Exploration de la loi d’arrachement par bloc

Suite à l’étude précédente présentée dans un format court il me parait essentiel de décrire davantage les prédictions de la loi d’arrachement d’Iverson (2012). Pour cela, je reviens dans un premier temps sur une description simple des relations entre érosion, vitesse de glissement des glaciers et taille des cavités sous-glaciaires, en fonction des propriétés du substrat rocheux (i.e. déterminées à travers le facteur de volume et le facteur de contrainte différentielle), via le modèle cinématique décrit dans l’étude. Puis, dans un second temps je vais explorer ces prédictions lorsqu’elles sont implémentées dans un modèle d’évolution de paysage comme iSOSIA où la vitesse de glissement basal est contrôlée en partie par la pression effective.

La formulation complète de la loi d’arrachement présentée par Iverson (2012) est définie à l’échelle des cavités sous-glaciaires. Le problème est posé comme suit : la surface de contact d’un glacier s’écoulant sur un substrat rugueux composé de ruptures de pentes franches (i.e. seuils topographiques), est déterminée par l’extension des cavités, contrôlée par la vitesse de glissement de la glace, sa viscosité et la pression d’eau à l’interface glace-substrat. Cette surface de contact est soumise à la contrainte normale exercée par la glace et génère des contraintes déviatoriques sur le socle rocheux dont l’intensité dépend de la différence entre la pression de la glace et la pression d’eau dans les cavités (i.e. la pression effective). Le modèle d’érosion ainsi décrit se base sur la théorie d’usure des matériaux par contact de glissement (Rabinowicz and Tanner, 1966). Le volume de roche érodée dépend linéairement de la distance de glissement, de la surface de contact et de la probabilité de rupture. Ainsi Iverson (2012) dérive une loi d’arrachement pour des blocs de roche en deux dimensions définis par des paramètres géométriques tels que hc, la hauteur des cavités au niveau du découplage glace-roche, Lc, la distance qui sépare deux cavités, et S la taille des cavités sous-glaciaire :

𝐸̇_𝑞 = 𝑘 ^{𝑈𝑏𝑝𝑓ℎ𝑐} 2𝐿_𝑐 ^{(1 −}

𝑆

𝐿_𝑐^{) , (3. 1)}

Avec Ub la vitesse de glissement et 𝑝𝑓 la probabilité de rupture qui dans sa formulation complète donne : 𝑝_𝑓 = 1 − exp [− ^𝑉 𝑉₀⁽ 𝜎_𝑑 𝜔𝜎₀⁾ 𝑚 ] . (3. 2)

La probabilité de rupture est évaluée par une distribution de probabilité de la résistance des roches aux contraintes, qui suit une distribution de Weibull. L’hypothèse implicite est que la résistance de la roche est égale à la résistance de son plus faible composant (Jaeger et al., 2009). Cette probabilité de rupture est donc déterminée par un facteur de volume (i.e plus le volume de la roche soumise aux contraintes est grand plus la probabilité d’exploiter une zone de faiblesse est grande), et un facteur de contrainte

différentielle qui représente l’effet de l’intensité des contraintes exercées sur la roche par rapport à la résistance de cette dernière à la traction (Ugelvig et al., 2018). Ainsi, les propriétés lithologiques sont capturées par ce terme de probabilité. Dans le facteur de volume ^𝑉

𝑉₀, 𝑉 = hc (Lc -S), et V0 est un volume caractéristique par unité de surface (m²), qui contient la plus grande fracture. Ce volume caractéristique est donc égal au volume de roche soumise à la contrainte (V0 = hc x Lc). Les termes du facteur de contrainte différentielle, (^𝜎𝑑

𝜔𝜎₀)^𝑚, regroupent la contrainte déviatorique σd, la contrainte critique σ0

représentant la résistance moyenne de la roche aux forces de traction, avec ω un facteur qui tient compte des contraintes plus faibles requises pour la croissance lente sous-critique des fractures (Hallet, 1996; Iverson, 2012), et m qui tient compte de la densité de plans de faiblesses que la roche contient. Ces niveaux de faible résistance peuvent être des plans de foliation, l’agencement des grains et leur taille. Ce terme m, est appelé le module de Weibull (Iverson, 2012; Lobo-Guerrero and Vallejo, 2006; Wong et al., 2006). Enfin, dans les travaux présentés ici, je m’abstrait d’une définition de distribution spatiale des cavités sous-glaciaire et me focalise uniquement sur les prédictions de la loi d’arrachement proposée par (Iverson, 2012). C’est pourquoi j’ajoute dans l’équation 3.1 un facteur, k, qui dimensionne le taux d’érosion avec le temps.

Dans un premier temps je néglige le facteur de volume dans l’équation 3.1. Je souhaite tester la relation entre le taux d’érosion et la taille relative des cavités (S/Lc) suivant les paramètres σ0 et m dans la loi d’Iverson (2012). Pour cela, j’utilise le modèle cinématique simple définit dans l’article, similaire à celui considéré par Iverson (2012), où un profil de vitesse constant est imposé. Pour la contrainte limite, σ0 (i.e. Eq. 3.2), j’utilise trois valeurs s’échelonnant de 0.1 à 10 MPa (Tableau 3.1). La valeur de ce paramètre est proche de la résistance moyenne de la roche considérée, et peut varier fortement avec la friabilité de la roche (Hallet, 1996), justifiant ainsi une gamme s’échelonnant sur deux ordres de grandeurs. Je considère une pression effective (N, Eq. S3-S4) de 0.5 MPa qui est dans la gamme des observations (Benn and Evans, 2014) et permet d’obtenir une gamme de taille de cavité (S, Eq. 3.1 et S3) allant de 0 à Lc (0 ≤ ^𝑆

𝐿_𝑐≤ 1 ; Figure 3.1). La hauteur des cavités (hc), au niveau du découplage glace-roche, est constante et égale à 1 m. Enfin, je paramétrise m = 3.0, (Eq. 3.2) comme valeur de référence, et néglige la dépendance au volume de roche (V/V0 = 1, Eq.3.2). Dans ce modèle cinématique simple, la taille des cavités est contrôlée par la vitesse de glissement. Ces deux facteurs sont positivement corrélés (Figure 3.1).

Suivant les valeurs de σ0 considérées, le pic d’érosion se situe à des valeurs différentes de taille de cavité (Figure 3.1). Pour une résistance faible du substrat rocheux (σ0 = 0.1 MPa), le pic d’érosion se situe à une vitesse de glissement d’environ 175 m an-1, et correspond à une taille relative de cavité (i.e. S/Lc) entre 0.6 et 0.7 (Figure 3.1). Une augmentation de σ0, provoque un déplacement du pic d’érosion vers des vitesses de glissement plus importantes et donc des tailles de cavités plus grandes (Figure 3.1).

Contrairement, aux lois d’abrasion de forme équivalente à l’équation 1 (section 3.2), qui prédisent des valeurs maximales d’érosion là où les vitesses de glissement sont maximales, la loi d’arrachement d’Iverson (2012) simplifiée prédit plutôt une valeur optimale de vitesse qui dépend de la résistance du substrat rocheux à l’érosion, définie par la résistance moyenne de la roche aux contraintes de traction (σ0 ; Eq. 3.2). L’intensité de l’érosion est également contrôlée par une compétition entre la surface de

Description Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4

σ0 (MPa) Contrainte limite 0.1, 1, 10 10 10 0.1, 1, 10

m Module de Weibull 3.0 1.5, 3.0, 5.0 1.5, 3.0, 5.0 3

σn^* (MPa) Contrainte maximale supportée par la glace

10 10 10 10

N (MPa) Pression effective 0.5 0.5 0.5 0.5

Lc (m) Distance entre cavités 10 10 10 10

hc (m) Hauteur des cavités 1 1 1 1

V0 (m2) Volume critique - - 10 10

V/V0 Rapport des volumes 1 1 Variable Variable

Tableau 3.1. Description des paramètres utilisés dans le modèle cinématique de la loi d’érosion par arrachement d’Iverson (2012).

Figure 3.1. Prédictions de la loi d’arrachement en fonction des paramètres décrits au Tableau 3.1 pour (A) la taille relative

des cavités, et le taux d’érosion normalisé ainsi que la probabilité de rupture pour des valeurs de σ0 = 0.1 MPa (B), σ0 = 1 MPa (C), de σ0 = 10 MPa (D). Modèle 1 dans le Tableau 3.1

contact (S/Lc) entre la glace et la roche et la probabilité de rupture des zones de faiblesses contenues dans ces portions de roche. La première diminue avec l’ouverture des cavités et réduit la portion de roches disponible pour l’érosion (i.e. 1 – S/Lc dans l’équation 3.1), ce qui exerce une rétroaction négative sur l’intensité de l’érosion. La seconde exerce, à l’inverse, une rétroaction positive en augmentant avec la taille relative des cavités à travers la formulation de la contrainte déviatorique (Eq. S4). Dans cette expérience, la probabilité de rupture, 𝑝_𝑓, augmente jusqu’à une valeur seuil (Figure 3.1) qui est le résultat de la limite définie sur la contrainte que peut exercer la glace avant de rompre (i.e. σn* Eq. S4) qui est de 10 MPa (Hallet, 1996). Enfin, la gamme de vitesse de glissement capable d’éroder le substrat rocheux est inversement proportionnel à la résistance du substrat rocheux (elle diminue lorsque σ0

augmente). Cela est illustré par l’augmentation du gradient de probabilité de rupture (𝑝_𝑓, Eq. 3.2). Pour une résistance faible (σ0 = 0.1 MPa), la probabilité de rupture est majoritairement autour de 1, alors que pour une résistance forte (σ0 = 10 MPa) elle s’échelonne sur plusieurs ordres de grandeurs de 10-5 à 100

(Figure 3.1). Ce comportement, reflète la nécessité d’atteindre des contraintes (σd) suffisamment élevées, favorisées par des tailles de cavités croissantes, pour exploiter les zones de faiblesse dans des substrats rocheux à forte résistance aux contraintes de traction σ0 (Hallet, 1996; Iverson, 2012).

Dans une deuxième expérience, je me concentre sur le rôle du module de Weibull, m, dans l’équation 3.2, qui représente la densité de niveaux de faiblesse dans le substrat rocheux (Lobo-Guerrero and Vallejo, 2006; Wong et al., 2006). Des expériences en laboratoire testant la résistance de roches diverses à des contraintes appliquées, ont trouvé des valeurs de m = 1.5 pour des faluns calcaires très friables et situés à Le Quiou en France (McDowell and Amon, 2000), m = 2.75 et m =4.23 pour des gneiss à biotite et des quartzites respectivement (Lobo-Guerrero and Vallejo, 2006). Des valeurs de m entre 1.5 et 5 sont considérées comme reflétant l’ensemble des roches (Iverson, 2012; Wong et al., 2006). Pour cette expérience, je considère trois valeurs de m entre 1.5 et 5 (Tableau 3.1), avec σ0 = 10 MPa, simulant ainsi l’érosion par arrachement sur des substrats à forte résistance aux contraintes de traction mais présentant différents degrés de densité de niveaux de faiblesse. La dépendance au volume (V/V0) est aussi négligée.

Contrairement à une variation de σ0, la variation du paramètre m dans l’équation 3.2 ne modifie pas la position du pic d’érosion avec la vitesse de glissement, qui reste à ~354 m an-1 (Figure 3.2). En revanche, le paramètre m influence à la fois la probabilité de rupture et la gamme de vitesse pour laquelle l’érosion se produit. En effet, une valeur élevée de m (m = 5) est associée à une décroissance rapide de la probabilité de rupture, 𝑝_𝑓, avec la vitesse de glissement. Elle décroît d’environ 2x10-3 pour une vitesse de ~354 m an-1, à zéro pour des vitesses de glissement en dessous de 300 m an-1 (Figure 3.2). Ce taux de décroissance diminue avec m, où une probabilité de rupture de même ordre de grandeur (i.e. 2x10-3) est observée pour des vitesses de moins de 100 m an-1, lorsque m est égal à 1.5 (Figure 3.2). Cela impact les taux d’érosion qui sont encore significatifs pour des vitesses de glissement relativement faibles lorsque m est petit (pour m = 1.5, des taux d’érosion équivalent à 10% de la valeur maximale sont encore observés pour des vitesses de glissement de 100 m an-1). Comme dans l’expérience précédente, la

probabilité de rupture, 𝑝_𝑓, atteint une valeur seuil contrôlée par la contrainte maximale que peut supporter la glace avant de rompre (σn*= 10 MPa, Eq. S4 section 3.2). Ainsi, le paramètre m dans l’équation 3.2 participe à augmenter la probabilité de rupture lorsqu’il diminue, reflétant la densité plus importante de niveaux de faiblesse, proxy de la friabilité d’une roche où l’arrachement de blocs est facilité. (Fang and Harrison, 2002; Lobo-Guerrero and Vallejo, 2006; Wong et al., 2006)

Comme dernière expérience, je choisi d’incorporer la dépendance au volume dans la formulation de la probabilité de rupture (V/V0, Eq. 3.2). Le volume caractéristique V0 par unité de largeur, doit pouvoir contenir la plus grande fracture qui est considérée ici comme de même ordre que le volume définit par la distance entre deux cavités (Lc) et la hauteur des cavités (hc), à savoir 10 m2 (Tableau 3.1). Je considère les deux premières expériences (Figure 3.1 et Figure 3.2) en y incorporant le terme V/V0 (Figure 3.3).

Pour la première, considérant une variation de σ0 (Figure 3.3A), l’ajout du facteur de volume a peu d’effet sur la probabilité de rupture pour une résistance faible du substrat (σ0 = 0.1 MPa). En effet, la diminution du facteur de volume avec la taille des cavités est compensée par l’augmentation du facteur de contrainte différentielle dont les valeurs restent dans une gamme haute entre 101 et 104 (Figure 3.3A). Ceci permet de garder une probabilité de rupture proche de 1 pour une gamme large de taille de cavité et de vitesse de glissement (Figure 3.3). En revanche, l’effet du facteur de volume sur la probabilité de rupture et les taux d’érosion est plus important lorsque la résistance du substrat augmente. La probabilité de rupture diminue par rapport à l’expérience de référence (Figure 3.1) car le facteur de contrainte différentielle compense moins la diminution du facteur de volume en montrant une gamme de valeurs plus basse entre 10-6 et 10-2 (Figure 3.3, panneau inférieurs). Cela a pour conséquence de restreindre la gamme de vitesse de glissement pour laquelle une érosion relativement significative se produit. Par

Figure 3.2. Prédictions de la loi d’arrachement en fonction des paramètres décrits au Tableau 3.1 pour (A) la taille relative des

cavités, et le taux d’érosion normalisé ainsi que la probabilité de rupture pour des valeurs de m = 1.5 (B), m = 3 (C), de m = 5 (D). Modèle 2 dans le Tableau 3.1.

exemple, des taux d’érosion supérieurs à 50 % du taux d’érosion maximal se produisent pour une gamme de vitesses entre 250 et 360 m an-1 quand σ0 = 1 MPa (Figure 3.1C), et est réduite entre 300 et 370 m an-1 lorsque le facteur de volume est considéré. Cela correspond à des tailles relatives de cavités entre 0.80 et 0.95 dans le premier cas, et entre 0.87 et 0.97 dans le second. Enfin, cet effet du facteur de volume est illustré par la diminution de la probabilité de rupture lorsque la contrainte limite que peut exercer la glace sur le substrat (σn* Eq. S4) est dépassée (Figure 3.3A) alors qu’elle restait constante dans le cas de référence (Figure 3.1).

Je considère enfin une variation de m comme dans la deuxième expérience (Figure 3.2). Cette configuration des paramètres est identique à celle présentée par Iverson (2012), et donc les résultats présentés ci-après sont discutés dans son étude (Figure 3.3B). Ici, je me concentre sur l’apport du facteur de volume dans l’équation 3.2, dans la relation entre le taux d’érosion et la taille relative des cavités sous-glaciaires. De façon similaire au cas précédent, le facteur de volume diminue la probabilité de rupture par rapport au cas de référence (Figure 3.2). Ceci est observé pour chaque valeur de m, dont la gamme n’est pas assez grande pour compenser cette diminution, comme ce fut le cas pour σ0 = 0.1 MPa (Figure 3.3A). En revanche, le facteur de volume a une grande influence ici, sur la localisation du pic d’érosion avec la taille relative des cavités (S/Lc). En effet, pour des valeurs de m faibles (i.e. une grande densité de niveaux de faiblesse) le pic d’érosion est maintenant localisé à une vitesse de glissement ~250 m an-1, correspondant à une taille relative de cavité de ~0.80, alors que ce dernier était situé à une vitesse

Figure 3.3. Prédictions de la loi d’arrachement en tenant compte du facteur de volume dans l’équation 3.2, pour la taille relative

des cavités, et le taux d’érosion normalisé ainsi que la probabilité de rupture pour (A) σ0 = 0.1 MPa, σ0 = 1 MPa, de σ0 = 10 MPa, et (B) pour des valeurs de m = 1.5, m = 3.0, de m = 5.0. Modèles 3 et 4 dans le Tableau 3.1. Les évolutions du facteur de volume (v/V0) et du facteur de contrainte différentielle (^𝝈𝒅

𝝎𝝈_𝟎)^𝒎, en fonction de la vitesse de glissement et de la taille relative

de ~354 m an-1 et une taille relative de cavité de ~0.95. Ainsi, le facteur de volume pondère l’érosion en attribuant une probabilité plus élevée lorsque la surface de contact (1 – S/Lc) glace-roche est maximisée. Ceci reflète la probabilité plus importante que le volume de roche considéré, contienne de grandes fractures présentant de fait une résistance à l’arrachement plus faible. Ce rôle du facteur de volume est retrouvé pour des valeurs de m plus grande, bien que pour des valeurs élevées (m = 5) cet effet s’estompe (Figure 3.3B).

Ainsi, la loi d’arrachement proposée par Iverson (2012) relie ce mécanisme d’érosion aux propriétés du substrat rocheux sous-glaciaire, via (1) un facteur de volume qui relie la probabilité de rupture d’une masse de roche soumise à des contraintes à la notion « un volume de roche plus grand a plus de chance de contenir de larges fractures diminuant ainsi sa résistance à l’arrachement », et (2) un facteur de contrainte différentielle qui relie cette probabilité à la notion de résistance moyenne du substrat aux contraintes de traction et à la densité de niveaux de faiblesses présents (i.e. foliation, taille de grains). Ces deux facteurs agissent de façon opposée, le facteur de volume diminuant la probabilité de rupture à mesure que la taille des cavités sous-glaciaire augmente, et le facteur de contrainte différentielle participe à l’augmenter, car les contraintes exercées sur le substrat augmentent lorsque la surface de contact glace-roche diminue.