5.3 Acquisition et traitement des données
5.3.1 La modélisation de l’électronique
Nous commencerons tout d’abord par discuter le modèle fait de notre électronique de mesure. En effet, ceci nous permettra d’identifier lors de l’analyse de données comment remonter aux grandeurs physiques que nous cherchons à mesurer. Nous montrerons dans cette section que si de nombreux paramètres se combinent pour rendre non triviale la prédiction exacte du comportement du montage (en particulier en ce qui concerne les filtres) en raison des incertitudes sur les valeurs des composants mis en œuvre, certaines mesures expérimentales permettent de compenser ce défaut et de remonter avec certitude au comportement global de notre système de mesure.
Les filtres
Ainsi que mentionné précédemment, notre dispositif de mesure comporte quatre filtres ”en double T”, dont la modélisation idéale est représentée Figure 5.7. Ces filtres coupe-bande présentent une réponse caractéristique (Figure 5.13) coupant entièrement la fréquence fc = 1/2πRC.
Avec l’utilisation d’un filtre coupant à la pulsation ω et un filtre coupant la pulsation 3ω, la transmission à pulsation 5ω attendue est ≈ 20 %.
Afin d’obtenir une coupure ainsi parfaite, il est important que les valeurs relatives des ré- sistances et capacitances soient respectées. Il reste néanmoins théoriquement possible de compenser les inévitables écarts entre les composants. Si par exemple on considère comme imposées les valeurs de capacitance, il est possible de trouver théoriquement un réglage des résistances permettant de compenser les effets néfastes de ces petites variations (tant en terme de transmission à la coupure que de position de la coupure elle-même). En revanche, on ne parvient pas en pratique à connaitre suffisamment bien les valeurs des capacitances et résistances. Un tel réglage permet de gagner en performance sur un réglage ”naïf” qui ferait comme si les valeurs de capacitances étaient parfaitement ajustées. En revanche, on obtient
Figure 5.13 – Modélisation de la transmission d’un filtre en double T (également illustrée
Figure 5.8) : La coupure est totale à fréquence fc = 1/2πRC. Dans des cas
plus réalistes prenant en compte que les résistances et capacités n’ont jamais exactement des valeurs égales, la coupure n’est pas totale mais reste forte. En pratique, on règle les filtres à leur fréquence de coupure pour minimiser la transmission et on mesure la transmission globale du dispositif à la fréquence de mesure. Il ne serait pas pertinent de caractériser chaque filtre individuellement car la simple présence du reste du dispositif modifie les caractéristiques de sa réponse individuelle.
toujours une meilleure coupure en réalisant un réglage manuel du filtre, modifiant par pe- tits incréments les valeurs de résistances afin de minimiser la transmission à la fréquence de coupure souhaitée. C’est donc cette procédure que l’on préfère en pratique, d’autant que le réglage idéal ne prend pas en compte le couplage du filtre avec son environnement.
Une conséquence de ces fortes variations de transmission à la coupure en fonction du réglage fin est qu’il est impossible d’anticiper la valeur de transmission de filtre à cette fréquence. En revanche, on peut constater Figure 5.13 que loin de la fréquence de coupure, les variations de transmission sont suffisamment faibles pour que le réglage fin importe peu. En dépit de cette constatation, et afin de ne pas introduire d’erreur supplémentaire, la transmission du montage est mesurée en situation après chaque mesure.
Le montage complet
Le pont complet représenté Figure 5.14 se modélise en différentes étapes qu’on suppose indé- pendantes les unes des autres. Cette hypothèse traduit des approximations sur le découplage des différents systèmes mis en place. Découplage qui se traduit en pratique par la nécessité de s’assurer que certaines impédances sont suffisamment importantes comparées à d’autres. Tout d’abord, la tension générée par la source n’est pas directement la tension appliquée aux bornes de l’échantillon. En effet, la présence de la résistance de mesure ainsi que des filtres monopolise une partie de ce potentiel.
L’impédance à la masse vue depuis l’entrée d’un filtre tel que représenté Figure 5.7 vaut dans le cas idéal zf il = R2 (1 −i). Nous avons vérifié expérimentalement que cette valeur
correspond bien à la valeur réelle.
Ainsi, l’impédance de mesure effective vaut zef f,Ech(ω) =
zf il,Ech(ω)zEch(ω)
5.3. ACQUISITION ET TRAITEMENT DES DONNÉES 87
Figure 5.14 – Le montage utilisé (également représenté Figure 5.1) : Deux échantillons
d’épaisseur différente et d’impédance respective Zf et Ze génèrent chacun une
réponse en courant. Celle-ci est transformée en potentiel dans les impédances de mesure zf et ze puis filtrée afin de la débarrasser des signaux harmoniques
indésirables avant que l’acquisition soit réalisée. Ce filtrage permet d’éviter que des signaux harmoniques soient générés par les non linéarités du dispositif de mesure. Les transmissions globales des deux branches du dispositif de mesure sont appelées Tf(ω)et Te(ω)et dépendent fortement de la fréquence en raison
de la réponse caractéristique des filtres.
l’impédance de mesure de l’échantillon correspondant (ze(ω)ou zf(ω)). La tension appliquée
à l’échantillon Vappl,Ech(ω)est ainsi reliée à la tension source Vs(ω)par la relation suivante :
Vappl,Ech(ω) =
ZEch(ω)
zef f,Ech(ω) + ZEch(ω)
Vs(ω)
L’application de cette tension à l’échantillon permet de générer les courants donnés sous- section 3.2.2. En particulier, la réponse d’ordre 5 est :
I5,5Ech(5ω) = 5 16iωϵ0Sχ (5)∗ 5 (ω) ( Vappl,Ech(ω) eEch )5
Ainsi, à l’harmonique 5, l’échantillon peut se modéliser comme une source de courant ayant pour impédance en parallèle celle due à la réponse linéaire de l’échantillon à 5ω, ainsi qu’illus- tré Figure 5.15. La tension en entrée des filtres VEch(5ω)est le résultat de ce courant débitant
dans l’impédance de l’échantillon ZEch(5ω)en parallèle de l’impédance de mesure effective
zef f,Ech(5ω)et est donc donnée par :
VEch(5ω) =
zef f,Ech(5ω) ZEch(5ω)
zef f,Ech(5ω) + ZEch(5ω)
I5,5Ech(5ω)
Enfin, le signal traverse les filtres et est affecté par leur transmission à la cinquième harmo- nique Tf il,Ech(5ω)pour produire la tension mesurée :
Figure 5.15 – Schéma équivalent de l’échantillon fin à l’harmonique 5 dans le montage. La
source de courant I5,5f(5ω)débite dans l’impédance linéaire de l’échantillon
Zf(5ω)ainsi que dans la résistance de mesure zef f,f(5ω).
Remettant ensemble toutes les étapes détaillées précédemment, on trouve pour VM es,Ech(5ω)
l’expression suivante : VM es,Ech(5ω) zef f,Ech(5ω)
zef f,Ech(5ω)+ZEch(5ω)Tf il,Ech(5ω)
= iω 5 16ϵ0Sχ (5)∗ 5 (ω) Vs(ω) 5( ZEch(ω) zef f,Ech(ω) + ZEch(ω) )5Z Ech(5ω) e5 Ech (5.1) Il est aisé de remarquer que dans cette équation, apparait le terme correspondant à la trans- mission linéaire qu’un signal parasite à 5ω verrait sur cette branche :
TEch(5ω) =
zef f,Ech(5ω)
zef f,Ech(5ω) + ZEch(5ω)
Tf il,Ech(5ω)
C’est aussi la transmission que l’on mesure lorsqu’on applique sur le montage un signal source à 5ω de faible amplitude et que l’on mesure donc sa réponse linéaire à la cinquième harmonique.
Ainsi, la différence entre le signal mesuré idéal et le signal mesuré réel en présence d’un petit signal parasite de la source δVs(5ω)s’exprime par :
VM es,Ech,reel(5ω)
TEch(5ω)
= VM es,Ech,ideal(5ω) TEch(5ω)
+ δVs(5ω)
La mesure de VM es,f,reel(5ω), VM es,e,reel(5ω), Tf(5ω) et Te(5ω) permet de calculer en
n’utilisant que des grandeurs mesurées la grandeur Vcorrige(5ω)qui ne contient plus le signal
parasite à 5ω dû à la source : Vcorrige(5ω) Tf(5ω) =VM es,f,reel(5ω) Tf(5ω) −VM es,e,reel(5ω) Te(5ω)
Vcorrige(5ω)ne contient donc plus que du signal dû à la réponse non linéaire de l’échantillon.
En vertu de l’expression idéale du signal mesuré donnée précédemment dans l’Équation 5.1, il s’exprime comme : Vcorrige(5ω) Tf(5ω) = iω 5 16ϵ0Sχ (5)∗ 5 (ω) Vs(ω) 5 [ ( Z f(ω) zef f,f(ω) + Zf(ω) )5Z f(5ω) e5 f − ( Z e(ω) zef f,e(ω) + Ze(ω) )5Z e(5ω) e5 e ] (5.2)
5.3. ACQUISITION ET TRAITEMENT DES DONNÉES 89 La seule inconnue dans Vcorrige(5ω)étant la susceptibilité d’ordre 5 χ
(5)∗
5 (ω), il sera aisé de
remonter à sa valeur lors du traitement des données.