3.2 Modèle aérodynamique de l’interaction entre cordes vocales et bandes ventriculaires
3.2.3 Modèle de développement géométrique de jet : A 2
Trois hypothèses ont été formulées concernant l’expansion géométrique du jet glottique dans le ven-tricule laryngé. Chacune d’elle est illustrée sur la figure 3.10. Ces trois modèles négligent tout effet de confinement du à l’interaction de l’écoulement avec les parois du ventricule (Urbin [205], 1998). Ils sup-posent la dynamique du jet glottique assimilable en première approximation à celle d’un jet libre (i.e non confiné), plan.
Fig. 3.10 – Illustration des hypothèses formulées sur le développement du jet glottique (de gauche à droite) : jet droit uniforme (« unif ») ; jet laminaire (« lam »), avec δ ∼ x2/3; jet turbulent (« turb »), avec δ ∼ x et θ = 4◦, δ étant l’épaisseur du jet (cf. figure 3.11).
Rappelons avant tout quelques propriétés aérodynamiques d’un écoulement de jet libre plan afin de justifier le choix de ces géométries. Un jet libre plan s’écoulant dans un milieu de vitesse différente présente des zones de transition, appellées couches de cisaillement (ou couches de mélange), de part-et-d’autre d’un écoulement central. L’action de la viscosité empêche, en effet, l’existence de discontinuité de vitesse. Les jets libres, les zones de mélange et les couches limites pariétales appartiennent à la même famille d’écoulement et leur analyse peut être effectuée avec les mêmes approximations (couche mince et analyse d’ordre de grandeur de Prandtl).
On distingue communément trois régions dans le développement naturel d’un jet libre, caractérisées par des comportements aérodynamiques différents et illustrées sur la figure 3.11 (Kundu[109], 1990, White
[214], 1991, Cebeci & Cousteix[31], 1999, Schlichting & Gersten[176], 1999) :
Dans cette zone, la vitesse axiale reste constante et égale à la vitesse au point de séparation glot-tique. La fusion des couches de mélange sur l’axe marque la fin du cône potentiel. La longueur du cône potentiel est typiquement de l’ordre de quelques diamètres (entre 3hcv et 6hcv). Elle dépend fortement des conditions initiales géométriques et aérodynamiques (Goldstein [67], 1976, Maurel & al.[131], 2004).
– Une zone transitoire, où les deux couches de cisaillement de l’écoulement sont réunies.
– Plus en aval, on trouve une zone dite pleinement développée caractérisée par un comportement auto-similaire : les profils des vitesses moyennes à différents niveaux du développemment sont dy-namiquement semblables, une fois adimmensionnalisés par les échelles de longueur et de temps locales. Autrement dit, en deux stations d’abscisses différentes, les profils des vitesses moyennes se déduisent l’un de l’autre par simple affinité. Ceci implique en particulier qu’ils ont une allure identique dans la direction transversale y, indépendante de la position axiale x à laquelle on observe le champ de vitesse. L’hypothèse d’un comportement auto-similaire se traduit mathématiquement par :
Ux
Ucx
= f (y
δ), (3.18)
où Ux est la composante de la vitesse moyenne dans la direction du jet, Ucx sa valeur maximale dans l’axe du jet, δ la largeur (ou épaisseur) du jet, et f le profil auto-similaire (cf. figure 3.11). A x fixé, l’épaisseur δ(x) peut être définie par deux fois la distance y de l’axe au point où la vitesse est égale à 50% de la vitesse axiale, si bien que : Ux(x, δ) = 0.50 · Ucx(x, 0) (Blevins[25], 1992, Mi & al. [133], 2007).
Deux des hypothèses proposées (« lam » et « turb ») dérivent des propriétés d’auto-similarité d’un jet libre plan pleinement développé (en régime laminaire et turbulent respectivement).
Jet droit
L’hypothèse de jet droit suppose un jet de section uniforme, sans expansion géométrique au delà du point de séparation glottique. Cette hypothèse est testée en première approximation de l’écoulement translaryngé, compte tenu des faibles dimensions du ventricule.
A2= h2· W2= hs1· W2 (3.19)
Jet « laminaire »
L’hypothèse « lam » suppose un jet « laminaire » plan émergeant dans le fluide environnant au repos. On considère que Re ≫ 1, et l’on se place dans les approximations de couche mince : δ1 ≪ x. Pour des valeurs de L modérées, à l’image de celles observées in-vivo, le jet glottique reste peu développé et présente de forts gradients de vitesse dans la direction transversale y. Il se comporte alors dynamiquement comme une couche de cisaillement libre, satisfaisant les équations de Prandtl. Les effets de bords liés au confinement dans le ventricule sont négligés. Dans ces conditions, le gradient de pression dp
dx est réduit à zéro et le jet se développe à pression uniforme. L’équation 3.13 devient :
∂ux ∂x + ∂uy ∂y = 0 (3.20) ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y = ν ∂2ux ∂2y (3.21) ∂p ∂y = 0 (3.22)
En conséquence, White [214], 1991, Kundu [109], 1990, Cebeci & Cousteix [31], 1999 montrent que la quantité de mouvement selon x se conserve sur une section transversale du jet. Autrement dit, le flux du moment, noté J, sur une section du jet (x = const) est indépendant de x :
J = ρ Z −∞
+∞
u2dy = const (3.23)
Des arguments d’analyse dimensionnelle conduisent à la croissance de la largeur du jet, δ, en x2/3 sous l’action de la diffusion visqueuse et sous l’hypothèse d’un écoulement auto-similaire. White [214], 1991 montre que :
δ ≈ 21.8(x
2µ2
Jρ )
1/3 (3.24)
A2 est prédit conformément à ces propriétés 3.23 et 3.24 :
A2= W2· h2= W2· (hs1+ 21.8((x2− xs1)
2µ2
Jρ )
1/3) (3.25)
Fig. 3.11 – Description schématique du développement naturel du jet glottique dans le ventricule laryngé, sous l’hypothèse d’une dynamique assimilable à celle du jet libre plan (effets de confinement négligés). Illustration des trois zones le constituant, caractérisées par des propriétés aérodynamiques et en particulier des profils de vitesse distincts. Ucx désigne la composante axiale de la vitesse centrale du jet, constante et égale à Us1 dans le cône potentiel. D’après Blevins[25], 1992.
Jet « turbulent »
En régime turbulent pleinement développé, le déplacement des particules se fait de façon irrégulière et des fluctuations aléatoires de vitesse se superposent au mouvement moyen du fluide. La décomposition de Reynolds permet de représenter chaque variable physique par la somme d’une valeur moyenne et d’une fluctuation turbulente (Cousteix [40], 1989). En particulier, la décomposition de la vitesse instantanée s’écrit :
~u(x, y, z, t) = ~u(x, y, z) + ~u′(x, y, z, t) = ~U (x, y, z) + ~u′(x, y, z, t), (3.26) où ~U (x, y, z) représente la vitesse moyenne et ~u′(x, y, z, t) la fluctuation turbulente.
Les équations de Navier-Stokes, qui régissent l’écoulement instantané, couplées à l’équation 3.26, conduisent aux équations de Reynolds, qui régissent l’écoulement moyen. En appliquant l’analyse d’ordre de grandeur de Prandtl, les équations de Reynolds se simplifient et permettent d’établir de façon ana-lytique la dynamique d’un jet plan libre turbulent. L’hypothèse « turb » dérive de la recherche d’une solution auto-similaire de cette dynamique. Elle montre en particulier une largeur du jet δ en croissance linéaire avec x, indépendamment du nombre de Reynolds. Kundu[109], 1990 a démontré expérimentale-ment que l’expansion linéaire se caractérise par une demi-pente de 4◦. Une estimation de A2est proposée suivant ce constat :
A2= W2· (hs1+ 2 · tan 4◦· (x2− xs1)) (3.27)