SOUTERRAIN VARIABLEMENT SATURÉ EN EAU
I. 5.3.5.1 Algorithme général de gestion des pas de temps
I.6 Conditions aux limites relatives aux écoulements
-- P Ph hé én no om mé én no ol lo og gi ie e e et t m mo od dé él li is sa at ti io on n d de es s é éc co ou ul le em me en nt ts s - - - - 9 97 7 - -
I.6 Conditions aux limites relatives aux écoulements
Dans tout travail de modélisation, la première étape consiste à définir de façon précise la géométrie et l’extension du domaine investigué. Ce domaine n’est pas infini et n’est généralement pas isolé de son environnement, avec lequel il a de nombreuses interactions et échanges. Quand on modélise les écoulements dans le milieu souterrain, les échanges consistent en des transferts d’eau entre l’aquifère ou de façon plus générale le milieu souterrain dans son ensemble (puisque l’on modélise explicitement la zone non saturée), et son environnement. Ces échanges sont considérés via la définition de conditions aux limites, lesquelles sont exprimées sous la forme d’équations mathématiques généralement simplifiées et censées représenter au mieux les différents processus d’échanges.
L’objet de ce chapitre est de résumer les principales conditions limites disponibles dans le code SUFT3D. On ne s’attardera pas beaucoup sur les détails de programmation, ceux-ci n’ayant pas fait l’objet de ce travail de recherche.
I.6.1 Condition de Dirichlet ou de 1
ertype
Définir une condition limite de 1er type consiste à spécifier sur une partie (
B
d) de la frontière la valeur du potentiel de pression h (ou du potentiel totalH
). Cette valeur est soit fixe, soit variable au cours du temps mais elle est indépendante de l’évolution temporelle des flux et potentiels à l’intérieur du modèle. La définition d’une condition de ce type amène le code de calcul à considérer un flux d’eau passant au travers de cette portion Bd de la frontière, ce flux représentant l’apport ou l’export d’eau nécessaire au maintien du potentiel à son niveau imposé.Cette condition est typiquement celle d’un contact nappe – rivière (lorsque la conductivité hydraulique de l’interface est relativement élevée), le potentiel total imposé étant égal à la cote de la surface libre de la rivière. Ce type de condition est également utilisé lorsque les limites de la partie modélisée d’un aquifère ne coïncident pas avec les limites du bassin hydrogéologique de l’aquifère pris dans son ensemble. C’est par exemple le cas lors de l’élaboration de modèles « locaux » visant à interpréter des essais de terrain (essais de pompage ou de traçage). Dans ce cas, les frontières doivent être reportées au-delà du rayon d’influence des essais réalisés, de manière à ne pas influencer la solution et les valeurs définies en fonction de la piézométrie régionale. Les conditions de Dirichlet se justifient alors par la nécessité de considérer implicitement les échanges entre la zone étudiée et l’aquifère dans son ensemble. Ces conditions doivent reproduire de manière la plus précise possible la piézométrie régionale.
Mathématiquement, la condition de Dirichlet s’exprime :
(
x y z t)
H(
x y z t)
H , , , = D , , , sur la portion
B
d de la frontière (1.43)I.6.2 Condition de Neumann ou de 2
èmetype
La condition de 2ème type consiste à imposer sur une portion
B
n de la frontière le gradient du potentiel de pression normal à cette frontière, donc un flux au travers de cette frontière.Conceptuellement, ce type de condition limite n’a pas un intérêt très grand. On lui préfère généralement la condition de Cauchy (voir la suite), physiquement plus proche de la réalité des échanges observés.
Mathématiquement, la condition de Neumann s’exprime comme suit :
) , , , ( x y z t n q
K h =
N− ∂
∂
sur la portionB
n de la frontière (1.44)avec n : un vecteur unitaire normal à la frontière, dirigé vers l’extérieur.
I.6.3 Condition de Cauchy ou de 3
èmetype
La condition de Cauchy consiste à imposer sur une portion
B
c de la frontière le gradient de potentiel total normal à cette frontière. Cette condition limite revient à imposer un flux d’eau entrant ou sortant du modèle. Elle est notamment utilisée pour imposer une recharge nette en eau provenant de l’alimentation pluviométrique.Mathématiquement, la condition de Cauchy s’exprime comme suit :
( h z ) q
c( x
b, y
b, z
b) K
n ⋅ ⋅ ∇ + ∇ =
−
sur la portionB
c de la frontière (1.45)Lors de l’application de la méthode des éléments finis à l’équation d’écoulement exprimée en termes de potentiels de pression, le théorème de Green est appliqué au terme de flux pour diminuer d’un degré le niveau de dérivation des fonctions d’interpolation (formulation « faible » des éléments finis). Ceci fait naturellement apparaître la condition de Cauchy qui s’y exprime sous la forme du terme d’intégration sur la surface du domaine. Pour cette raison, la condition de Cauchy est souvent qualifiée de condition naturelle.
Cela signifie également que, sur toute portion de la frontière où l’on n’impose aucune condition limite, on considère par défaut une condition de Cauchy avec un flux nul, donc que cette portion de la frontière est imperméable.
I.6.4 Condition de Fourier ou mixte ou de flux dépendant d’un potentiel
Les conditions mixtes expriment que le flux à travers la frontière varie en fonction des changements de hauteur piézométrique à cet endroit. Cette condition frontière permet d’imposer une relation entre le potentiel et le flux sur la frontière.
-- C Co on nd di it ti io on ns s l li im mi it te es s r re el la at ti iv ve es s a au ux x é éc co ou ul le em me en nt ts s - - - - 9 99 9 - -
Mathématiquement, la condition de Fourier s’exprime comme suit : )
I.6.5 Condition limite variable
Les conditions limites variables s’appliquent à l’interface sol-air où se produit l’infiltration ou l’évapotranspiration. Mathématiquement, ces conditions se traduisent :
durant les périodes de recharge :
( )
imposé. En général, h est égal à zéro sauf si l’on tolère l’accumulation d’une hauteur d’eau à la surface du sol (allowed ponding depth).durant les périodes sans recharge :
h h x y z t =
m( , , , )
b b b (1.49)Dans ce cas, la condition exprime que l’évapotranspiration n’agit que dans une gamme de potentiel de pression à l’interface sol-air comprise entre
h
p (v. précédemment) eth
m qui est la valeur minimale de h en deçà de laquelle l’évapotranspiration potentielleq
e ne peut plus s’effectuer (point de flétrissement).I.6.6 Pompages et injections
Les termes source ou puits ponctuels ne sont généralement pas considérés comme des conditions limites mais plutôt comme des sollicitations du milieu souterrain. Vu la grande similitude avec les conditions limites, il serait assez logique de les mentionner à ce stade du travail. Toutefois, la représentation de ces termes, tant au niveau de l’équation d’écoulement que de l’équation de transport, a fait l’objet de développements mathématiques et numériques importants dans le cadre de la présente recherche. Un chapitre leur sera donc spécialement consacré par la suite (partie III).