Notions générales sur la théorie de l’élasticité

La théorie de l’élasticité établit une description mécanique de corps solides déformables réversiblement. Soumis à une force extérieure, un solide élastique subit une déformation réversible et lorsque la force appliquée est supprimée, il retrouve instantanément ses dimensions initiales.

Nous considérerons que nos hydrogels de Poly(N,N-diméthyl-acrylamide) (PDMA).se comportent comme des solides élastiques comme nous l’avons vu au chapitre II. Néanmoins cette hypothèse n’est plus vraie dans le cas des hydrogels nanocomposites. Ces derniers présentent un comportement viscoélastique, c’est-à-dire que leurs réponses mécaniques à une force extérieure dépendent du temps.³

Dans la suite de ce chapitre pour les calculs d’énergie d’adhésion, nous nous placerons dans le cas d’une élasticité linéaire où les petites déformations sont proportionnelles à la contrainte appliquée. Nous verrons aux chapitres IV et VI que cette approximation est acceptable dans le cas des hydrogels de PDMA.

I.1. Contrainte, déformation et module élastique

Considérons l’exemple d’une bande hydrogel de longueur initiale L0 soumise à une force de traction F. Dans le cas simple d’une élongation uniaxiale, la déformation nominale ε est définie comme l’allongement relatif par rapport à la longueur initiale:

(III. 1)

Dans le régime élastique linéaire et pour un matériau isotrope et homogène, la contrainte nominale σ est linéairement proportionnelle à la déformation nominale ε:

_{(III. 2)}

avec E le module d’Young. Cette loi de comportement est la loi de Hooke.

La densité volumique d’énergie élastique stockée dans un matériau élastique déformé est donnée par le produit σε. En utilisant la loi de Hooke, l’énergie élastique stockée dans une

97

(III. 3)

avec V le volume initial aux petites déformations, L0 la longueur initiale et S0 la section initiale de la bande.

I.2. Rupture et taux de restitution d’énergie I.2.1. Taux de restitution d’énergie G

Le taux de restitution d’énergie G est une énergie par unité de surface (en J/m2

). Il correspond à la quantité d’énergie mécanique qui serait restituée par un matériau (libérée élastiquement et/ou dissipée par des mécanismes visco-élastiques) lors de la propagation d’une fissure d’une unité de surface. Il peut s’exprimer comme étant la dérivée de l’énergie mécanique dUM par rapport à la variation de surface dS :^4,5

^{(III. 4)}

L’énergie mécanique UM se compose d’une énergie élastique stockée dans le matériau UE et du travail de la force extérieure imposée, UP, souvent appelée énergie potentielle dans les articles.^6,7,8

Dans cette thèse, nous nous focaliserons sur la propagation de la fissure à l’interface entre deux bandes d’hydrogels collés sur une largeur w. Le taux de restitution d’énergie G pour une propagation de fissure interfaciale sur une longueur dl s’exprime alors de la façon suivante : (III. 5)

I.2.1. Critère de propagation de Griffith

Selon le critère de propagation d’une fissure au sein d’un matériau proposé par Griffith en 1920, la fissure se propage quand le taux de restitution d’énergie atteint une valeur critique

Gc où Gc est une constante caractéristique du matériau. Inversement si G<Gc, l’énergie mécanique apportée au matériau est insuffisante pour que la fissure se propage.^4,5,9

98 Le théorie de Griffith s’applique à la propagation d’une fissure dans un milieu parfaitement élastique, qui est considéré comme un système thermodynamiquement réversible.⁹ Elle s’appuie sur la conservation de l’énergie dans le solide élastique où se propage la fissure. Dans ce cas particulier, la variation d’énergie mécanique totale du système dUM pour une avancée de fissure d’un incrément de surface dS est égale à l’énergie de surface des nouvelles surfaces de fissures crées lors de la propagation : 2γdS où γ est l’énergie interfaciale intrinsèque au matériau.¹⁰ Le taux de restitution d’énergie d’un matériau élastique s’exprime alors comme :2

^{(III. 6)}

Le même modèle peut s’appliquer pour des fissures se propageant à l’interface entre deux matériaux différents.^11,12

Dans cette thèse, nous définissons l’énergie d’adhésion Gadh comme étant la valeur du taux de restitution critique G_c, pour lequel l’interface entre deux gels collés se fissure. Seulement dans le cas particulier où la propagation de fissure est très lente et peut être un processus thermodynamique réversible, c’est-à-dire en l’absence de processus dissipatif, Gadh

correspond au travail thermodynamique d’adhésion de Dupré 2γ et est donné par l’expression (III.6).² En pratique, les bons adhésifs augmentent le plus possible les dissipations aux interfaces pour que G soit élevé.

I.2.3. Dissipation viscoélastique

Dans la plupart de ruptures réelles et en particulier pour les matériaux polymères, les systèmes ne sont pas parfaitement élastiques et des phénomènes de dissipation se produisent pendant la propagation de fissure. En pratique, G dépend de divers phénomènes de dissipation pouvant être aussi bien dus à des phénomènes interfaciaux qu’à des phénomènes volumiques.⁵ Dans ce cas, le taux de restitution d’énergie dépend de la vitesse. Gent et al. ont proposé une expression empirique pour G tenant compte à la fois de la contribution interfaciale et de la contribution dissipative du matériau :¹³

99 où Φ(v) est une fonction de dissipation du matériau dépendant de la vitesse de sollicitation v et tendant vers 0 lorsque v tend vers 0. G0 est le taux de restitution d’énergie des interactions interfaciales, extrapolé à vitesse nulle. G tend vers G0 quand la vitesse de propagation de

fissure tend vers 0.

Dans cette thèse, l’énergie d’adhésion Gadh a été évaluée par trois techniques différentes : l’essai de joint de recouvrement, le pelage en Y et le pelage à 90°. Nous discutons ci-dessous de comment l’énergie d’adhésion dépend de la force d’adhésion mesurée et des propriétés des gels et de la géométrie d’essai.