Modélisation

Nous décrivons ici les notations nécessaires pour l'explication du modèle. Nous commen- çons donc par modéliser les tâches traitées dans le problème.

III.1.1.1 Les tâches

Pour chaque tâche j nous utilisons les notations suivantes :

 p_j : durée de base de la tâche j (la durée réelle sera diérente en fonction de la ressource à laquelle elle sera aectée),

 rj : date de disponibilité (release date) de la tâche j. Elle dépend de données relatives

à l'équipement sur laquelle elle aura lieu,

 dj : due-date de la tâche j. Cette valeur est calculée à partir des engagements,

 crj : compétence requise pour la tâche j. Il est obligatoire que la ressource qui devra

traiter la tâche j dispose de cette compétence.

 wj : pondération de la tâche j. Elle est prévue pour diérencier les tâches en fonction

de leur importance.

III.1.1.2 Les ressources humaines

Le service de maintenance est composé de m ressources humaines présentes et disponibles en permanence (et qui coûtent donc de l'argent à l'entreprise). Chacune de ces ressources est caractérisée par un prol de compétence. Leur rapidité de traitement ne dépend pas seulement de la tâche. Chaque ressource dispose d'un niveau de qualication pour chacune des compétences requises par les tâches. Les opérateurs réaliseront plus ou moins rapidement le traitement d'une tâche. La durée réelle de la tâche j par la ressource humaine i est alors notée pij. Avec :

pij = f (pj, Compi,crj), ∀i ∈ {1, ..., m} (III.1) Dans laquelle Compi,crj est le taux de compétence de la ressource i, pour la compétence requise, pour la tâche j, crj.

L'approche proposée est indépendante de la forme de f. Cependant par mesure de sim- plicité f sera une fonction ane dans notre cas telle que :

pij = pj∗ Compi,crj, ∀i ∈ {1, ..., m} (III.2) Pour exemple, une tâche j avec pj = 5 (unité de temps) traité par une ressource i ayant

un taux de compétence de Compi,crj = 1, 2 aura une durée eective de traitement de pij = pj∗ Compi,crj = 5 ∗ 1.2 = 6.

74 Chapitre III

L'ensemble des taux de compétences des ressources peut être représenté par une matrice, dans laquelle, pour chaque tâche la compétence requise peut être trouvée.

Compcr1 · · · Compcrn op1 ... opm    Comp1,1 · · · Comp1,crn ... ... ... Compm,1 · · · Compm,crn   

Les niveaux de compétence sont indépendants d'une opération à une autre. Un opérateur peut donc être le plus performant pour un type de tâche, et le moins ecace pour un autre.

III.1.1.3 Variables

Les variables de notre problème sont les suivantes, pour chaque tâche j :  t_j (j = 1...n) : date de début planiée de la tâche j,

 Cj (j = 1...n) : date d'achèvement de la tâche j,

 xij (j = 1...n et i = 1...m) : booléen indiquant l'aectation de la tâche. xij = 1 si la

tâche j est aectée à la ressource i, autrement xij = 0,

 aij(t) (j = 1...n et i = 1...m) : booléen indiquant la consommation de la ressource

i par la tâche j à l'instant t. aij(t) = 1 si la tâche j est traité par la ressource i à

l'instant t, autrement aij = 0,

III.1.1.4 Contraintes

Chaque tâche doit être aectée à une seule ressource :

n

X

j=1

xij = 1, ∀i ∈ {1, ..., m} (III.3)

La tâche j ne peut pas être planiée sur l'équipement avant que celui-ci ne soit dispo- nible :

∀j, tj > rj (III.4)

Les ressources sont disjonctives. Cela signie que les ressources ne peuvent être utilisées que par une tâche à la fois. Tout couple de tâches (j1, j2) utilisant la même ressource

est associée la paire de disjonction (j1 ≺ j2) ∨ (j2 ≺ j1) [Esquirol et al., 2001b]. Cela se

traduit par un séquencement total des tâches utilisant la même ressource et par une disjonction entre deux inégalités de potentiel :

III.1 Ordonnancement et aectation statique 75 et donc : ∀t, ∀i, n X j=1 aij(t) ≤ 1 (III.6) III.1.1.5 Objectif

An de respecter ses engagements, les délais de traitement doivent être minimisés. Ce- pendant, en raison des pénalités prévue en cas de retard, a durée de retard égale, il sera plus urgent de remettre en état de fonctionnement l'équipement dont le coecient de pénalité (wj) est le plus important. Notre objectif est donc de minimiser la somme

pondérée des retards (ou somme des pénalités). min

n

X

j=1

wjTj, (III.7)

Où Tj est le retard de la tâche j.

III.1.1.6 Modèle mathématique

Nous proposons une approche statique du problème qui consiste à aecter et à ordon- nancer un ensemble de tâches (non sécables) à un ensemble de ressources humaines. En maintenance industrielle, les tâches de maintenance préventive sont connues pour un ho- rizon déterminé. Il est alors possible de comparer la résolution de ce type de problème, à l'ordonnancement des activités de maintenance préventive.

Pour des raisons de performance du service de maintenance, les tâches sont prioritai- rement aectées aux ressources les plus ecaces. Cependant, ces aectations de tâches ont trait à de l'activité humaine, et les ressources sont toujours présentes, il est donc nécessaire d'équilibrer la charge entre elles.

Nous abordons ce problème, par une approche de résolution composée de deux phases où deux problèmes mono-critères successifs sont résolus. La première phase correspond à l'aectation des tâches aux ressources en équilibrant la charge de travail entre les ressources humaines mais aussi en cherchant à la minimiser. Dans cette première phase, nous relaxons les contraintes de disponibilité III.4. La deuxième répond à l'objectif de notre travail, qui est de minimiser la somme pondérée des retards en prenant en compte les contraintes intrinsèques des tâches telles que la contrainte de disponibilité et la priorité wj des tâches.

La première phase de notre problème est alors comparable au problème de minimisation de la durée de l'ordonnancement (Cmax) sur des machines parallèles diérentes (R). Ce

76 Chapitre III

suivante :

min Cmax = max i=1...m n P j=1 xijpij ! , Sachant que Pn j=1 xij = 1, ∀i ∈ {1, ..., m}, et que pij = n P j=1 xij∗ f (pj, compi,crj).

La deuxième phase est la phase d'ordonnancement à proprement parlé. Les contraintes temporelles sont prises en compte et le problème d'optimisation peut alors être résumé de la façon suivante : min n P j=1 wjTj, De sorte que : n P j=1 xij = 1, ∀i ∈ {1, ..., m}, tj > rj, ∀j ∈ {1, ..., n}, ∀t, ∀i,Pn j=1 aij(t) ≤ 1, avec Tj = max(O, Cj− dj) et Cj = tj+ pij, avec pij = n P j=1 xij ∗ f (pj, compi,crj).