5.4.1 Les savoirs à enseigner en terme de contenus
5.4.1.1 Les thèmes du domaine « Calcul et fonctions »
La séparation du domaine « Calcul et fonctions » en deux secteurs « Nombres » et « Fonctions » apparaît nettement dans le document d‟accompagnement des programmes et non pas dans le programme lui-même. Ce qui apparaît également dans le document d‟accompagnement ce sont les différents thèmes du secteur « nombres » que je reprends ci-dessous dans l‟ordre tels qu‟ils apparaissent :
Nature et écriture des nombres ;
Représentation des nombres dans une calculatrice ;
Ordre de grandeur et écriture scientifique ;
Calcul à la main et à la machine ;
Nombres premiers ;
Ordre des nombres ;
Valeur absolue d‟un nombre.
Tous ces thèmes sont présents dans le programme lui-même (Cf. annexe 11.6) mais ils se retrouvent de façon désordonnée dans les trois colonnes du tableau de présentation du programme soit dans « contenus », soit dans « capacités attendues », soit dans « commentaires » (Cf. Figure 4: extrait des programmes de seconde).
Figure 4: extrait des programmes de seconde
Il semblerait que les auteurs des accompagnements du programme aient réorganisé le secteur relatif aux nombres en lui donnant tout d‟abord un titre Nombres et en faisant mieux apparaître les unités d‟enseignement en tant que thèmes au sens de Chevallard. Est-ce qu‟ils ont pris conscience d‟un manque de clarté dans les programmes concernant les nombres ? Cependant les professeurs qui « suivraient » seulement le programme risquent de ne pas profiter de cet effort de clarté. Dans le travail de thèse de Cirade (2006) figure l‟exemple d‟un professeur stagiaire qui pose une question au sujet de l‟enseignement du secteur des nombres en seconde. Voici cette question citée par Cirade : « Comment faire des liens entre divers
64
types de tâches ? Par exemple entre nombres premiers et ordre de grandeur en utilisant l‟écriture scientifique ? (p. 141) » Le commentaire suivant est proposé par Cirade à propos de cette question :
L‟auteur de la question est un jeune agrégé qui soutiendra une thèse d‟Université en mathématiques au cours même de l‟année de formation : sa culture mathématique est donc, en principe, substantielle. Mais, à l‟évidence, la culture mathématique pour l‟enseignant et plus encore pour l‟enseignement, qui devrait faire la spécificité de la profession, lui est encore largement étrangère ! La confusion à laquelle il succombe est, il est vrai, poussée en avant par le texte même du programme – reproduit ci-après1 –, lequel rapproche, en les distinguant de manière insuffisamment explicite, des thèmes d‟étude entre lesquels un lecteur mal préparé peut, à cause de leur proximité textuelle, imaginer des liens plus importants qu‟ils ne le sont en réalité.
On aura noté, en effet, que la rubrique des contenus énonce presque d‟un même mouvement les deux thèmes de « la représentation des nombres dans une calculatrice » et des « nombres premiers », rapprochement formel à quoi correspond, dans la rubrique des capacités attendues, le rapprochement, d‟une part, de types de tâches relatifs au bon usage de la calculatrice, d‟autre part, d‟un type de tâches des plus classiques, la décomposition d‟un entier en produit de nombres premiers. Quant à la rubrique des commentaires, elle enchaîne des considérations sur les notions et types de tâches ainsi rapprochés, entre lesquels l‟auteur de la question cherche en conséquence à établir des liens qu‟il doit postuler faute de les percevoir nettement – d‟où sa question. On voit ainsi combien peut être incertain l‟abord d‟éléments mathématiques à enseigner dès lors que, en eux-mêmes tout classiques sans doute, ces éléments occupent une place minorée, voire introuvable, dans la culture mathématique de qui est fraîchement issu des études universitaires. On retrouvera encore et encore ce sentiment de fragilité des nouveaux venus dans la profession face aux mathématiques qui en sont le pain quotidien. (p. 141)
5.4.1.2 Les reprises du numérique dans le domaine « Calcul et fonctions »
Je repère dans le programme des reprises de connaissances du collège et des notions nouvelles du numérique qui doivent faire l‟objet d‟une première rencontre. Elles sont présentées dans le tableau suivant (Cf. Tableau 4) en regard des deux secteurs du domaine « Calcul et fonctions ». Je précise que pour le secteur « Fonctions » je n‟ai pas fait mention des deux dernières parties intitulées « Fonctions et formules algébriques » et « Mise en équation ; résolution algébrique et graphique d‟équations et d‟inéquations ». Il est bien évident que ce travail dans le cadre algébrique va nécessiter une articulation avec le cadre numérique, mais je me limite dans cette analyse des programmes aux notions strictement numériques. Chevallard (1999a) propose un découpage du secteur Fonctions en deux parties qu‟il intitule : Fonctions
et Modèles et modélisation algébrique. La deuxième partie correspond à ce que je n‟ai pas analysé dans le domaine « Calcul et fonctions ». Ce découpage du domaine en trois secteurs apparaît plus cohérent et insiste sur cette fonction de modélisation de l‟algèbre
1
65
(Chevallard, 1984 ; Grugeon, 1995). Je précise que le tableau ne contient que des formulations empruntées au programme et à son accompagnement (ou des formulations qui en sont très proches).
Thèmes Reprises de connaissances du collège Nouveautés du programme de seconde
Nature et écriture des
nombres
Synthèse des connaissances rencontrées jusque là
Dénomination des ensembles
L‟ensemble des réels est l‟ensemble des abscisses des points d‟une droite (admis)
Représentation des nombres
dans une calculatrice
Usage d‟une calculatrice de type scientifique (modèle collège) Interpréter un résultat donné par la machine (souvent une valeur approchée décimale)
Limites d‟utilisation d‟une calculatrice
Ordre de grandeur et
écriture scientifique
Valeur exacte et valeur approchée Ordre de grandeur d‟un résultat Ecriture scientifique
Puissances
Lien avec un TP de physique
Calcul à la main et à la machine
Distinguer un nombre d‟une de ses valeurs approchées
Conventions de priorité
Comparer des résultats obtenus à la main et à la machine
Nombres premiers
Multiples et diviseurs communs PGCD et nombres premiers entre eux Calcul mental
Manipulation des puissances et des fractions
Nombre premier
Décomposition d‟un entier en produit de facteurs premiers
Ordre des nombres
Synthèse des connaissances du collège sur la comparaison des nombres en fonction de leur nature (décimal, rationnel, réel)
Intervalles
Lien entre la comparaison de deux nombres et le signe de leur différence
Comparaison de a, a2 et a3 (a étant un réel positif)
Valeur absolue d’un nombre
Distance de deux nombres
Valeur absolue vue comme une notation
Notion de fonction. Étude qualitative Pourcentages Proportionnalité Tableau de données
Lectures graphiques exactes ou approchées
Définition générale d‟une fonction numérique d‟une variable réelle
« Boîte noire » qui produit une valeur numérique quand on introduit un nombre
Problème de maximum ou de minimum Ensemble de définition
Image d‟un nombre
Fonctions de référence
Des notions rencontrées comme opérateurs au collège vues comme fonctions : carré, inverse, sinus, cosinus ; d‟autres sont en option : racine carrée, cube, valeur absolue… Autre regard dans le cadre des fonctions sur les pièges classiques : somme de deux carrés, de deux inverses, de deux racines ou a2b2
Enroulement de l‟ensemble des réels sur le cercle trigonométrique
Valeurs exactes des sinus et cosinus de 30°, 45° et 60° Mesures en radian comprises entre - et ou entre 0 et 2
66
Un terme anodin en apparence apparaît dans les programmes et il peut être interrogé, c‟est celui de synthèse. Comment élaborer une situation de synthèse ? Quel est le type de reprise derrière la notion de synthèse ?
Un thème est en lui-même une nouveauté. Il s‟agit de « Représentation des nombres dans une calculatrice ». La calculatrice est évidemment un objet présent au collège et dont l‟usage commence dès l‟école primaire. Le document d‟accompagnement du programme de troisième fait référence au calcul approché et au calcul formel possibles avec certaines calculatrices :
Autrefois, les machines ne permettaient que du calcul approché dans certains cas (fractions non décimales, radicaux par exemple), mais aujourd‟hui, les logiciels de calcul formel sont accessibles désormais aux collégiens dans certaines calculatrices de poche. Pourvu que l‟on ait bien choisi l‟écriture à utiliser pour les nombres, ce que l‟on appelle encore leur format, on peut par exemple obtenir en lecture directe de l‟affichage d‟une calculatrice une égalité du genre :
1998 1 999 1 666 1 .
[ …] Les exemples fourmillent, à commencer par tous ceux qu‟il convient de mettre en rapport avec les formats possibles des nombres. Que l‟on explore par exemple, si on n‟en a pas encore eu l‟occasion, les mêmes calculs sur des racines carrées effectués par un logiciel de calcul formel, selon qu‟on lui aura demandé du calcul exact ou du calcul approché (on peut pour cela puiser des idées à partir des exemples mêmes du programme, ainsi : 32 2 1 2peut conduire à une variété importante de calculs ayant valeur de tests).
L‟usage des calculatrices et la comparaison de leurs potentialités sont donc bien inscrits dans le curriculum officiel du collège. L‟expression « formats d‟un nombre » apparaît, elle est floue, il semblerait qu‟elle englobe d‟autres écritures du nombre et des valeurs approchées. Le thème inscrit dans le programme de seconde sur la représentation des nombres dans une machine commence donc à être travaillé en collège. Il est repris en seconde en lien avec du nouveau comme le précise le document d‟accompagnement du programme :
Sans entrer dans des détails techniques souvent difficilement accessibles et sujets à une constante évolution, un élève doit avoir pris conscience qu‟une calculatrice de type scientifique opère essentiellement sur un nombre fini de chiffres et que le plus souvent, elle ne donne qu‟une valeur approchée décimale d‟un résultat.
Le nouveau réside dans une prise de conscience :
des contraintes propres à une calculatrice donnée ;
des limites d‟une calculatrice ;
du rôle spécifique des décimaux pour approcher les réels.