SUFT3D CATTI SUFT3D CATTI SUFT3D CATTI
II.6.5 Forme advective, termes sources et conservation de la masse de soluté soluté
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Le principe général de calcul du partitionnement est le suivant :
1. On résout le problème d’écoulement par la méthode des éléments finis entre les temps
t
n ett
n+1.2. A la fin de cette résolution, on calcule pour chaque nœud la variation temporelle de la teneur en eau
∆ θ
n+1= θ
n+1− θ
n.3. En fonction de cette variation et du critère de partitionnement, on évalue les variations respectives des teneurs en eau mobile et immobile
∆ θ
mn+1 et∆ θ
imn+1, les taux de variation sur le pas de temps étant respectivement : txn,+m1 =∆θ
mn+1 ∆t et txn,+im1 =∆θ
imn+1 ∆t. Ces taux sont stockés dans un tableau pour servir ultérieurement lors de la résolution du transport.4. On calcule le transport entre les temps
t
n ett
n+1. Sur ce pas de temps, l’équation de transfert tient compte de la variation de volume de la phase immobile via les équations (2.41) et (2.46) (v. chapitre II.5).Dans le code SUFT3D, une sous routine évalue le partitionnement de la porosité à la fin de chaque pas de temps d’écoulement.
II.6.5 Forme advective, termes sources et conservation de la masse de soluté
II.6.5.1 Position du problème
On a mentionné au chapitre II.2 que la forme advective de l’équation de transport est utilisée dans le code SUFT3D. Sous une forme un peu simplifiée, cette équation peut s’écrire :
( ) ( ) ∑
L’usage de la forme advective fait donc appel à un terme correctif− qC
agissant au(x) nœud(s) où un terme source/puits est imposé. Dans le cas d’un pompage, C′=C et la correction est nulle. S’il s’agit d’une injection, C′est égal à la concentration dans le fluide injecté (C
inj) et la différenceC
inj− C
introduit une dégradation équivalente (
q ↔ λ
) proportionnelle à la concentration C au point d’injection.Cette dégradation purement numérique agit en compétition avec le flux d’entraînement du soluté dans l’aquifère. Si ce flux est mal évalué, le déséquilibre qui apparaît entre les deux composantes (entraînement et dégradation), peut être à l’origine d’importants problèmes de conservation de la masse de soluté. La précision du schéma numérique est donc fortement tributaire de l’évaluation des flux de Darcy au voisinage du point d’injection.
En fait, en remplaçant le terme de divergence de la vitesse (∇⋅vD ) par son expression donnée par la relation de Richards (équation 2.11), on introduit dans l’équation de transport la
« meilleure évaluation possible » de ce terme puisqu’on le remplace par son équivalent mathématique parfait.
t F h q v
D∂
− ∂
=
⋅
∇
(2.11)II.6.5.2 Evaluation du champ des flux de Darcy
Si le champ des flux de Darcy est dérivé directement (élément par élément) du champ de pressions h, il présente une discontinuité au passage d’un élément à l’autre et au voisinage des termes source/puits. Le champ de pression variant linéairement (
= ∑
j j j
N h
h
) sur le domaine, le champ de vitesse qui en est dérivé est constant sur chaque élément.Pour une série d’applications dérivées du calcul de l’écoulement, il est intéressant de disposer d’un champ continu de vitesses. C’est notamment le cas si l’on souhaite employer des méthodes lagrangiennes de transport ou pour le tracé de lignes de courant. Plusieurs méthodes proposées dans la littérature permettent d’obtenir un tel champ de vitesses. YEH (1981) préconise le calcul du champ de vitesses par l’application directe de la méthode des éléments finis à l’équation de Darcy. CORDES &
KINZELBACH (1992) proposent une méthode de post-processing visant à « corriger » le champ de vitesse pour le rendre continu d’un élément à l’autre. MOSE et al. (1994) proposent une résolution combinée du champ de pressions et des flux de Darcy par la méthode des éléments finis mixtes hybrides. DURLOFSKY (1994) compare les champs de vitesses calculés à partir de la méthode des éléments finis avec volume de contrôle et à partir de la méthode des éléments finis mixtes. ZHANG et al. (1994) proposent eux une méthode d’interpolation cubique pour l’obtention d’un champ continu de vitesses.
D’un autre côté, l’emploi d’un champ de flux continu avec la forme advective de l’équation de transport pose un problème délicat pour traiter les fonctions Dirac que sont les injections nodales.
Toute injection dans un champ d’écoulement produit une discontinuité locale de flux. Ceci est très schématiquement illustré à la figure II.6.7, dans le cas unidimensionnel. Le flux q2 à l’aval du nœud
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d’un champ continu fait que le flux calculé au point d’injection est une « moyenne » des flux voisins ( qnod ≈
(
q1 +q2)
2). En réalité, le flux d’entraînement du traceur correspond plutôt au flux aval q2 qu’au flux moyenq
nod. Commeq
nod< q
2, le traceur n’est pas évacué assez vite du point d’injection et le terme correctif de dégradation prend trop d’importance. Cela conduit donc à une dégradation« artificielle », donc à une mauvaise conservation de la masse de traceur injecté.
Figure II.6.7. Discontinuité des flux en présence d’un terme source (cas unidimensionnel)
II.6.5.3 Correction apportée dans le code SUFT3D
Dans sa version originale, lorsque la discrétisation éléments finis faisait intervenir le flux de Darcy (notamment pour la composante advective), l’évaluation numérique des intégrales correspondantes faisait appel à l’évaluation aux points d’intégration des composantes de flux à partir des valeurs calculées précédemment aux nœuds de l’élément :
( ) ∑ ( ) ( )
=
=
nnodeJ
g J D g J g
D
k N k v k
v
1
, (2.67)
k
greprésentant un point d’intégration dans l’élément et nnode étant le nombre de nœuds de l’élément.Le changement a consisté à remplacer les composantes de flux par leurs équivalents calculés à l’aide de la loi de Darcy, évaluée directement aux points d’intégration :
( ) ( ) ( )
∇ + ∇
⋅
−
= K k h k z
k
v
D g g gρ ρ
0(2.68)
Ce changement a permis d’améliorer de manière importante la conservation de masse de soluté en présence de termes sources. La résolution éléments finis fournissant le champ continu des flux aux nœuds du maillage a toutefois été conservée pour les tâches de visualisation et pour quelques opérations pour lesquelles ce champ est requis (voir partie III).