CONSTRUCTION D’IMAGES À TRAVERS UN DIOPTRE SPHÉRIQUE 1. Méthode générale

Nous allons exploiter ici la méthode de construction d’images proposée au chapitre 4 dans le cadre de l’approximation de Gauss. Tout objet A B placé dans un plan perpendi-culaire à l’axe principal a une image AB dans un plan également perpendiculaire à l’axe principal. La méthode suppose connues les positions des foyers F et F. Comme nous l’avons illustré au chapitre 4, on peut construire l’image A d’un point A situé sur l’axe en utilisant deux rayons particuliers issus de ce point ; A est donné par l’intersec-tion des rayons réfractés par le dioptre. De manière générale, il faut considérer un point auxiliaire B, situé hors de l’axe, formant avec A un objet. La procédure consiste à choi-sir de manière astucieuse deux rayons issus de B afin de construire ainsi B, l’image de B. La projection de B sur l’axe donne le point A cherché. C’est la raison pour laquelle, dans toutes les constructions d’optique géométrique on utilise un petit objet filiforme

A B, perpendiculaire à l’axe optique.

Dans le cas d’un dioptre sphérique, trois rayons particuliers issus d’un point B situé hors de l’axe permettent une construction aisée : le rayon parallèle à l’axe principal, le rayon passant par le foyer F et le rayon passant par le centre de courbure. En effet, les pro-priétés des points considérés nous disent que (figure 5.10) :

– le rayon (1) parallèle à l’axe principal forme avec l’axe un couple de rayons issus d’un objet à très grande distance : ils se coupent donc au foyer F ;

– le rayon (2) passant par le centre C arrive perpendiculairement à la surface du dioptre (i =r =0^◦) et ne subit aucune déviation : il va tout droit ;

– le rayon (3) passant par le foyer Fforme avec l’axe principal un couple de rayons issus de F. L’image de F étant, par définition, à l’infini, les rayons sortants ne peuvent pas se couper et le rayon (3) va ressortir parallèle à l’axe principal.

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

A B

F S

F' A' B' C

(1) (2) (3)

n n'

Figure 5.10•Cheminement de trois rayons particuliers traversant un dioptre sphérique convergent (n>n).

Dans l’exemple choisi, les trois rayons réfractés se coupent au point B, image de B (sauf si l’image de B est rejetée à l’infini). Si B est à l’intersection des rayons issus de B (représentés en traits pleins), elle est réelle. Au contraire si B est à l’intersection des prolongements des rayons issus de B (représentés en pointillés), l’image B est virtuelle.

On obtient finalement A en abaissant la perpendiculaire à l’axe passant par B. L’image AB de A B sera représentée par un trait plein si elle est réelle, en pointillés si elle est virtuelle. Pour effectuer la construction, il n’est pas nécessaire d’utiliser les trois rayons, car deux suffisent pour déterminer complètement le système. On choisira pour toutes nos constructions les rayons (1) et (2).

Ainsi, on retrouve que l’image est réelle dans la première construction (figure 5.11) car elle se situe à droite du dioptre. Elle est virtuelle dans la deuxième et dans la troisième construction (figure 5.12 et 5.13) car elle est du même côté du dioptre sphérique que l’objet. Nous verrons dans le paragraphe 7.3 le cas d’un objet réel situé à très grande distance. Enfin l’image est tantôt de même sens que l’objet (figures 5.12 et 5.13), tantôt de sens opposé (figure 5.11).

L’introduction du grandissement transversal γ va nous permettre de préciser ce dernier point.

7.2.2. Objet virtuel

Nous avons vu au paragraphe 3.2. qu’un tel objet n’avait pas d’existence en soi. On ne peut envisager ce cas que si un système optique précède le dioptre étudié. C’est une condition nécessaire, mais non suffisante et qui sera illustrée dans le chapitre 8.

Cependant, nous pouvons détailler la construction de l’image d’un objet virtuel dans le cadre de ce chapitre. La figure 5.14 donne un exemple de construction dans le cas d’un dioptre sphérique convergent.

Pour construire l’image d’un objet virtuel, on considère les mêmes rayons particuliers auxquels s’applique le même principe de construction : le rayon (2) passant par le centre du dioptre n’est pas dévié. Le rayon (1), initialement parallèle à l’axe, est dévié comme s’il provenait de F. Il devient le rayon (1). Les rayons (1) et (2) se coupent en B. On obtient une image AB réelle.

7.2. Exemples de constructions

La méthode générale de construction est proposée dans trois exemples, sur les figures 5.11 à 5.13 où l’image est tantôt réelle, tantôt virtuelle. Nous rappelons que l’avant du dioptre est l’espace « objet réel » et « image virtuelle » alors que l’arrière est l’espace cor-respondant à un objet virtuel ou à une image réelle.

C

Figure 5.11•Construction d’une image à travers un dioptre sphérique convergent.

L’objet est réel, l’image est réelle.

B'

Figure 5.13•Construction d’une image à travers un dioptre sphérique divergent.

L’objet est réel, l’image est virtuelle.

Figure 5.12•Construction d’une image à travers un dioptre sphérique convergent.

L’objet est réel, l’image est virtuelle.

7.3. Construction de l’image d’un objet situé à grande distance (à l’infini)

Quand un objet est à très grande distance d, on ne peut plus construire son image avec la méthode précédente ; ceci est d’autant plus vrai lorsque l’objet est de grand diamètre D, comme la Lune par exemple. Dans ce cas, il n’est plus défini par sa dimension linéaire mais plutôt par son diamètre apparent α^{, où} α≈ D

d (figure 5.15). Par exemple la Lune, de diamètre 3 476 km, située à 384 000 km de la Terre, a un diamètre apparent de α= 3 476

384 000 =0,00905 r d =0,518^◦=31.

Soit deux points de la Lune, A et B, diamétralement opposés. Plaçons A sur l’axe prin-cipal du dioptre et B au-dessus de l’axe. Ceux-ci sont tous deux à l’infini. A, l’image de A, est confondue avec le foyer F du dioptre. AB est donc dans le plan focal image.

De B, situé aussi à l’infini arrivent des rayons parallèles inclinés d’un angle α ^par rap-port à l’axe principal (figure 5.16). Deux rayons particuliers suffisent à construire AB. Ce sont :

– le rayon (1) qui passe par F; il ressort parallèlement à l’axe ; – le rayon (2) qui passe par C ; il ressort sans être dévié.

Pour l’exemple choisi (figure 5.16), ces deux rayons se coupent dans le plan focal image en B. On a donc une image réelle.

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

B'

C A A' S

F' (1) (2) n' < n

B

Figure 5.14•Construction d’une image à travers un dioptre sphérique divergent.

L’objet est virtuel, l’image est réelle.

d D α

B

A

Figure 5.15•Définition du diamètre apparent α d’un objet situé

à grande distance.

α C F' et A'

B' (2)

(1)

F S

Vers B

Vers A

Plan focal image

Figure 5.16•Construction de l’image du point Bplacé à une distance angulaire α par rapport à l’axe du dioptre dans l’approximation de Gauss.

Un raisonnement analogue permet de déduire les constructions proposées dans les figures 5.17 à 5.20.

S

C F'

n' > n

A' F

S C F'

n' > n

Plan focal image

F

Figure 5.17•L’objet réel A est à l’infini et le dioptre est convergent.

A est au foyer image en F.

Figure 5.18•L’objet réel A est à l’infini et le dioptre est convergent.

A est dans le plan focal image.

S F' C

n' > n A'

C S

n' > n F'

Plan focal image

A'

Figure 5.19•L’objet réel A est à l’infini et le dioptre est divergent.

A est au foyer image F.

Figure 5.20•L’objet réel A est à l’infini et le dioptre est divergent.

A est dans le plan focal image.