Modèles empiriques, mathématiques ou physiques

-- P Pr ro op pr ri ié ét té és s h hy yd dr ra au ul li iq qu ue es s d de es s m mi il li ie eu ux x n no on n s sa at tu ur ré és s - - - - 5 57 7 - -

- la comparaison de différents matériaux géologiques sur base de leurs propriétés non saturées se fait beaucoup plus simplement et plus naturellement, sur base d’une comparaison des paramètres utilisés pour chacun d’eux ;

- il est souvent possible de trouver un sens physique aux paramètres utilisés dans la relation mathématique, donc de justifier a posteriori la relation utilisée ;

- ces relations sont plus facilement utilisables dans des modèles mathématiques ; - l’application des techniques « d’upscaling » est facilitée par l’usage de formules mathématiques.

Pour ces diverses raisons, nous nous attacherons dans la suite à décrire les relations mathématiques utilisées pour représenter les relations non saturées.

Pour être utiles, ces relations doivent idéalement présenter une série de qualités plus ou moins essentielles (MUALEM, 1992) :

- une forme simple permettant une utilisation aisée dans des modèles mathématiques, ainsi qu’une comparaison éventuelle entre des matériaux de natures diverses;

- une généralité suffisante pour pouvoir représenter, avec suffisamment de souplesse, une grande gamme de matériaux et une plage étendue de potentiels matriciels ;

- une précision suffisante afin que leur utilisation en lieu et place des données brutes n’introduise pas trop d’erreurs dans l’estimation ; dans le même ordre d’idées, elles doivent idéalement présenter une forme mathématique continue et dérivable pour une utilisation simple dans les modèles mathématiques.

I.3.3.2 Modèles empiriques, mathématiques ou physiques

Une autre façon de classer les expressions mathématiques utilisées consiste à se baser sur la méthode générale employée pour dériver le modèle établi (MUALEM, 1976, 1992). Cette classification est conventionnelle puisqu’il est souvent difficile d’établir clairement les limites entre les différentes catégories de modèles.

La plupart des expressions utilisées sont purement empiriques. On recherche une expression mathématique permettant de représenter le plus aisément et précisément possible une série de courbes de rétention ou de courbes de conductivité obtenues expérimentalement. C’est le cas pour la plupart des modèles visant à représenter la courbe caractéristique d’humidité h

( ) θ

, un peu moins souvent pour la courbe de conductivité ^k_r

( ) ^θ

, fréquemment déduite de la courbe caractéristique d’humidité. Parmi les modèles développés pour la courbe caractéristique d’humidité, les plus connus

sont les modèles de GARDNER (1958), de BROOKS & COREY (1964) et de VAN GENUCHTEN (1980).

D’autres modèles ont été développés récemment (ROSSI & NIMMO, 1994, KOSUGI, 1994, MOREL -SEYTOUX &NIMMO, 1999).

Fréquemment, il est d’abord fait appel à un modèle de distribution des pores dans le milieu.

De ce modèle sont déduites soit la courbe caractéristique d’humidité du sol, soit la courbe de conductivité, soit les deux. Ces modèles de distribution de pores se basent sur des hypothèses concernant la géométrie, l’organisation et les interactions des pores. Ils peuvent être classés selon le degré de complexité considéré dans ces interactions. Les plus simples (ex : D’HOLLANDER, 1979) reposent sur la loi de Jurin qui établit un lien direct entre le rayon du pore (

r

_c) et le potentiel capillaire (

h

_c) régnant en son sein. Il s’agit de modèles de tubes capillaires (capillary bundle models) qui supposent que le milieu souterrain est constitué d’une série de « tubes poreux » de diamètres différents, se vidangeant au fur et à mesure que le potentiel de succion appliqué est accru. Ces modèles fonctionnent relativement bien pour des matériaux présentant une granulométrie (donc une distribution de pores) assez uniforme, par exemple des sols sableux bien classés. Ils fonctionnent beaucoup moins bien pour des milieux présentant une granulométrie non uniforme ou comportant une part importante de particules fines, par exemple des terrains fortement argileux.

Des modèles de distribution de pores plus élaborés ont été proposés par BURDINE (1953) et MUALEM (1976). En posant des hypothèses sur la distribution, la géométrie et les dimensions des pores, ces auteurs ont établi des expressions intégrales permettant de déduire la courbe de conductivité hydraulique de la courbe de rétention quand l’expression mathématique de cette dernière est établie. VAN GENUCHTEN (1980) a utilisé ces deux modèles poreux pour déduire la courbe de conductivité hydraulique k_r

( ) θ

de la courbe de rétention h

( ) θ

exprimée sous une forme relativement simple et souple.

Dans ces relations, Θ est appelée la teneur en eau réduite ;

α

, m et n sont des paramètres empiriques permettant d’ajuster le modèle aux courbes expérimentales. Le paramètre

α

est relié à l’inverse du potentiel d’entrée d’air

ψ

_a (succion à partir de laquelle le milieu commence effectivement à se désaturer). Le paramètre n est appelé indice de pores puisqu’il semble fortement corrélé au degré de classement des pores constituant l’espace poreux du matériau investigué. Généralement, le nombre de paramètres du modèle est réduit en imposant une relation entre les paramètres m et n.

Courbe de conductivité hydraulique relative basée sur le modèle de Mualem

( )

^1/2

[ ¹ ( ¹

^1/m

)

^m

]

²

Courbe de conductivité hydraulique relative basée sur le modèle de Burdine

( ) [ (

^m

)

^m

]

Il faut noter que des expressions analytiques de la courbe de conductivité k_r

( ) θ

ne peuvent être déduites de la relation empirique

^θ ( )

^h de ^VAN G^ENUCHTEN (1980) que dans le cas où la relation suivante est vérifiée : k =m−1+1/n, avec k qui est un nombre entier.

Ces relations de van Genuchten et des variantes ultérieures (VAN GENUCHTEN & NIELSEN, 1985, PANICONI et al., 1991) sont probablement les plus utilisées pour représenter les propriétés hydrauliques des terrains non saturés.

En combinant une expression empirique reliant le potentiel de succion et la teneur en eau au modèle proposé par CHILDS & COLLIS-GEORGE (1950), CAMPBELL (1974) propose un modèle relativement simple utilisant un seul et même paramètre b pour décrire les deux relations

θ ( )

h et

( ) θ

kr . Ce modèle ne comporte qu’un paramètre et est entièrement déterminé par la connaissance d’un point de la relation

θ ( )

h et, pour la relation entre la conductivité hydraulique et la teneur en eau, par la connaissance supplémentaire de la conductivité à saturation

K

_s.

Modèle de CAMPBELL (1974)

Courbe de rétention

(

_a

)

^b

S

ψ ψ

θ

θ

= (1.11)

Courbe de conductivité hydraulique

( )

^{2 +3}

=K_{S a} ^b

K

ψ ψ

(1.12)

Dans ces relations,

ψ = − h

est la succion régnant au sein du matériau investigué (L),

ψ

_a est le potentiel d’entrée d’air (L),

θ

_s est la teneur en eau à saturation (-), best une constante empirique déterminée expérimentalement et

K

_s est la conductivité hydraulique à saturation (LT^-1) ;

Ces différents modèles souffrent souvent d’un manque de généralité. Ils ne sont applicables que pour une certaine géométrie ou composition de milieu poreux et ils s’avèrent très vite peu précis quand le milieu investigué sort de leur champ d’application. Partant d’un modèle général de distribution de pores et de la loi de Jurin, F^REDLUNG &X^ING (1994) établissent une relation générale pour la courbe de rétention. En envisageant différentes formulations mathématiques pour représenter la distribution des pores au sein du milieu, ils montrent que les relations établies précédemment par différents auteurs pour la loi

θ ( )

h présentent un lien univoque avec une distribution de pores bien déterminée. De cette manière, ils expliquent pourquoi les relations existantes n’ont pas un caractère suffisamment général pour représenter n’importe quel type de milieu poreux, puisqu’elles ne sont parfaitement adaptées qu’à des milieux poreux caractérisés par la distribution de pores correspondante.

Par exemple, la relation de BROOKS &COREY (1964) n’est théoriquement applicable qu’à des milieux présentant une distribution de pores D

( )

r respectant la relation générale suivante :

( ) r A r

m

D =

(1.13)

où,

-

A

et m sont des paramètres d’ajustement de la distribution de pores ; -

r

est le rayon de pore (L).

Enfin, partant du constat que la relation de VAN GENUCHTEN (1980) présente l’inconvénient de tendre rapidement vers une succion nulle lorsque la succion appliquée augmente et que cette relation ne permet pas de représenter des courbes de rétention caractérisées par une dissymétrie importante des plages de teneurs en eau proches respectivement de

θ

_r et de

θ

_s, FREDLUNG & XING (1994)

Dans cette relation, C

( ) ψ

est une fonction introduite afin de forcer l’annulation de la teneur en eau (

θ

_r) pour une succion de 10⁶ kPa . Les paramètres empiriques a, n, m et

θ

_s permettent l’ajustement d’une courbe de rétention théorique sur les courbes expérimentales et e=2.71...

Cette relation permet un ajustement indépendant des parties de la courbe de rétention respectivement proches de la teneur en eau à saturation (

θ

_s) et de la teneur en eau résiduelle (

θ

_r). La formulation mathématique de la courbe de conductivité hydraulique qui en est déduite (FREDLUNG et al., 1994) n’a malheureusement pas une forme aisément utilisable (dérivation analytique impossible et programmation assez compliquée).

Plus récemment, des approches basées sur la théorie des fractales (T^YLER & W^HEATCRAFT, 1989, 1990, B^RAKENSIEK et al., 1992, R^AWLS et al., 1993, P^ERFECT et al., 1996 ) ou sur des réseaux neuronaux ont été proposées. Ces approches, censées reproduire la complexité et la tortuosité de la porosité, semblent fournir des résultats intéressants mais sont assez lourdes à mettre en œuvre.

D’autres relations

θ ( )

h et K

( ) θ

ou K

( )

h utilisées dans le cadre de cette recherche et programmées dans le code éléments finis SUFT3D seront présentées dans les développements ultérieurs.

Dans le document Laboratoires de Géologie de l’Ingénieur, d’Hydrogéologie et de Prospection géophysique (Page 63-67)