Modèle M2M des cordes vocales avec recouvrement de pression

Fig. 3.14 – Illustration schématique du modèle à deux masses des cordes vocales, combinée à la description théorique de l’écoulement translaryngé tenant compte de l’influence des bandes ventriculaires, ici illustrée sous l’hypothèse « turb ». Ps3= 0.

Etude dynamique

Le modèle à deux masses utilisé est le modèle symétrique présenté et mis en équation par Ruty[162], 2007. Il correspond à une variation du modèle proposé par Lous & al.[122], 1998. Dans le cadre de cette étude, chacune des masses est soumise à des forces mécaniques et aérodynamiques, couplées entre elles. Les forces mises en jeu sont les forces de rappel élastique liées à la tension des ressorts, les forces de frot-tements visqueux liées à leurs coefficients d’amortissement, ainsi que les forces de pression exercées par l’écoulement d’air translaryngé. Leur formulation théorique, la discrétisation des équations différentielles dérivant du principe fondamental de la dynamique appliquée à chaque masse et leur résolution temporelle pas à pas sont explicitement détaillées dans Ruty[162], 2007. Ce modèle permet de simuler l’évolution de l’ouverture glottique par les prédictions des variations de hauteurs à chacune des masses, hcv1 et hcv2. Une illustration du modèle est représentée sur la figure 3.14.

Modèle mécanique

Les masses sont animées d’un mouvement unidirectionnel suivant l’axe y. Les forces d’impact des cordes vocales sont simulées par un modèle discret de collision paramétré par une ouverture critique, hc (Ruty [162], 2007). Le mouvement des cordes vocales est contrôlé par des paramètres mécaniques de masse (mcv), de raideur (kcv, kccv) et d’amortissement (rcv) (cf. FIG 3.14). Dans toutes les simulations présentées, kccv est choisi arbitrairement égal à 0.5kcv. Le modèle mécanique est donc identique à celui utilisé dans Ruty[162], 2007.

Modèle d’écoulement

Le modèle d’écoulement est estimé suivant les descriptions de fluide parfait en régime stationnaire détaillées dans la section § 3.2.4 Modèle aérodynamique. L’utilisation d’une théorie basée sur un cal-cul de couche limite telle que la méthode de Thwaites est trop coûteuse en temps de calcal-cul pour être implémentée dans un code de simulation temporel du mouvement des cordes vocales. Aussi, les modèles d’écoulements applicables au modèle à deux masses utilisé dans ce travail sont combinées au modèle de

séparation basé sur le critère géométrique de Liljencrants, pour la prédiction des séparations glottiques et ventriculaires. Les pertes de viscosité et le modèle de développement géométrique de jet glottique peuvent être pris en compte de façon optionnelle, suivant les descriptions des paragraphes §3.2.3et §3.2.4. Le modèle aérodynamique quantifie le recouvrement de pression induit par la constriction ventriculaire et diffère en ce point du modèle proposé par Ruty [162], 2007. En effet, si la pression sous-glottique est imposée en entrée de la simulation, la pression en sortie des cordes vocales, communément imposée et approchée par la pression atmosphérique (Vilain [210], 2002, Ruty [162], 2007, Ruty & al. [164], 2007), est remplacée par l’estimation théorique de Ps1, la pression à la séparation glottique. Son estimation est actualisée à chaque itération du vecteur temps de la simulation.

Modèle acoustique

Dans le cadre de cette étude, la propagation acoustique dans les résonateurs couplés à la source glot-tique n’est pas prise en compte dans le schéma de résolution.

Les étapes de la simulation numérique au final sont présentées sur la figure 3.15. Etude statique

L’analyse dynamique du modèle à deux masses permet de suivre les variations temporelles des gran-deurs géométriques (hcv1, hcv2) et aérodynamiques (P2, Φ, dΦ/dt, ∆Pcv, forces de pression) en fonction des paramètres de contrôle du système décrit ci-dessus (P0, mcv, kcv, rcv, kccv, hc, hcv1(t = 0), hcv2(t = 0)). Elle permet ainsi de simuler les modes de vibrations des cordes vocales et d’observer dans le temps la modification en fréquence, phase et amplitude de ces vibrations, en interaction aérodynamique avec une géométrie ventriculaire fixe en aval (hbv, Lventricule). D’autres paramètres sont pertinents pour simuler cette perturbation : les pressions de seuil d’oscillation Pseuils et la fréquence fondamentale de vibration glottique au seuil d’oscillation, f0. La pression d’amorçage des oscillations Ponset représente la pression sous-glottique P0 minimale nécessaire pour déclencher les oscillations des cordes vocales. La pression P0

maximale pour laquelle les oscillations s’éteignent correspond à la pression d’offset de phonation, Pof f set. Les prédictions de Ponsetet f0 peuvent être effectuées grâce à une analyse linéaire de stabilité du mo-dèle mécanique des cordes vocales (Cullen & al.[42], 2000, Lopez Arteaga & al. [119], 2006, Van Hirtum & al.[208], 2007, Ruty & al.[164], 2007). L’analyse de stabilité utilisée dans le cadre de ce travail est mise en équation dans Ruty[162], 2007. Elle a été modifiée pour tenir compte de l’interaction aérodynamique avec la constriction ventriculaire. Nous rappelons le principe de l’analyse afin de préciser la variation apportée au shéma de résolution. Les équations du système sont linéarisées. Chaque grandeur est définie comme la somme d’une valeur moyenne à l’équilibre et d’une valeur fluctuante autour de cette position d’équilibre. Les valeurs propres du système lors de sa fluctuation autour d’une position d’équilibre sont calculées. L’étude de leur signe conduit à celle de la déstabilisation des positions d’équilibre du système, à savoir le démarrage des oscillations. En particulier, un équilibre instable est caractérisé par la présence d’une valeur propre avec une partie réelle positive. Ponset et f0 sont alors déterminés.

La modification majeure apportée à la résolution de Ruty [162], 2007 réside dans la prédiction de la position d’équilibre du système mécanique pour une pression d’alimentation P0 et une géométrie ventriculaire données. Cette prédiction dépend des forces de pression exercées aux parois du modèle à deux masses, elles-mêmes liées à la valeur de la pression dans le ventricule, Ps1. Aussi, l’estimation de Ps1 selon la modélisation théorique proposée dans cette étude pour quantifier le recouvrement de pression induit par les bandes ventriculaires est intégré au calcul des positions d’équilibre du M2M. Cette estimation intervient également dans la linéarisation des équations et la représentation d’état du système. Concrètement, toutes les occurrences de pression supra-glottique, constantes dans Ruty[162], 2007, sont remplacées par une estimation dépendant de la configuration géométrique du larynx et calculée par le modèle d’écoulement décrit section §3.2 Modèle aérodynamique.

Fig. 3.15 – Résolution temporelle pas à pas des équations du modèle à deux masses M2M dynamique considéré dans cette étude. n représente le pas de la discrétisation temporelle. Les étapes en rouges sont ajoutés par rapport au schéma de résolution proposé par Ruty [162], 2007.

En addition par rapport à l’étude dynamique, l’influence du résonateur acoustique de longueur Lventricule séparant les cordes vocales de la constriction ventriculaire est implémentée dans l’analyse linéaire de stabilité. Le couplage acoustique avec la source glottique est supposé avoir un effet significatif lorsque la fréquence fondamentale des cordes vocales approche la fréquence d’un formant (typiquement le premier formant en phonation normale) Rothenberg[156], 1980. Aussi, l’acoustique du résonateur aval est assimilé à un système oscillant du second ordre décrit par des équations différentielles détaillées dans Ruty[162], 2007, suivant une modélisation équivalente à la théorie linéaire du conduit vocal proposée par Flanagan [56], 1972, restreinte à la première résonance acoustique. L’influence du résonateur en amont des cordes vocales (Ltrachee) n’est pas prise en compte dans le cadre de cette étude.