LES DIOPTRES SPHÉRIQUES
Encart 5.2. Étude d’un dioptre convexe divergent
3. ANALYSE DE LA RELATION DE CONJUGAISON
La relation de conjugaison, établie précédemment, donne, par exemple, la position de l’image en fonction de celle de l’objet. Elle peut s’écrire p= np
n+p. L’étude mathé-matique de cette fonction dans le plan (p, p) est présentée dans l’encart 5.4. Si l’on trace p en fonction de p, on obtient une hyperbole équilatère qui permet de prévoir et de comprendre l’évolution de la position de l’image A. L’allure de l’hyperbole dépen-dant fortement de , nous avons effectué ce tracé pour un dioptre convergent ( >0) (figure 5.7) et pour un dioptre divergent ( <0) (figure 5.8). Nous appellerons par la suite cette hyperbole la caractéristique des dioptres1.
Relation de conjugaison du dioptre plan : p= n
np
Nous allons brièvement revenir au cas du dioptre plan que nous avons déjà rencon-tré dans les chapitres précédents.
Le dioptre plan sépare deux milieux d’indices n et n. On a choisi à titre d’exemple n>n. On considère un point objet A et le rayon AI. Au niveau du point d’incidence I, les angles d’inci-dence (i) et de réfraction (r) vérifient la loi de Kepler, ni=nr.
Dans le chapitre précédent, nous avons établi une relation permettant de positionner un point objet A et son image A sur une normale en un point H de la surface du dioptre plan. On peut considérer cette normale comme l’axe principal du dioptre plan et poser H =S. Ainsi, cette rela-tion s’écrit :
S A=S Ai r
Dans le cadre de l’approximation des petits angles, elle s’écrit encore S A =n nS A. Avec les notations conventionnelles, on obtient finalement la relation de conjugaison du dioptre plan, valable en approximation de Gauss :
p =n np Encart 5.3. Étude du dioptre plan
n' n
r i I
S A A'
Figure 5.6•Le dioptre plan.
1. Cette dénomination est classiquement employée dans l’analyse des circuits électroniques pour caracté-riser par exemple des éléments passifs comme une résistance. Dans ce cas, on trace la fonction I(U).
De manière générale, quelle que soit la vergence du dioptre sphérique, l’objet et son image ont une position distincte sur l’axe principal (p= p). Il existe cependant deux positions particulières satisfaisant à la condition p=p, déduites de la relation de conju-gaison. En effet, dans ce cas cette fonction s’écrit aussi : p2+(n−n)p=0. Cette équation a deux solutions :
• p=0; A et A sont alors confondus au sommet du dioptre S ;
• p=n−n
=r. Cette dernière situation sera discutée graphiquement dans les para-graphes 3.1 et 3.2.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
net n sont des constantes positives et peut être une constante positive ou négative selon que le dioptre est convergent ou divergent ; il n’est cependant pas nécessaire de connaître leurs valeurs numériques pour discuter les allures des courbes.
• Calcul de la dérivée : h(x)= nn
(n+x)2 >0. La fonction h(x) est donc toujours croissante quel que soit le type de dioptre étudié. Cette propriété exprime le fait que si p augmente, p augmente aussi. Par exemple, si l’objet se rapproche du dioptre par la gauche, l’image s’en éloigne vers la droite.
• Étude des asymptotes : lim
x→±∞h(x)= n
= f. La courbe présente une asymptote horizontale quand x→ ±∞, et la fonction tend vers une valeur que nous notons f (pour focale) pour des raisons que nous exposerons plus loin. Par ailleurs, quand le dénominateur tend vers 0, la fonction tend vers l’infini ; ceci signifie que la courbe présente une asymptote verticale d’équation x= −n
= f. Encart 5.4. Étude de la fonction h(x)= nx
n+x
3.1. Cas d’un objet réel
L’objet est réel s’il se situe à gauche du sommet du dioptre dans le milieu d’indice n. C’est la seule situation possible si le dioptre est seul car, pour former un objet virtuel, il faut un autre système optique (voir chapitre 4). Dans ce contexte, seul le demi-plan cor-respondant à p négatif sera discuté dans ce paragraphe. On a tracé, sur les figures 5.7 et 5.8, p en fonction de p pour un dioptre convergent et divergent.
Ces courbes permettent d’accéder aux informations suivantes :
• Pour un dioptre convergent, >0 (figure 5.7), plus l’objet A s’éloigne de S et plus son image A se rapproche d’une position particulière notée F. Cette dernière est repé-rée par la quantité algébrique S F = f qui est positive ; F est donc à droite de S. De même, la courbe présente une asymptote verticale lorsque p= −n
. Cela correspond à une position particulière de l’objet, que l’on note F et telle que S F = f. f est négative et Fse place donc à gauche de S.
Si p< f, l’objet est à gauche de F; p est positif et A se situe à droite du dioptre sphé-rique dans le milieu d’indice n : l’image est réelle. Au contraire, si 0<p< f, l’objet
est à droite de F et p est négatif ; A se situant aussi à gauche du dioptre, du même côté que A, elle est virtuelle.
La condition p=p=r est impossible ici, car rest positif.
• Pour un dioptre divergent, <0 (figure 5.8), la courbe présente encore deux asymp-totes. Ainsi si l’objet réel A s’éloigne de S, son image A se rapproche du point F, repé-ré comme prepé-récédemment par S F= f. f est négative pour un dioptre divergent et F est à gauche de S. De plus, l’objet étant lui aussi toujours à gauche de S (p<0 pour un objet réel), p est toujours négatif et l’image toujours virtuelle. Enfin, l’asymptote vertica-le correspond à une position particulière de l’objet, notée F, associée à la quantité S F= f positive : F est à droite de S.
Les positions particulières p= p peuvent être obtenues graphiquement en traçant sur la figure 5.8 la première bissectrice. Celle-ci coupe la branche supérieure de l’hyperbole en deux points : le premier correspond à la condition p= p=0 et le deuxième à p= p=r <0. On a alors d’un objet réel une image virtuelle, confondue avec A.
3.2. Cas d’un objet virtuel
Quand un objet est virtuel, il se situe à droite du dioptre, dans le milieu d’indice n. Dans ce cas, l’objet est placé dans le demi-plan correspondant à p positif. Nous rencon-trerons cette situation dans le chapitre 8 pour des systèmes centrés constitués d’au moins deux éléments optiques tels que deux dioptres, deux lentilles...
Les figures 5.7 et 5.8 donnent donc les informations complémentaires suivantes :
• Pour un dioptre convergent ( >0, figure 5.7), si l’objet virtuel A s’éloigne de S, son image A tend vers F. p étant toujours positif, A est à droite du dioptre du même côté que A ; l’image est réelle.
Comme r >0, la position particulière p=p=r est encore une fois obtenue graphi-quement en traçant la première bissectrice sur la figure 5.7. Celle-ci coupe la branche inférieure de l’hyperbole en p= p=0 et en p=p=r. Dans ce dernier cas, on a
Figure 5.7•Évolution de la position de l’image A’
d’un objet Aà travers un dioptre convergent.
Figure 5.8•Évolution de la position de l’image A’
d’un objet Aà travers un dioptre divergent.
• Pour un dioptre divergent ( <0, figure 5.8), plus l’objet A, situé à droite de F, s’éloigne, plus son image A, virtuelle, se rapproche de F (S F= f <0). Il y a une autre position particulière correspondant à S F = f = −n
>0. L’image réelle est alors à l’infini. Si A est compris entre Set F, A est réelle du même côté que A.
La relation de conjugaison donne la position de A dont la nature (réelle ou virtuelle) dépend de celle de l’objet ainsi que de la position de l’objet par rapport à deux points particuliers F et F. Les différentes possibilités sont résumées dans le tableau 5.1.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
.A en avant de F: A entre S et F:
p< f <0 0<p< f
A est réelle à quelle que soit la quelle que soit la A est réelle du droite de F: position pde A position pde A même côté que A
p> f>0 p>0
A en F : p= f <0 A en F : p= f >0
A est réelle du A est virtuelle du
A→ ∞ même côté que A: même côté que A: A→ ∞
f>p>0 f<p<0
A entre Fet S: Aaprès F :
f <p<0 0< f <p
A→ ∞ A→ ∞
A est virtuelle du A est virtuelle
même côté que A: A→F: p= f>0 A→F: p= f<0 à droite de F:
p<0 p< f<0
Tableau 5.1•Résumé de toutes les combinaisons (A, A’) réalisables avec un dioptre sphérique
Dioptre convergent (f>0, f <0) Dioptre divergent (f<0, f >0) Objet A réel Objet Avirtuel Objet A réel Objet A virtuel
p<0 p>0 p<0 p>0
La figure 5.9 résume toutes ces combinaisons.