PAR LES SURFACES D’INDICES (CONSTRUCTION DE HUYGENS)
6. APPROXIMATION DES PETITS ANGLES : LOI DE KEPLER
Si l’angle d’incidence i est petit, on peut confondre la fonction sinus avec la valeur de l’angle exprimée en radians. Il en est alors de même pour r. On rappelle qu’au premier ordre sin i ≈i et cos i ≈1; on a de même sin r≈r et cos r ≈1 (voir annexe 1). On peut obtenir dans ce cas une expression approchée de la loi de Snell-Descartes sous une nouvelle forme appelée loi de Kepler :
ni =nr ou i =nrr
Dans l’énoncé de cette loi, les angles peuvent être exprimés en radians ou en degrés.
Plus l’angle est grand et plus l’erreur de la loi de Kepler est importante. Le tableau 2.3, calculé pour 0◦<i <90◦, teste l’approximation des petits angles en termes d’erreur relative, définie par i−sin i
sin i ; l’angle dans ce cas doit bien évidemment être exprimé en radians.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Tableau 2.3•Erreur commise lorsque l’on utilise la loi de Kepler au lieu de celle de Snell-Descartes.
Ces deux lois sont comparées sur la figure 2.16.
On remarque qu’elles se séparent nettement à partir de i= 20°.
.i(radians) 0 0,1745 0,349 0,523 0,698 0,872 1,047 1,571
sin i 0 0,1736 0,342 0,5 0,643 0,766 0,866 1
Erreur (%)
= i(r adi ans)−sin i
sin i(r adi ans) 0 0,5 2 4,6 8,6 13,9 20,9 57
.i(◦) 0 10 20 30 40 50 60 90
Loi de Kepler. Lorsque les angles d’incidence sont faibles, la loi de Snell-Descartes peut s’écrire :
i =nrr
7. APPLICATIONS
Nous proposons dans ce paragraphe une étude détaillée de deux systèmes simples consti-tués de dioptres plans : la lame à faces parallèles et la fibre optique.
7.1. Lame à faces parallèles
Considérons une lame transparente à faces parallèles d’indice absolu net d’épaisseur e placée entre deux milieux d’indices identiques n=1 (figure 2.17). C’est par exemple une vitre de nos maisons.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 0,5 1 1,5
Angle d'incidence i (rad) Kepler
Angle de réfraction r (rad)
Snell-Descartes
Figure 2.16•Comparaison entre les lois de Kepler et de Snell-Descartes.
Graphiquement, si n= 1,5, elles se séparent à partir d’angles de l’ordre 0,34 rad, soit 20°.
Cette limite pourrait correspondre à ce que l’on appelle l’approximation des petits angles en optique géométrique.
Encart historique. Polémique d’auteurs
Des essais de Ptolémée (IIesiècle après J.C.) à la loi approchée de Kepler, les lois de la réfraction ont donné plus de mal aux physiciens que celles de la réflexion. La loi approchée a été utilisée la première fois par l’astronome allemand J. Képler qui, grâce à elle, a développé la théorie des lentilles minces en 1611. Kepler, comme tous les savants de cette époque, recherchait la loi miraculeuse de la réfraction alors utilisée sous forme tabulée. Ainsi il trouve pour le verre une loi de la forme i
r = 3 2.
Il semblerait qu’Harriott, en 1558, ait été le premier à donner la loi des sinus connue sous le nom de loi de Snell-Descartes.
Le hollandais Snell Van Royen Willebrod l’aurait établie expérimentalement vers 1620, mais sa découverte aurait été publiée tardivement en 1662, bien après sa mort.
La loi des sinus a été démontrée de façon fort critiquable, et publiée pour la première fois par le philosophe et mathématicien français René Descartes dans son ouvrage Dioptrique en 1637.
Enfin, c’est au mathématicien français Pierre de Fermat que revient le mérite d’avoir introduit en 1658 sous la forme générale du principe du moindre temps, l’énoncé de base de l’optique géométrique.
Aux points A et B, on applique les lois de Snell-Descartes ; on a donc sin i1=n sin r1
en A et n sin r2=sin i2 en B. Comme r1=r2=r on a i1=i2=i ; l’angle émer-gent est le même que si le rayon passait direc-tement du premier milieu d’indice absolu n=1 au troisième milieu de même indice.
Cependant, le trajet des rayons n’est pas modifié. En effet, la figure 2.17 montre que, bien que le rayon transmis sorte avec le même angle que l’angle d’incidence, il est décalé d’une quantité δ que nous allons cal-culer. Dans le triangle A BC, on peut écrire :
Dans l’approximation des petits angles, sinα∼α et cosα∼1; les relations précédentes se simplifient en δ=e(i−r) avec i =nr, soit encore δ=i en−1
n , où i est nécessaire-ment exprimé en radians.
7.2. Fibre optique
Une fibre optique est un « guide de lumière ». Elle est constituée d’un cœur cylindrique d’indice n et d’une gaine d’indice n. Ces deux milieux sont transparents (figure 2.18).
Le diamètre de la gaine est de l’ordre d’une centaine de μm alors que celui du cœur est de quelques microns.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
r
Figure 2.17•Étude du rayon réfracté par une lame à faces parallèles.
n''
n'
Vue de face Vue de côté dans le plan méridien i
I
n J
r m
Figure 2.18•La fibre optique. Vue de face et en coupe dans le plan méridien.
Un rayon arrive en I sous une incidence i ; il se réfracte avec un angle r et frappe la gaine avec un angle d’incidence m. Le but de la fibre optique est de transmettre le rayon à l’intérieur du cœur avec le minimum d’absorption sans que celui-ci puisse sortir de la gaine. Il faut donc que la réflexion soit totale en J.
On écrit les lois de la réfraction en I : n sin i =nsin r. r et m sont reliés par m+r =π/2. Il y a réflexion totale en J si nsin m=nsinπ/2, ou encore si sin m=cos r=n/n.
Finalement :
n2sin2i=n2
1−
n
n 2
=n2−n2 soit : sin i=
√n2−n2 n
Avec n=1,5 et n=1,48, sin i =0,244 et i=14◦. Si i est inférieur à cette limite, m est supérieur à l’angle de réflexion limite et le rayon se réfléchit à l’intérieur de la fibre pour ressortir à son extrémité opposée. La quantité √
n2−n2 est appelée ouverture numériquede la fibre. L’encart 2.3 présente l’intérêt pratique et le champ d’utilisation des fibres optiques.
Le guidage efficace de l’information a pu se développer grâce à l’avènement des sources laser (1960). Jusqu’en 1970, l’affaiblissement d’un rayon transmis par une fibre optique en silicium restait supérieur à 30 % de sa valeur initiale au bout de 1 km. Il est maintenant de 1 % au bout de 100 km. La fibre sert pour des lampes décoratives, mais aussi pour des explorations médicales (endoscopes) ou pour les télécommunications. Un ensemble de fibres très fines (chacune de diamètre variant de 5 à 100 μm) peut aussi permettre un transport point par point d’une image dont la définition est naturellement conditionnée par ce diamètre.
L’exemple traité ici est celui d’une fibre dite à saut d’indice. Dans ce cas, différentes valeurs d’angles d’incidence (inférieurs à l’angle limite) permettent à plusieurs rayons de se propager dans la fibre avec une longueur de trajet différente. On les appelle les modes de propagation de la fibre, dite multimode. Si l’on réalise un cœur de diamètre très inférieur à celui de la gaine, on limite le nombre de modes suscep-tibles de se propager dans la fibre.
Si l’on obtient naturellement un seul mode de propagation, la fibre est dite mono-mode. Sa réalisation est délicate dans le cas d’une fibre à saut d’indice. Les fibres monomodes sont souvent des fibres à gradient d’indice pour lesquelles l’indice absolu décroît continûment du centre vers le bord de la fibre. Le problème est alors identique à celui de la propagation dans un milieu inhomogène (voir chapitre 4), dans lequel les trajectoires des rayons lumineux se courbent continûment.