2 Méthodologie
2.3 Modélisation d’histoires thermiques avec QTQt
2.3.2 Modélisation d’histoires thermiques à partir d’échantillons détritiques
Récemment, Gallagher et Parra (2020) ont développé une méthode pour modéliser des histoires thermique à partir d’échantillons détritiques seuls. Contrairement à la thermochronologie de socle (in-situ) où nous avons un accès direct à la relation âge-altitude, l’information d’élévation dans les échantillons détritiques est perdue. Or, cette information est nécessaire à la modélisation des histoires
Figure 2.4. (A) Modèle d’histoire thermique dans QTQt (Gallagher, 2012) défini par les points temps (ti), températures (Ti) et de l’écart de température entre l’échantillon le plus froid et le plus chaud (Ei). L’échantillon le plus froid (i.e. le plus haut dans le profile vertical) est l’échantillon de référence pour le calcul d’histoires thermiques (ligne noire épaisse). Les points temps-températures des autres échantillons sont déterminés par interpolation linéaire suivant l’écart de température maximal défini (Ei). Un point temps-température peut être déplacé dans le modèle de l’itération suivante (flèche directionnelles). (B) Un point temps-température peut également être supprimé, ou (C) ajouté. Dans ce dernier cas, une fois ajouté, la température du nouveau point est perturbée par un petit incrément aléatoire (flèche noir, C). (D) A la fin de la procédure d’échantillonnage McMC, un nombre n (nombre d’itérations post-burn-in) de modèles d’histoire thermique est obtenu, et un modèle moyen peut être calculé avec son intervalle de crédibilité à 95% (courbes noires), ainsi que le modèle maximisant la vraisemblance avec les données (courbe rouge bordeaux), et celui maximisant la probabilité a postériori (courbe verte). (Figure traduite et modifiée après Gallagher, 2012).
thermiques, pour déterminer l’écart de température entre l’échantillon le plus froid et le plus chaud (section 2.3.1), ainsi que l’évolution des âges dans le profile vertical.
Gallagher et Parra (2020) contournent ce problème en proposant l’approche suivante. De façon similaire à la modélisation inverse des données de socle (section 2.3.1), pour une histoire thermique donnée (i.e. modélisée), paramétrée avec les modèles de cicatrisation des traces de fission (AFT) ou de diffusion d’hélium (AHe) appropriés, la distribution des âges AFT ou AHe peut être prédite pour chaque altitude. Ainsi, en connaissant la distribution hypsométrique du bassin de drainage d’où proviennent les échantillons détritiques, il est possible d’échantillonné le profile vertical synthétique pour les altitudes pertinentes afin de prédire une distribution d’âges détritiques (Figure 2.5). Cette distribution d’âges détritiques synthétique néglige bien entendu le rôle des processus de transport des sédiments (Malusà et al., 2016), de la fertilité minérale (Malusà et al., 2016; Moecher and Samson, 2006), et de l’érosion (Brewer et al., 2003; Whipp et al., 2009). Elle correspond à la distribution d’âges détritiques attendue si tous les grains d’apatites sont échantillonnés en proportion de la distribution hypsométrique du bassin de drainage (Gallagher and Parra, 2020). La dispersion de ces distributions détritiques synthétiques dans QTQt résulte donc des valeurs des paramètres cinétiques échantillonnées pour, e.g. la diffusion d’hélium (AHe ; Flowers et al., 2009; Gautheron et al., 2009; Willett et al., 2017) et des taux de cicatrisation (e.g. composition en chlore pour AFT ; Gleadow et Duddy, 1981; Green et al., 1985), mais aussi des erreurs sur les âges (Galbraith, 2005).
Pour chaque altitude du bassin de drainage, il existe donc une distribution des variables de contrôle décrites précédemment, et chacune d’elle compose la distribution finale des âges détritiques synthétiques (Figure 2.5). En notant une variable de contrôle, K, la distribution détritique totale prédite est définie par :
𝑝𝑑é𝑡𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒(𝑑𝑝|𝑚) = ∫ ∫ 𝑑𝑝(𝑧, 𝐾|𝑚)𝑝(𝑧)𝑝(𝐾)𝑑𝑧𝑑𝐾 𝑧𝑚𝑎𝑥 𝑧𝑚𝑖𝑛 𝐾𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑚𝑖𝑛 , (2. 25)
Où 𝑑𝑝(𝑧, 𝐾|𝑚) est la distribution prédite pour l’altitude z et la variable de contrôle K suivant le modèle m, 𝑝(𝐾) la distribution de probabilité de la variable de contrôle, et 𝑝(𝑧) est la probabilité d’avoir échantillonné l’altitude z, qui est définie par la distribution hypsométrique du bassin de drainage et référée comme la fonction d’échantillonnage topographique (FET). En pratique, cela est réalisé pour des altitudes spécifiques (déterminées par des échantillons virtuels), ainsi que pour des valeurs limitées pour les variables de contrôle. Ainsi, l’équation 2.25 peut être réécrite sous forme discrète :
𝑝𝑑é𝑡𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒(𝑑𝑝|𝑚) = ∑ ∑ 𝑝(𝑑𝑝|𝐾𝑗, 𝑧𝑘)𝑝(𝑧𝑘)𝑝(𝐾𝑗) 𝑁𝑧 𝑘=1 𝑁𝐾 𝑗=1 , (2. 26)
Les distributions d’âges détritiques ainsi prédites sont comparées à la distribution observée par un calcul de vraisemblance, qui représente la probabilité d’avoir les données observées suivant le model prédit. Ainsi, plus la probabilité est élevée plus la distribution prédite représente les données observées. Cette vraisemblance est calculée, pour une donnée (e.g. un âge) suivant :
𝑝(𝑑𝑖|𝑚) = ∑ 𝑝(𝑑𝑖|𝐾𝑗, 𝑧𝑘, 𝑚)𝑝(𝑧𝑘)
𝑁𝑧 𝑘=1
. (2. 27)
Ainsi la vraisemblance de la distribution détritique totale prédite est le produit des vraisemblances de chaque donnée. Pour des raisons d’efficacité de calcul, la somme des logarithmes naturels des vraisemblances (Ln) est calculée :
𝐿(𝑑|𝑚) = ∑ 𝐿𝑛(𝑝(𝑑𝑖|𝑚)
𝑁 𝑖=1
, (2. 28)
Où N est le nombre d’échantillon dans le profile vertical.
L’approche proposée par Gallagher et Parra (2020) autorise la variation de la FET. Plutôt que d’échantillonner les profiles âge-altitude synthétiques en proportion de la courbe hypsométrique à
Figure 2.5. Modèle conceptuel pour la prédiction d’histoires thermiques à partir d’échantillons détritiques. (a) Un échantillon
détritique est collecté dans une rivière à l’exutoire d’un bassin de drainage (étoile verte). Le bassin peut avoir été échantillonné à l’affleurement pour l’obtention d’un profile vertical (étoile jaunes). Pour la prédiction des distributions d’âges détritiques, une série d’échantillons virtuels intégrant la gamme d’altitudes du bassin de drainage est utilisée (ronds gris). Suivant un modèle d’histoire thermique (b), un profile vertical d’âge-élévation est défini à partir de chaque altitude des échantillons virtuels (c), ici pour les thermochronomètres AFT et AHe, et selon une gamme de variables de contrôle (VC) qui sont e.g. les paramètres cinétiques pour l’AFT et la taille de grain pour l’AHe. (d) Pour chaque altitude, les âges prédits sont rééchantillonnés pour chaque variable de contrôle 50 à 100 fois pour déterminer leur variation statistique et ainsi produire une distribution d’âges pour chacune d’entre elles. Puis ces distributions sont additionnées pour définir une distribution totale à chaque altitude (courbe noire, (d)). Enfin, la distribution d’âges détritiques totale prédite correspond à la somme de chacune des distributions d’âges pour chaque altitude des échantillons virtuels (e), pondérée pour la fonction d’échantillonnage topographique (FET) qui correspond à la distribution hypsométrique cumulée du bassin de drainage (f). (Figure traduite de Gallagher et Parra, 2020).
chaque itération, cette dernière est définie comme paramètre dans la procédure d’échantillonnage McMC et peut donc être perturbée pour prédire les données observées (i.e. selon le calcul de la vraisemblance). Pour une histoire thermique donnée, une FET optimale qui minimise l’écart entre les distributions d’âges prédites et observées, est calculée. Cela est réalisée par une méthode itérative non-négative par somme des moindres carrés (Kim et al., 2013), qui minimise la somme des différences carrés entre les distributions d’âges prédites et observées.