ET LES CONDITIONS DE GAUSS
1.2. Application à l’étude de phénomènes lumineux naturels 1. Réfraction atmosphérique
L’atmosphère de la Terre peut être représentée dans des conditions normales de tempé-rature par des couches d’indice diminuant avec la densité de l’air, et donc avec l’altitude (voir chapitre 1, la loi de Gladstone). Ce milieu n’est donc pas caractérisé par une seule valeur de l’indice car il est inhomogène et la propagation d’un rayon lumineux n’y est pas rectiligne. Un promeneur qui regarde de nuit un astre à travers l’atmosphère se trouve donc dans une situation analogue à celle du nageur qui regarde le parasol assis au fond de la piscine. Au fur et à mesure que le rayon descend dans l’atmosphère, il ren-contre des couches d’air de plus en plus denses et se courbe vers la Terre : on appelle ce phénomène naturel la réfraction atmosphérique.
La direction dans laquelle le promeneur voit arriver la lumière d’une étoile est toujours plus élevée sur l’horizon que dans la réalité, bien que l’écart entre la position réelle et la position observée soit très faible (une frac-tion de degré). La figure 4.9 illustre, en exa-gérant le phénomène, l’influence de la réfraction atmosphérique sur l’observation des étoiles depuis la Terre.
1.2.2. Étude analytique de la réfraction atmosphérique On peut mieux comprendre les phénomènes
de réfraction atmosphérique, en analysant en détail la courbure de la trajectoire d’un rayon lumineux dans l’atmosphère. À mesure que le rayon se déplace d’une couche à l’autre, l’angle i qu’il fait avec la verticale vérifie la relation de Descartes (figure 4.10) :
n(z)sin i =n0sin i0
n(z) est la valeur de l’indice de réfraction à l’altitude z. Les indices « 0 », qui décrivent les conditions au départ, en haut de
l’atmo-sphère, peuvent aussi correspondre aux conditions au sol.
Quand le rayon descend d’une quantité dz, il se déplace aussi selon l’axe xd’une quan-tité dx. Ces deux quantités vérifient la relation :
tan i= sin i
On obtient alors une équation différentielle dont la solution est z(x)que l’on peut déter-miner si l’on connaît la loi de variation de navec l’altitude z. Cette équation s’écrit :
√ dz
n2(z)−(n0sin i0)2 = dx n0sin i0
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Direction apparente Rayon non réfracté
Figure 4.9•Incidence de la réfraction atmosphérique sur la vision des étoiles.
i
Trajectoire du rayon dz
dx
Figure 4.10•Définition des quantités dxet dz sur le trajet du rayon.
Avec une loi d’indice de la forme n2(z)=n20−kz, l’équation différentielle devient :
√ dz
(n0cos i0)2−kz = dx n0sin i0
dont la solution évidente est :
−2 k
√(n0cos i0)2−kz= x
n0sin i0 +C Si, au sol, n=n0 pour x =z=0, on détermine la constante C = −2
kn0cos i0. Après simplification, z dépend de xselon une loi parabolique :
z(x)= − kx2
(2n0sin i0)2+ x tan i0
La courbure du rayon dépend donc essentiellement du signe de k et donc du gradient d’indice. Suivant le signe de la constante k, la parabole, et donc le rayon, sont tournés vers le haut (k<0) ou vers le bas (k>0). Dans le premier cas, on décrit un mirage inférieur, dans le deuxième un mirage supérieur. Le premier cas est par exemple le phé-nomène de « flaque d’eau sur les routes », le deuxième, celui du coucher et du lever du Soleil. Les 2 situations sont schématisées sur les figures 4.11 et 4.12.
Indice croissant Indice décroissant
Figure 4.11•Quand l’indice croît avec l’altitude, les rayons sont courbés vers le haut. L’image est au-dessous de l’objet. C’est le phénomène de
« flaques d’eau » sur les routes.
Figure 4.12•Quand l’indice décroît avec l’altitude, le rayon est courbé vers le bas. L’image est au-dessus de l’objet. C’est la situation normale de l’atmosphère
où la réfraction relève les images, provoquant par exemple un retard du coucher du Soleil
et une avance de son lever.
Lorsque k>0, l’observateur placé en B (figure 4.13) voit l’image O d’un objet terrestre O dans le ciel ! La distance O B est donnée par la valeur de x, différente de zéro, qui annule z, soit :
xB = 2n20sin 2i0
k
Dans des conditions climatiques normales (n0=1,00029 et k=6·10−6km−1), cette dis-tance est très grande, de plusieurs centaines de
milliers de kilomètres ! Pour qu’elle soit réduite, il faudrait des valeurs de k beaucoup plus importantes, c’est-à-dire des anomalies de gradient thermique telles que celles observées dans les pays froids ou en hiver à nos latitudes.
i0
Trajectoire du rayon z
O B x
O'
Figure 4.13•Trajectoire d’un rayon dans un mirage supérieur.
1.2.3. Mirages
Lorsqu’il y a de grandes variations de températures entre le sol et les basses couches de l’atmosphère, l’indice peut au contraire augmenter avec l’altitude ; on assiste alors à la formation d’un mirage. Des objets éloignés, situés au sol ou à proximité de l’horizon, apparaissent comme des images vacillantes, selon les cas droites ou renversées, agrandies ou réduites, simples ou multiples. Pour qu’un mirage se forme, il faut que des couches d’air de températures nettement différentes voisinent, ce qui suppose un temps calme, sans vent.
• Mirage inférieur
Le mirage inférieur est le plus simple des fantômes aériens. Il se produit quand un sol dégagé sur une longue distance est sur-chauffé (route, piste d’aviation, désert). Il suffit d’une variation de 3°C de température sur une distance de 1 m. Alors, l’indice de réfraction diminue lorsque le rayon descend vers le sol. Les rayons lumineux qui se diri-gent vers le bas subissent une « réflexion totale » et repartent vers l’observateur en semblant provenir du sol (figure 4.14).
L’observateur voit donc le paysage à l’en-vers sur le sol, ciel compris, et prend pour une flaque d’eau ce qui est en réalité
l’image du ciel. C’est l’aspect mouillé que prennent nos routes goudronnées lorsqu’elles sont exposées au Soleil. Le mirage inférieur peut aussi donner une image droite.
• Mirage supérieur
Les mirages supérieurs apparaissent le plus souvent en mer, quand cette dernière est plus froide que l’air. Ils sont également très fréquents dans les régions polaires où les couches basses de l’atmosphère sont plus froides que les couches supérieures. On l’observe aussi en hiver ou au printemps lorsqu’un vent chaud souffle du sud alors que les couches inférieures de l’atmosphère restent froides à cause de la neige. Dans ce cas, l’indice de réfraction diminue quand le rayon s’écarte du sol. Ainsi, au-dessus du sol froid, la lumière qui vient de l’arbre est déviée (figure 4.15) et pour l’observateur, l’arbre semble être dans le ciel. Ce mirage peut aussi donner une image renversée.
• Fata Morgana
Plus étonnante encore est la Fata Morgana, le système de mirages le plus complexe qui soit, combinaison de mirages inférieur et supérieur. Les différentes couches d’air for-ment des images simultanéfor-ment droites ou renversées qui s’empilent en formant une colonne verticale. Le phénomène est, paraît-il, souvent visible de part et d’autre du
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 4.14•Le mirage inférieur. Au niveau de la route surchauffée, la température élevée
provoque une dilatation de l’air, une baisse de densité et donc une diminution de l’indice
de réfraction, ce qui courbe les rayons vers le haut.
Figure 4.15•Le mirage supérieur. La très basse température au niveau du sol provoque
une augmentation de densité de l’air.
Ceci accentue la réfraction normale, ce qui courbe encore plus les rayons vers le bas.
détroit de Messine entre l’Italie et la Sicile. La ville d’en face apparaît comme un enche-vêtrement rocambolesque de bâtiments, considéré comme le château de la fée Morgane de la légende du roi Arthur. Cet effet insolite est fréquent au-dessus de la mer Baltique au dégel du printemps.
La figure 4.16 donne un schéma de principe de la Fata Morgana. La lumière qui arrive du point A à l’œil de l’observateur O suit deux chemins en formant un mirage inférieur (A) et un mirage supérieur (A). Le point A se trouve alors étiré sur toute la longueur AA, qui peut apparaître comme un obstacle insur-montable.
1.2.4. Aplatissement du Soleil
Le Soleil n’est pas ponctuel. Vu de la Terre, il a un diamètre angulaire de l’ordre de 30 minutes d’angle. La réfraction atmosphé-rique variant avec l’altitude, les bords extrêmes du soleil sont donc inégalement relevés (figure 4.17).
Il est possible d’expliquer simplement ce phénomène. Hors atmosphère, le diamètre
angulaire du Soleil serait inchangé et un observateur verrait, venant de l’horizon, des rayons faisant avec la verticale des angles respectifs de 90° et 89,5°. Sur la terre, en raison de la réfraction, les angles de ces rayons avec la verticale sont respectivement égaux à 88,65° et 88,56° (n=1,00029). Le bord inférieur du Soleil est donc plus relevé que le bord supérieur, ce qui donne l’image d’un Soleil aplati verticalement de 5’24’’, soit 1/6 environ de son diamètre angulaire. L’impression d’un Soleil ou d’une Lune plus gros à l’horizon n’est qu’une simple illusion d’optique.
La réfraction atmosphérique a une incidence sur la durée du jour. En effet , compte tenu de cette inclinaison des rayons à l’horizon, le Soleil, alors qu’il devrait être totale-ment couché, est encore visible de la terre. Il disparaît à partir du mototale-ment où le rayon extrême qui atteint l’œil de l’observateur fait avec la verticale un angle de 90° . Le dia-mètre apparent de la fraction de soleil que l’on voit alors qu’il est déjà couché est donc au maximum égal à 1,35° d’angle. L’effet est le même que le Soleil se lève ou se couche.
Le cumul des deux effets nous fait gagner environ 5 minutes de jour. Ainsi, le jour de l’équinoxe, les durées du jour et de la nuit ne sont pas strictement égales, le jour durant 12 h 05 minutes au lieu de 12 heures.
O A'
A A''
Figure 4.16•La Fata Morgana.
Soleil (à l'horizon) Image du soleil
30'
24'66''
Figure 4.17•Aplatissement du Soleil.
Soleil apparent
Soleil vrai
Figure 4.18•Influence de la réfraction atmosphérique sur la durée du jour.
1.2.5. Rayon vert
Quand de la lumière blanche traverse l’atmo-sphère, la réfraction dévie les différentes lon-gueurs d’ondes de la source lumineuse de différentes manières, l’indice de réfraction étant une fonction de la longueur d’onde (voir chapitre 1, loi de Cauchy). Ainsi un rayon est d’autant plus dévié qu’ils ne sont pas superpo-sés. Un observateur verra donc par exemple le rayon bleu plus dévié que le rouge et il lui sem-blera que le rayon bleu arrive au-dessus du rayon rouge (figure 4.19). Ceci correspond à l’inversion des couleurs observées après un prisme (voir chapitre 3).
Le rayon vert s’explique par cette séparation des différentes couleurs de la lumière du Soleil. L’indice de l’air dépendant de la longueur d’onde est légèrement plus élevé pour le bleu que pour le rouge. En effet, nrouge (λ=0,8μm)=1,000 291 et nbleu
(λ=0,4μm)=1,000 299.
Quand le Soleil se couche, les différentes cou-leurs sont donc séparées par la réfraction avec une déviation plus importante pour le rayon bleu que pour le rayon rouge, la différence atteignant 2 secondes d’arc. Chaque couleur forme donc une image séparée du Soleil et de bas en haut on peut observer les disques rouge, orange, vert, jaune et bleu (figure 4.20). Sur un parcours très long, les rayons bleus sont généra-lement complètement absorbés par la diffusion,
dite de Rayleigh. À l’horizon, l’épaisseur d’atmosphère traversée est environ 50 fois celle traversée au zénith. Si l’atmosphère est très transparente, la dernière lueur est verte.
Pendant le quart d’heure qui précède le coucher du Soleil, on peut donc observer un liseré vert entourant la moitié supérieure du Soleil, alors que la moitié inférieure est entourée d’un liseré rouge. Cet effet est bien visible quand le haut du Soleil est masqué par une bande de nuages. C’est donc l’image verte du Soleil qui disparaît la dernière, le phénomène s’intensifiant au fur et à mesure que le Soleil s’abaisse à l’horizon. Le rayon extrême vert apparaît quelquefois séparé du disque solaire à cause de l’absorption des radiations jaunes et oranges par la vapeur d’eau et l’ozone atmosphérique. Notons que cette observation est facilitée par le fait que l’œil est en général plus sensible aux radia-tions vertes.
2. CRITÈRES DE QUALITÉ D’UN SYSTÈME 2.1. Qu’est-ce qu’un bon instrument d’optique ?
Un instrument d’optique possède toujours des défauts rassemblés sous le terme d’aber-rations, classées en différentes catégories : aberration sphérique, aberration chroma-tique, coma, astigmatisme, courbure de champ, distorsion... On demande à un bon instrument de fournir une image fidèle d’un objet. En particulier, tout rayon issu d’un
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Rouge Bleu
Figure 4.19•Déviations des différentes longueurs d’ondes du visible par la réfraction
atmosphérique. Le rayon en pointillés représente un passage hors atmosphère.
Horizon Soleil bleu
Soleil vert Soleil rouge Figure 4.20•Le rayon vert.
point A doit après avoir traversé l’instrument passer par un point image unique A. Cette correspondance point par point caractérise les propriétés de stigmatisme d’un sys-tème optique (venant du grec stigma = point). De même, tout objet A placé dans un plan perpendiculaire à l’axe de l’instrument doit donner une image A également per-pendiculaire à cet axe. Le système correspondant est dit aplanétique. Les propriétés de stigmatisme et d’aplanétisme ne suffisent pas pour que l’image soit de bonne qualité : en particulier, si elle est inclinée par rapport à l’axe, on peut observer des défauts de distor-sion.
Le critère de qualité d’un système optique est l’absence d’aberrations (aplanétisme, stigmatisme et absence de distorsion).