ET LES CONDITIONS DE GAUSS
1.1.3. Miroir plan
De la même façon, on peut construire facilement l’image d’un objet A B à travers un miroir plan (un miroir de salle de bain par exemple).
Figure 4.4•La cuillère dans un verre d’eau.
;;
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i i
J I
i
A' A'
A A
B' B
;;
;;
Œil de l'observateur
Figure 4.5•Image d’un objet ABà travers un miroir plan.
Choisissons un point objet A et traçons deux rayons particuliers. Le premier rayon AI, perpendiculaire au miroir, se propage selon la normale (figure 4.5). Il est réfléchi dans la direction opposée au rayon incident. Le deuxième rayon, A J, fait un angle d’incidence i par rapport à cette normale. Il se réfléchit à la surface du miroir avec un angle i par rap-port à la normale, égal à l’angle d’incidence. Les prolongements des deux rayons sortants se coupent en A, image de A. On peut réaliser la même construction avec le point B qui donne une image B. On obtient finalement le segment AB, image du segment A B. Par construction, le plan du miroir est la médiatrice des segments A A et B B (le tri-angle A AJ est isocèle) : images et objets sont donc symétriques par rapport au plan du miroir. L’objet A B et son image AB ont donc la même taille et on définira leur rap-port comme le grandissement transversal du miroir, égal à 1.
Paradoxalement, si un observateur regarde l’image d’un objet à travers le miroir, celle-ci se trouve toujours plus loin de lui que l’objet. En effet, il ne peut pas se placer dans le miroir. L’image à travers un miroir plan lui semble donc toujours plus petite. Un objet vu dans un miroir semble donc avoir une taille différente de celle de l’original bien que le grandissement du miroir soit égal à 1.
Enfin, quand on fait tourner le miroir, ce dernier possède une propriété intéressante liée à la rotation des rayons réfléchis : l’image de l’objet tourne avec le miroir. Il s’agit donc de définir le rapport existant entre l’angle dont a tourné le miroir et celui dont a tourné l’image.
Considérons un miroir plan, initiale-ment en position horizontale, et fai-sons-le tourner d’un angle α. Le miroir s’est alors déplacé de la posi-tion M1 à M2 (figure 4.6). Un rayon atteint respectivement les deux miroirs soit en I1 soit en I2. Les pro-longements des deux rayons réfléchis par le miroir dans la position M1
puis M2 se coupent au point P. D’autre part, les deux normales qui se coupent en N font entre elles un angle α. Dans les triangles N I1I2 et
Ainsi, si le miroir plan a tourné d’un angle α, le rayon réfléchi a donc tourné d’un angle β =2α, égal au double de l’angle de rotation du miroir. Cette propriété explique par exemple la difficulté de se repérer dans un rétroviseur. En effet, quand le véhicule tourne et que l’on surveille un automobiliste ou un obstacle dans le rétroviseur, l’image renvoyée par le miroir tourne 2 fois plus vite que le véhicule alors qu’instinctivement, on s’attend à une rotation d’un angle beaucoup plus petit. Cette propriété est aussi utilisée dans le sextant : quand le miroir mobile tourne, l’image du Soleil tourne deux fois plus.
Le principe de cet appareil est décrit dans l’encart 4.1.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Figure 4.6•Effet de la rotation d’un miroir sur les rayons réfléchis.
Le sextant est un instrument destiné à mesurer des hauteurs au-dessus de l’horizon.
Afin de s’affranchir du mouvement de l’observateur, (le navigateur sur son bateau par exemple), les deux images (horizon et objet observé) sont observées simultané-ment à l’aide de deux miroirs plans. Le schéma de principe du sextant est représenté sur la figure 4.7. Le miroir M1 est fixe et le miroir M2 mobile. Les rayons du Soleil se réfléchissent successivement sur les deux miroirs. Quand l’instrument est réglé, les deux images sont superposées et on lit directement la hauteur h de l’objet au-dessus de l’horizon sur un cercle gradué :
– le rayon (1) provenant de l’horizon parvient directement à l’observateur en pas-sant à côté du miroir M1 fixe ;
– le rayon (2) provenant de l’astre subit deux réflexions dont l’une sur le miroir mobile M2. C’est cette partie mobile qui permet d’obtenir la superposition des deux images.
L’angle d’inclinaison γ du miroir fixe M1 étant une caractéristique du sextant, nous allons établir la relation liant h et α. h permet de repérer la hauteur de l’astre par rap-port à l’horizon et α, la lecture sur la graduation. Dans le triangle M1M2V (V est la position du viseur) on a :
x+γ+h=π Encart 4.1. Le sextant
Nous retiendrons des deux exemples précédents plusieurs points importants qui sont : En M2, on a :
π=x+2y et α+y=π/2 soit : x=2α et α=(π−h−γ )/2.
En absence d’horizon, on utilise un bain de mercure pour matérialiser le plan horizontal. On superpose alors dans le sextant l’image directe de l’astre et son image réfléchie sur la surface du mer-cure. On mesure l’angle formé par les deux directions ; soit β cet angle, repré-senté sur la figure 4.8. La hauteur réelle de l’astre au-dessus de l’horizon en fonc-tion de β est : h=β/2.
M1 M2
α h
x
(2)
(1) Viseur
Horizon Soleil
Graduation γ
y
Figure 4.7•Schéma du principe d’un sextant.
;;
h β
Figure 4.8•Définition de l’angle β.
• Si l’on observe à travers un dioptre plan des rayons réfractés, issus d’un point objet A, on voit en réalité son image A dont la position peut être obtenue par l’intersection du prolongement de deux rayons particuliers issus de A. Cette position est toujours différente de celle de A.
• À travers une lame à faces parallèles un objet est vu plus proche qu’il n’est en réalité.