TEMPORAIRE OU DÉFINITIF DES SOLUTÉS EN MILIEU SOUTERRAIN
II.2 Migration des solutés en milieu souterrain
II.2.4 Equation de migration d’une substance miscible dans le milieu souterrain souterrain
-- M Mi ig gr ra at ti io on n d de es s s so ol lu ut té és s e en n m mi il li ie eu u s so ou ut te er rr ra ai in n - - - - 1 12 21 1 - -
hétérogénéités caractérisées par des échelles spatiales différentes sont grandes, donc plus le soluté est affecté par un étalement se traduisant par une macrodispersion élevée.
La conséquence la plus immédiate est que la macrodispersion n’est pas une propriété intrinsèque du milieu souterrain. Elle ne dépend pas de l’endroit où le soluté se trouve dans le milieu, mais plutôt du cheminement qu’il y emprunte. Attribuer des valeurs élevées de dispersion dans un modèle mathématique doit donc être fait avec beaucoup de prudence et en sachant pertinemment qu’il ne s’agit que d’une vision tronquée de la réalité. DASSARGUES et al. (1996) discutent du problème de l’utilisation simultanée d’un champ de perméabilité hétérogène et de dispersivités élevées dans un même domaine, pour y expliquer le comportement d’un traceur.
Tous ces problèmes font actuellement l’objet de nombreuses recherches de pointe dont les principales directions sont : (1) la caractérisation et la génération de champs hétérogènes des propriétés du milieu souterrain, principalement du champ de perméabilités, à la base de tous les autres processus d’écoulement et de transport (DESBARATS & BACHU, 1994, JUSSEL et al., 1994a, b, ABABOU et al., 1989), (2) les méthodes d’upscaling ou de moyennisation des paramètres d’écoulement/transport (KING, 1989, NEUMANN, 1990, DURLOFSKY, 1991, 1992, DESBARATS, 1990a, 1992a, 1992b, 1994, SÁNCHEZ-VILA et al., 1995, RENARD & DE MARSILY, 1997, GELHAR &AXNESS, 1983, DESBARATS, 1990b, DAGAN, 1994).
II.2.4 Equation de migration d’une substance miscible dans le milieu souterrain
Avant d’aborder les mécanismes de piégeage des solutés, il est utile de présenter la formulation mathématique générale de l'équation de migration d’une substance miscible dans le milieu souterrain sans, pour le moment, considérer les différents mécanismes de piégeage pouvant exister.
Le terme d’équation de transport sera réservé à la forme finale dans laquelle les contributions des effets de retard et de piégeage auront été intégrés.
II.2.4.1 Equations de mouvement et de bilan
Comme pour la modélisation des écoulements, le calcul du transport d’une substance miscible dans le milieu souterrain nécessite l’établissement d’une équation de mouvement pour chaque phase considérée et une équation de bilan pour chaque constituant au sein de chaque phase. Dans un premier temps, si on ne considère que la mobilité du soluté avec l’eau, sans aucun échange de soluté entre phases, seule la phase aqueuse nous intéresse, les deux constituants à suivre étant l’eau et le soluté dissous en son sein.
L’équation de mouvement appliquée à la « phase eau » a déjà été mentionnée au chapitre I.4 : c’est la relation de Darcy (1.15). On a également présenté l’équation de conservation de la masse d’eau en tant que constituant : c’est la relation généralisée de Richards (1.16). Il reste donc à établir l’équation de conservation du soluté présent dans l’eau. Celle-ci s’obtient en établissant le bilan de masse sur l’élément de volume représentatif considéré.
II.2.4.2 Equation de conservation de la masse de soluté dans le milieu souterrain
Cette équation exprime classiquement que la variation de masse en soluté dans le volume de référence considéré (la porosité efficace
θ
m) est égale à la somme des flux échangés entre ce volume de référence et son environnement.L’équation de base est :
Les différents termes qui composent cette équation ont été détaillés précédemment, à l’exception des deux derniers du membre de droite. Le terme
q C ′
représente soit une source de soluté (à la concentrationC ′ = C
in) associée à l’injection d’un débit d’eauq > 0
, soit un terme puits (la concentration étant alors celle qui règne dans le domaine à l’emplacement du terme puits :C
C′= ) associé à l’extraction d’un débit d’eau
q < 0
. Le dernier terme de l’équation (2.9) est une expression générale, exprimant les flux massiques d’échange de soluté entre l’eau mobile (m) et les autres phasesϕ
k pouvant exister (solide, eau immobile,…), sur lesquels nous reviendrons ultérieurement.II.2.4.3 Forme conservative et forme advective de l’équation de transport
L’équation (2.9) constitue la forme conservative de l’équation de transport. Dans la version originale du code SUFT3D, une forme légèrement modifiée de cette équation était utilisée et a été conservée.
La modification consiste à développer le terme advectif et, en faisant usage de l’équation de bilan en eau, de se défaire du terme exprimant directement la divergence de la vitesse. La forme obtenue est appelée forme advective. Elle présente certains avantages, notamment pour la modélisation de réactions chimiques (HUYAKORN et al., 1985) ou pour l’utilisation de méthodes lagrangiennes de résolution du transport (YEH, 1990).
La forme advective de l’équation de transport s’obtient comme suit :
Dans cette équation, la divergence de la vitesse peut être reformulée en utilisant l’équation d’écoulement :
le coefficient d’emmagasinement généralisé.
( ) ( ) ∑
Si l’on développe le terme de dérivée temporelle, l’équation (2.12) peut être réécrite :
( ) ( ) ∑
On verra par la suite que le calcul du champ de vitesses d’écoulement doit être réalisé avec prudence. On verra que le terme
t
doit également être traité avec prudence, selon que la porosité efficace est considérée comme une constante ou comme dépendant du degré de saturation en eau du milieu.
L’équation (2.13) est la forme de base utilisée dans la suite des développements, en y incorporant les contributions des processus de piégeage et de retard du soluté.