OPTION C, ESTACADE ET TUNNEL DANS L'AXE DE L'AUTOROUTE 10

são utilizadas para aproximar a geometria dos prob

uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup mesma posição geométrica nas

equações algébricas

condicionado, ou ainda singular. as superfícies NURBS dos mod de colocação coincidentes elementos

tratar problemas d para o qual a

arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam os respectivos nós,

interior do elemento

elementos descontínuos generalizados generalizados triangulares e quadrilaterais

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a geometria,

aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície, numericamente

paramétric

Estratégia de colocação e

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores são utilizadas para aproximar a geometria dos prob

uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup mesma posição geométrica nas

equações algébricas obtido pela colocação das condicionado, ou ainda singular.

as superfícies NURBS dos mod de colocação coincidentes

descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para tratar problemas de fratura via o MEC dual.

para o qual a localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam

spectivos nós, outros sejam

interior do elemento, de maneira completamente arbitrária elementos descontínuos generalizados

generalizados triangulares e quadrilaterais

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a geometria,

(

1, 2

)

i

M ξ ξ

aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície, numericamente impondo

paramétricas

(

ξ ξ₁α, ₂α

Estratégia de colocação e

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores são utilizadas para aproximar a geometria dos prob

uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup mesma posição geométrica nas

obtido pela colocação das condicionado, ou ainda singular.

as superfícies NURBS dos modelos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos de colocação coincidentes ou muito próximos

descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para e fratura via o MEC dual.

localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam

outros sejam

, de maneira completamente arbitrária

elementos descontínuos generalizados

generalizados triangulares e quadrilaterais

Figura 3.10

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a

)

, são idênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície,

impondo-se a propriedade de delta de Kronecker

)

α α

dos α =1,

Estratégia de colocação e os elementos desco

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores são utilizadas para aproximar a geometria dos prob

uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup mesma posição geométrica nas intersecções

obtido pela colocação das

condicionado, ou ainda singular. Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos ou muito próximos

descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para e fratura via o MEC dual.

localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam

outros sejam movidos para

, de maneira completamente arbitrária

elementos descontínuos generalizados. Na Figura 3.10 ilustra

generalizados triangulares e quadrilaterais de aproximação linear

3.10 – Elementos descontínuos generalizados

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície,

a propriedade de delta de Kronecker

1, Ncp

= ⋯ _{pontos de colocação do elemento, os quais podem} lementos descontínuos generalizados

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores são utilizadas para aproximar a geometria dos problemas.

uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup

ões das superfícies. Nesse caso obtido pela colocação das equações integrais sobre os nós

Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos ou muito próximos, recorre

descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para e fratura via o MEC dual. No presente trabalho

localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam

movidos para as arestas e outros sejam , de maneira completamente arbitrária

Figura 3.10 ilustra de aproximação linear

Elementos descontínuos generalizados

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície,

a propriedade de delta de Kronecker

pontos de colocação do elemento, os quais podem

ntínuos generalizados

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores lemas. No entanto, como a malha de cada uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup

das superfícies. Nesse caso equações integrais sobre os nós

Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos recorre-se a conceitos semelhantes aos dos descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para

No presente trabalho

localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam

as arestas e outros sejam , de maneira completamente arbitrária. A esse conceito dá

Figura 3.10 ilustram-se os de aproximação linear.

Elementos descontínuos generalizados

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície,

a propriedade de delta de Kronecker

pontos de colocação do elemento, os quais podem

ntínuos generalizados

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores No entanto, como a malha de cada uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup

das superfícies. Nesse caso equações integrais sobre os nós

Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos se a conceitos semelhantes aos dos descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para

No presente trabalho, propõem-

localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser arbitrária. Sendo assim é possível que alguns dos pontos de colocação sejam coinc

as arestas e outros sejam . A esse conceito dá

se os elementos desco

Elementos descontínuos generalizados.

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que aproximam os campos de deslocamentos e forças de superfície, Nα

(

ξ ξ₁, ₂

a propriedade de delta de Kronecker sobre as coordenadas pontos de colocação do elemento, os quais podem

ntínuos generalizados

malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores No entanto, como a malha de cada uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocup

das superfícies. Nesse caso, o sistema de equações integrais sobre os nós resulta mal Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos se a conceitos semelhantes aos dos descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para -se um elemento localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser coincidentes com movidos para o . A esse conceito dá se o nome de elementos descontínuos

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que

)

1, 2

ξ ξ , são obtidas sobre as coordenadas pontos de colocação do elemento, os quais podem malhas geradas de acordo com os procedimentos descritos nos tópicos anteriores

No entanto, como a malha de cada uma das superfícies dos modelos geométricos é gerada de maneira independente, podem existir nós de distintas superfícies muito próximos uns dos outros, ou ainda nós que ocupem a sistema de resulta mal Para que seja possível discretizar de maneira independente elos geométricos 3D sem a preocupação de existirem pontos se a conceitos semelhantes aos dos descontínuos e descontínuos de aresta, introduzidos por Mi e Aliabadi (1992) para um elemento localização dos pontos de colocação sobre o domínio do elemento pode ser identes com para o se o nome de ntínuos

Para os elementos descontínuos generalizados, as funções de forma que aproximam a ênticas às dos elementos convencionais. Já as funções base que são obtidas sobre as coordenadas pontos de colocação do elemento, os quais podem

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais elemento.

nós de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma colocação se afast

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

n elementos

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação correspon

situação (iii)

correspondente ao nó de extremidade quanto os para o interior dos

de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são criados. Apesar

conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a conectivi

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

triangulares e quadrilaterais.

Figura

regular (b) Malha quadrilateral

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais elemento.

Definida uma malha 2D

de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma colocação se afast

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

elementos, tal que

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação correspondente é movido para

situação (iii) n−

correspondente ao nó de extremidade quanto os para o interior dos

de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são criados. Apesar

conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a conectividade do ponto de colocação respectivo ao nó para os

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

triangulares e quadrilaterais.

Figura 3.11 – Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M regular (b) Malha quadrilateral

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais

Definida uma malha 2D

de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma colocação se afastem da extremidade

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

, tal que n>2

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação dente é movido para

1

n− _{novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação}

correspondente ao nó de extremidade quanto os

para o interior dos n elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são criados. Apesar disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a

do ponto de colocação respectivo ao nó para os

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

triangulares e quadrilaterais.

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M regular (b) Malha quadrilateral

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais

Definida uma malha 2D para o espaço paramétrico de uma superfície, determina de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E

transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma

em da extremidade da superfície, evitando assim o problema dos

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

2

> . Na situação (i)

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação dente é movido para a aresta entre os dois elementos que dividem o nó.

novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação correspondente ao nó de extremidade quanto os

elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a

do ponto de colocação respectivo ao nó para os

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

triangulares e quadrilaterais.

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M regular (b) Malha quadrilateral de uma superfície aparada (c) M

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais

para o espaço paramétrico de uma superfície, determina de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E

transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma

em da extremidade da superfície, evitando assim o problema dos

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

. Na situação (i), o ponto de colocaç

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação a aresta entre os dois elementos que dividem o nó.

novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação correspondente ao nó de extremidade quanto os n

elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a

do ponto de colocação respectivo ao nó para os

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M de uma superfície aparada (c) M

ou não coincidir com as coordenadas adimensionais

(

ξ ξ₁i ₂i

para o espaço paramétrico de uma superfície, determina de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E

transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma

da superfície, evitando assim o problema dos

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

o ponto de colocaç

movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação a aresta entre os dois elementos que dividem o nó.

novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação 1

n− _novos

elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a

do ponto de colocação respectivo ao nó para os

ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discret

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M de uma superfície aparada (c) Malha triangular

)

1, 2

i i

ξ ξ dos

para o espaço paramétrico de uma superfície, determina de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. E

transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma

da superfície, evitando assim o problema dos

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o n

o ponto de colocação correspondente ao nó é movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação

a aresta entre os dois elementos que dividem o nó.

novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação pontos de colocação são movidos elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a do ponto de colocação respectivo ao nó para os n−1 elementos. A Figura 3.11 ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados malha paramétrica de superfícies regulares e aparadas discretizadas com elementos

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) M

alha triangular de uma superfície

dos i=1,⋯Nnós

para o espaço paramétrico de uma superfície, determina de extremidade e os elementos que estão conectados a esses nós. Esses elementos serão transformados em elementos descontínuos generalizados de tal forma que seus pontos de

da superfície, evitando assim o problema dos

colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) o nó pertence a apenas um elemento, (ii) o nó pertence a dois elementos e (iii) o nó pert

ão correspondente ao nó é movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação

a aresta entre os dois elementos que dividem o nó.

novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação pontos de colocação são movidos elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são disso, a conectividade dos nós pode ser aproveitada para construir a conectividade dos pontos de colocação, sendo apenas necessário acrescentar na numeração os novos pontos de colocação e alterar, para cada nó de extremidade na situação (iii), a lementos. A Figura 3.11 ilustra em vermelho os pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados

izadas com elementos

Pontos de colocação dos elementos descontínuos generalizados: (a) Malha de uma superfíci de uma superfície

i Nnós nós do

para o espaço paramétrico de uma superfície, determina-se os sses elementos serão que seus pontos de da superfície, evitando assim o problema dos pontos de colocação coincidentes. Três distintas situações podem ocorrer para um nó de extremidade: (i) ó pertence a ão correspondente ao nó é movido para o interior do elemento. Já no caso da situação (ii), o ponto de colocação a aresta entre os dois elementos que dividem o nó. No caso da novos pontos de colocação devem ser criados. Tanto o ponto de colocação pontos de colocação são movidos elementos. Note que em malhas onde a situação (iii) aconteça, o número de pontos de colocação será superior ao número de nós, i.e., novos graus de liberdade são

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