Formulation numérique de l’équation de Richards

( ) ( ) ,

( x t N x W t

W

_I

=

_I^{x t} (1.20)

Les fonctions de pondération spatiale

N

_I^x

( x )

et temporelle

W

^t

( ) t

sont découplées. Les fonctions de pondération spatiale sont prises égales aux fonctions d’interpolation utilisées pour approximer le champ u. Les fonctions de pondération temporelles introduisent la discrétisation temporelle suivant un schéma différences finies.

Après introduction de la discrétisation temporelle, le système matriciel obtenu est écrit de manière à grouper d’un côté les inconnues dans un vecteur et leurs coefficients multiplicateurs dans une matrice de résolution, de l’autre côté le vecteur contenant les termes indépendants connus. Le système matriciel est alors résolu par une méthode d’inversion de la matrice de résolution, généralement basée sur un processus itératif. Cela fournit les N valeurs nodales du champ u, donc la forme approchée (1.17) du champ u.

I.5.3 Application de la méthode des éléments finis à la résolution de l’équation de Richards

I.5.3.1 Formulation numérique de l’équation de Richards

Bien que de nombreux travaux aient été consacrés à ce problème, la résolution numérique de l’équation de Richards pose toujours d’importants problèmes. Une série de contraintes pratiques doivent être considérées dans le choix des schémas numériques envisagés, surtout dans le cas qui nous intéresse :

- il s’agit de développer des modèles mathématiques pour des domaines relativement étendus (ex: zone d’appel d’un captage) et sur des périodes plus ou moins longues (allant de la durée d’un essai de traçage réalisé en milieu saturé à une étude hydrogéologique pluri-saisonnière), ce qui requiert de limiter autant que possible le nombre d’inconnues considérées et le temps de calcul nécessaire. Il est nécessaire de travailler avec des maillages peu raffinés et, éventuellement, des pas de temps assez longs ;

-- R Ré és so ol lu ut ti io on n n nu um mé ér ri iq qu ue e d de es s é éq qu ua at ti io on ns s d d’ ’é éc co ou ul le em me en nt t - - - - 7 79 9 - -

- souhaitant réaliser des simulations quantitatives de transport de polluant, il faut avant même de s’intéresser au problème de transport, s’assurer d’une bonne conservation de la masse d’eau dans le domaine étudié ;

- les relations caractéristiques

θ ( )

h et k_r

( ) θ

confèrent à l’équation de Richards un caractère fortement non linéaire qui doit être traité avec soin si l’on souhaite obtenir un schéma numérique qui converge de manière robuste et rapide.

Le respect de ces contraintes pratiques est tributaire d’une série de choix dans l’établissement du schéma numérique de résolution du problème envisagé. Il faut décider quelle forme de l’équation de Richards (équations 1.16a à c) on va utiliser. Dans la partie saturée de l’aquifère, la teneur en eau étant constante (valeur à saturation), ses dérivées spatiale et temporelle sont nulles. Les formulations en

θ

et mixte

( ) θ

,h ne sont donc pas directement adaptées à la représentation des écoulements dans de tels milieux. Nous verrons toutefois qu’il est possible d’outrepasser cette difficulté. D’autre part, le terme de diffusivité ^D

( ) ^θ

apparaissant dans la formulation en

θ

(équation 1.16c) peut présenter une discontinuité assez forte au passage saturé - non saturé. Cela limite l’usage de la formulation en

θ

à l’étude des milieux complètement désaturés. Pour le reste, les trois formes sont mathématiquement tout à fait équivalentes.

De nombreux auteurs (ALLEN &MURPHY, 1986, MILLY, 1988, CELIA et al., 1990, ŠIMUNEK et al., 1995, LEHMANN, 1996, UNGER et al., 1996) font remarquer que l’évaluation du terme d’emmagasinement (dérivée temporelle) de l’équation de Richards est cruciale pour obtenir un schéma numérique conservatif. Le caractère fortement non linéaire de ce terme est la source principale des problèmes de conservation de la masse d’eau.

Pour évaluer le terme d’emmagasinement, de nombreuses méthodes existent, basées soit sur une évaluation directe de généralisée du coefficient d’emmagasinement dans le milieu poreux. H^UYAKORN et al. (1984) utilisent la formulation en h et proposent pour l’approximation numérique du coefficient d’emmagasinement généralisé plusieurs méthodes « de la corde » (chord slope methods) qui consistent à évaluer la dérivée par une différence finie soit entre les valeurs relatives à deux niveaux successifs de pas de temps, soit entre deux itérations non linéaires successives. D’autres auteurs (KALUARACHCHI & PARKER, 1987, PANICONI &PUTTI, 1994,…) utilisent la formulation en h en évaluant analytiquement le coefficient d’emmagasinement généralisé C

( )

h .

ABRIOLA &RATHFELDER (1993) et RATHFELDER &ABRIOLA (1994) utilisent l’analogie entre les écoulements en milieu non saturé et les écoulements multiphasiques pour proposer à leur tour des schémas numériques conservatifs appliqués à la formulation en h. Ils partent du constat que les

problèmes de conservation de masse proviennent du fait que les deux formes employées pour exprimer le terme de stockage (dérivée temporelle de l’équation de Richards) sont mathématiquement équivalentes mais que leurs formes discrétisées ne le sont pas. Ils cherchent alors des schémas numériques qui garantissent l’égalité des deux formalismes sous leur forme discrétisée et montrent dans ce cas que la formulation en h peut fournir des résultats très semblables à la formulation mixte, au prix parfois d’un travail de programmation plus lourd.

Dans ce travail, le schéma de discrétisation de la forme mixte de l’équation de Richards proposé par CELIA et al. (1990) a été utilisé. Ce schéma de résolution conserve explicitement la teneur en eau dans le terme de variation temporelle durant tout le processus de discrétisation de l’équation de Richards par la méthode des éléments finis. Ce faisant, on obtient un système comportant 2N inconnues (N valeurs de h et N valeurs de

θ

), N étant le nombre de nœuds du maillage éléments finis. Pour se ramener à un système de N inconnues (les N valeurs du potentiel de pression h aux nœuds du maillage), les termes dépendant explicitement de la teneur en eau

θ

sont modifiés lors de l’assemblage de la matrice globale de résolution, en introduisant un développement en série limité au premier ordre de la teneur en eau en fonction du potentiel de pression:

)

n étant l’indice du pas de temps de calcul et k l’indice de l’itération de la boucle non linéaire.

Il faut remarquer que la forme originale proposée par CELIA et al. (1990) ne permet pas de calculer correctement le comportement d’un milieu qui se sature complètement en eau. En effet, la linéarisation du problème, découlant de la saturation complète du milieu, aboutit à la résolution d’une itération temporelle par itération non linéaire. Le formalisme a donc été adapté de manière à permettre la modélisation d’un milieu complètement saturé en eau sans autre modification du code SUFT3D. L’adaptation proposée consiste à conserver la forme en h pour les nœuds situés dans la zone saturée dans tout le processus de discrétisation de l’équation de Richard et d’utiliser la forme mixte

( )

h,

θ

pour les nœuds situés dans la zone non saturée (fig. I.5.1).

Le schéma éléments finis ainsi construit assure une excellente conservation de la masse en eau ainsi qu’une stabilité numérique meilleure, quelque soit le schéma de linéarisation utilisé (voir par après).

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Figure I.5.1. Formulations de l’équation de Richards utilisées en fonction du degré de saturation en eau du milieu.

I.5.3.1.1 Illustration

L’exemple d’illustration est basé sur des données publiées par HAVERKAMP et al. (1977) et a été utilisé par CELIA et al. (1990) afin de comparer les formulations en h et mixte de l’équation de Richards discrétisée avec la méthode des éléments finis. Ce test a également été utilisé pour valider les résultats des calculs d’écoulements transitoires avec le code SUFT3D.

Le problème consiste en l’infiltration d’eau dans une colonne verticale de sol de 40 cm de longueur, où règne initialement une pression uniforme de -61.5 cm. Les relations décrivant les propriétés du sol sont les suivantes:

θ α θ θ

α

_β

θ

( ) ( )

h h

s r

= −

r

+ +

K h A

A h ( )=

+ ^γ

avec α = 1.611×10⁶,

θ

_s = 0.287,

θ

_r = 0.075,

β

= 3.96,

K

_s = 0.00944 cm.s^-1, A = 1.175×10⁶, γ = 4.74.

Les conditions initiales sont h

( )

z,0 = -61.5 cm, les conditions limites sont h

(

40,t

)

= -20.7 cm et h

( )

0,t = -61.5 cm. La colonne est constituée de 40 éléments de 1 cm. La figure I.5.2 compare les résultats obtenus à différents pas de temps avec la formulation en h et avec la formulation mixte. Le front de saturation calculé avec la formulation en h est toujours en retard sur le front de saturation

calculé avec la formulation mixte. La formulation mixte assurant une bonne conservation de la masse d’eau, le front de saturation est bien positionné. Par contre, la formulation en h, qui ne garantit pas une conservation optimale de la masse d’eau, « perd numériquement » une partie de celle-ci, ce qui explique le retard du front d’infiltration prédit dans ce cas.

Figure I.5.2. Comparaison des formulations en h et mixte en terme de conservation de la masse d’eau

Dans le document Laboratoires de Géologie de l’Ingénieur, d’Hydrogéologie et de Prospection géophysique (Page 84-88)