronner, 1987).
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Figure 9: exercice n° 47 page 24
Dans cet exercice les élèves sont censés effectuer notamment le produit 100 × 𝑥 alors que ce type de multiplication avec des rationnels idécimaux n‟a jamais été rencontré dans le curriculum officiel. Qu‟attendent les auteurs du manuel ? Est-ce qu‟ils pensent que les élèves vont étendre les algorithmes connus avec les décimaux à ces nombres idécimaux ? Mais ces auteurs demandent de justifier que 100 × 𝑥 = 37 + 𝑥 , les élèves n‟ont pas les connaissances nécessaires pour cette justification, ils peuvent seulement conjecturer cette égalité.
Pour revenir aux nombres de l‟exercice 26, les nombres 3,333 et 1,6666… sont donnés pour repérer que le premier a une écriture décimale finie et non nulle et qu‟il est donc décimal, contrairement au deuxième qui a une écriture décimale illimitée et qui est donc idécimal. Reprise du travail sur les quotients
Les nombres−84
14 ; − 25
100 ; 4,1×10−3
5×10−4 et −60 2
8 sont donnés sous des apparences qui
pourraient laisser penser, en se fiant à une appréhension perceptive, qu‟ils sont rationnels puisqu‟ils sont écrits sous la forme d‟un quotient ou que le deuxième et le quatrième sont irrationnels à cause de la présence des racines carrées. Je remarque que pour les nombres
−84
14 , 4,1×10
−3
5×10−4 et − 25
100 deux praxéologies sont possibles : l‟une repose sur l‟opération
arithmétique de la division (pour le troisième en mobilisant d‟abord la connaissance que
100 est égal à 10) ; l‟autre repose sur la mise en œuvre de règles de simplification des quotients. Les blocs technologico-théoriques de ces deux praxéologies sont alors fondamentalement différents : le premier se réfère au domaine numérique, le second au domaine algébrique. J‟ai qualifié ces deux praxéologies respectivement d’arithmétique et
d’algébrique dans le paragraphe 2.1.3.2. La mise en relation de ces deux types de raisonnement est intéressante pour créer du sens et ne pas perdre de vue l‟aspect numérique de la conservation du nombre (sa dénotation) à travers ses transformations d‟écriture en vertu des règles algébriques. Cette articulation qui correspond à un travail dans le NAA sera de
100
nouveau mise en relief à propos du travail réalisé dans la classe de Clotilde (Cf. Tableau 26: p. 118).
Pour mettre en œuvre la praxéologie algébrique, la règle dite de simplification des quotients est nécessaire, elle n‟a cependant pas fait l‟objet d‟un rappel dans le cours de Mathieu. En particulier pour le nombre −60 2
8 ce savoir est nécessaire et ne peut être remplacé par un
discours technologique du type « on divise le numérateur et le dénominateur par 2 ». La reprise du rapport au nombre 𝝅
Je reviens à l‟analyse du numéro 26. Pour les nombres 𝜋
3 et −6 3 + 2 , la démonstration de leur irrationalité est possible grâce à un raisonnement par l‟absurde basé sur l‟irrationalité des nombres 𝜋 et 6. Ces démonstrations seront développées plus loin. Auparavant je m‟intéresse au statut du nombre 𝜋 dans le curriculum officiel des classes du collège des élèves que j‟ai observés en seconde en 2006-2007 et 2007-2008. Il s‟agit des programmes et de leurs accompagnements parus au BO n° 25 du 20 juin 1996. En sixième se trouve dans le domaine Travaux géométriques la compétence exigible suivante : Calculer la longueur d‟un cercle, mais rien n‟est dit sur le nombre 𝜋. Pour les professeurs qui veulent saisir cette opportunité il est possible de décrire l‟écriture décimale illimitée de 𝜋 pour la différencier de celle d‟un nombre décimal et d‟aborder ainsi la notion de partie décimale finie ou infinie d‟une écriture décimale. Des commentaires de l‟accompagnement du programme de sixième soutiennent cette compréhension du curriculum. Dans la partie Activités numériques voici cette recommandation :
Les nombres entiers sont des nombres familiers aux élèves. Il n‟en est pas de même des nombres décimaux. Les évaluations faites en 6e ont montré combien la signification des écritures décimales échappe encore à beaucoup d‟élèves à l‟entrée en 6e. Il est nécessaire de conduire un travail sur la signification de l‟écriture décimale et de la relier au travail sur les opérations et à la multiplication et la division par 0,1 ; 0,01 ou 0,001. […] Un travail de réflexion sur la division et son algorithme doit être mené […].
Un travail important sur le concept de nombre décimal est donc attendu en sixième. La compréhension du fait que la partie décimale est finie ou limitée dans un nombre décimal doit s„accompagner de ce que je nomme par analogie avec le champ de la médecine un diagnostic différentiel. Pour savoir diagnostiquer ce qu‟est un nombre décimal l‟élève doit savoir également diagnostiquer ce qu‟il n‟est pas. Ainsi la rencontre avec des nombres qui ont une écriture décimale illimitée est importante, cette rencontre résulte d‟ailleurs d‟une expérience qui a déjà eu lieu en cycle 3, à savoir le calcul à la main du quotient d‟un entier par un autre entier lorsque le résultat est idécimal. Pour résumer et revenir au nombre 𝜋, la présentation de nombres qui ont une écriture décimale illimitée périodique ou non périodique comme 𝜋 (qui en est un prototype classique) à côté de nombres décimaux en écriture décimale est importante pour sensibiliser les élèves au monde des nombres et à leurs caractéristiques. Cette initiation est culturelle, elle est également importante pour travailler le calcul exact et approché, ce qui est un autre objectif de la classe de sixième. Je poursuis l‟étude du curriculum concernant le nombre 𝜋. En cinquième ce nombre est de nouveau fréquenté avec
101
le calcul de l‟aire d‟un disque de rayon donné et avec le volume d‟un cylindre de révolution qui sont des compétences exigibles. En quatrième c‟est en lien avec le volume d‟un cône de révolution que le nombre 𝜋 sera de nouveau rencontré. Dans la présentation du programme de troisième figure cette demande : « faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique et une mise en valeur de processus algorithmiques » et dans les commentaires du secteur Nombres entiers et rationnels des précisions sont données : « À côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme 𝜋 et 2. On pourra éventuellement démontrer l‟irrationalité de 2. » Au terme du collège le nombre 𝜋 a été utilisé dans le cadre de la géométrie plane et de l‟espace et il a été présenté comme un nombre irrationnel, cette connaissance étant admise. C‟est à travers la description de son écriture décimale que le nombre 𝜋 est surement le mieux appréhendé et les élèves de sixième apprécient cette comptine qui permet de mémoriser les premiers chiffres de cette écriture : « Que j‟aime à faire connaître un nombre utile aux sages… ». En conclusion le nombre 𝜋 a été rencontré à chaque niveau de classe du collège dans le cadre géométrique, il a pu être