INTERPRÉTATION DES LOIS DE SNELL-DESCARTES

L’angle d’incidence i peut prendre toutes les valeurs possibles comprises entre 0° et 90°.

L’énoncé de la première loi de Snell-Descartes i = j permet de tirer la même conclu-sion pour l’angle réfléchi j.

Les valeurs prises par l’angle réfracté r sont liées à celles de l’indice de réfraction nr= n

n et à celles de l’angle d’incidence i. Deux types de situations peuvent apparaître selon que nr est supérieur ou inférieur à 1. Avant de les décrire nous donnerons deux définitions :

– si nr >1, soit n >n, le deuxième milieu est plus réfringent (et non réfractant !) que le premier ;

– inversement, si nr<1 soit n <n, le deuxième milieu est moins réfringent que le pre-mier.

4.1. Propagation vers un milieu plus réfringent : réfraction limite

Dans ce cas, nr est plus grand que 1, ce qui signifie que l’indice absolu du deuxième milieu, n, est plus grand que celui du premier milieu, n. C’est par exemple la situation rencontrée à une interface air-verre (n=1et n=1,5) ou air-eau (n=1et n=1,33).

Dans le cas d’une propagation vers un milieu plus réfringent, les angles d’incidence i et de réfraction r sont liés par la deuxième loi

de Snell-Descartes : sin i =nrsin r, avec nr>1. Cette relation traduit le fait que sin i d’une part et nrsin r d’autre part ont une même ordonnée, correspondant sur la figure 2.8 à une droite horizontale.

Les deux fonctions sin i et nrsin r sont représentées sur la figure 2.8 pour nr=1,5 lorsque i et r varient indépendamment entre 0° et 90°. La fonction sinus étant monotone et croissante entre 0° et 90°, pour une valeur de i donnée, la deuxième loi de Snell-Descartes implique que r soit toujours inférieur à i.

On conclut donc que :

0 r i 45° 90°

Figure 2.8•Comparaison entre sin i et 1,5 sin r(nr>1)^.

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu plus réfringent avec un angle d’incidence i. Après réfrac-tion, il est dévié et fait par rapport à la normale un angle r, toujours plus petit que i ; le rayon réfracté se rapproche donc de cette normale (figure 2.9).

n_r > 1

r i

Figure 2.9•Si l’indice de réfraction n_r est plus grand que 1, le rayon

réfracté se rapproche toujours de la normale car r <i. La figure 2.10 montre l’évolution de l’angle de

réfraction r quand i augmente de 0° à 90°. On a choisi à titre d’exemple n=1, n=1,5 soit nr=1,5. Les valeurs numériques correspondantes sont rassemblées dans le tableau 2.1.

La figure 2.10 et plus particulièrement le tableau 2.1 montrent que lorsque l’angle d’in-cidence i varie de 0 à 90°, l’angle de réfraction existe toujours. Il atteint une valeur limite appelée angle de réfraction limite, donnée par i=90^◦. Pour l’exemple choisi, nr=1,5 et donc rlim=41,81^◦. Plus généralement, cette valeur correspond à sin rlim=1/nr. Elle est donc imposée uniquement par la valeur de l’indice de réfraction (ou, ce qui est équivalent, par celles des indices absolus net n). Aucun rayon lumineux n’existe dans le deuxième milieu au-delà de cet angle car la condition sin r>1 est impossible. Ceci crée une zone d’ombre (41,81^◦<r<90^◦) dans laquelle il n’existe aucun rayon réfracté provenant du premier milieu. On conclura donc que :

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

(4)

(4) (3)

(3) (2)

(2) (1)

(1) n_r > 1

Figure 2.10•Quand l’angle iaugmente, l’angle de réfraction r augmente aussi, mais moins vite. Quand le rayon incident est

rasant (la position 4 correspond à i= 90°), l’angle réfracté atteint une valeur limite,

appelée réfraction limite.

Tableau 2.1•Comparaison entre i et r avec sin i=1,5 sin r(n_r=1,5>1)^. Si i= 90°, r = 41,81° est l’angle limite de réfraction.

0 0

10 6,65

20 13,18

30 19,47

40 25,37

50 30,71

60 35,26

70 38,79

80 41,04

90 41,81

Angle d’incidence Angle de réfraction

i(°) r(°)

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu plus réfringent avec un angle d’incidence i. Le rayon réfracté r (plus petit que i) existe toujours, mais atteint une valeur limite appelée angle de réfraction limite.

Cette limite donnée par i=90^◦ est définie par la relation sin rlim= 1 nr

.

4.2. Propagation vers un milieu moins réfringent : réflexion totale

Considérons maintenant une valeur de l’indice relatif nr plus petite que 1 ; l’indice absolu du deuxième milieu, n, est alors plus petit que celui du premier milieu, n. Cela peut être réalisé par exemple avec une interface verre-air (n=1,5 et n =1) ou eau-air (n=1,33 et n=1). Les angles d’incidence i et de réfraction r sont toujours liés par la deuxième loi de Snell-Descartes : sin i =nrsin r, avec nr <1.

On a représenté comme précédemment sin i et nrsin r pour i et r variant de 0 à 90°

avec nr =1/1,5 (figure 2.11). Pour une valeur de i donnée, la deuxième loi de Snell-Descartes impose, dans ce cas, r toujours supérieur à i.

On conclut donc que :

Figure 2.11•Comparaison entre sin i et sin r

1,5 (n_r<1)^.

Figure 2.12•Quand l’indice de réfraction nr est plus petit que 1, le rayon réfracté s’éloigne

toujours de la normale.

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu moins réfringent avec un angle d’incidence i. Après réfraction, il est dévié et fait par rapport à la normale un angle r tel que r>i. Le rayon réfracté s’écarte donc de la normale (figure 2.12).

Comme précédemment, la figure 2.13 présente schématiquement l’évolution du rayon réfracté lorsque i augmente de 0° à 90° avec nr = 1

Figure 2.13•Quand l’angle i augmente, l’angle de réfraction augmente aussi, mais plus vite.

Quand le rayon incident correspond à la position 3, l’angle de réfraction atteint 90°. Si i augmente encore (position 4), le rayon ne peut plus se

réfrac-ter (on aurait sin r >1) et il se réfléchit totale-ment avec un angle i=j.

Tableau 2.2•Comparaison entrei et r avec sin r =1,5 sin i(n_r<1)^.

Angle d’incidence Angle de réfraction

i(°) r(°)

La figure 2.13 et le tableau 2.2 montrent maintenant que, lorsque l’angle d’incidence i varie de 0 à 90°, l’angle de réfraction n’existe plus dans le deuxième milieu au-delà d’une certaine incidence ilim. Toute incidence supérieure correspond à sin r>1 ; le rayon réfracté n’existe pas. Le rayon incident est donc complètement réfléchi avec un angle j =i. Cette limite est donnée par r =90^◦ et correspond à sin ilim=nr, condition uniquement fixée par la valeur de l’indice de réfraction (ou, de manière équivalente, par celles des indices absolus net n). On est alors en condition de réflexion totale, bien que l’interface soit transparente. D’où la conclusion suivante :

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Considérons un rayon lumineux rencontrant un milieu moins réfringent avec un angle d’inci-dence i. Le rayon réfracté r (plus grand que i) n’existe plus pour une incidence supé-rieure à une valeur limite fixée parsin ilim=nr. On est alors en condition de réflexion totale.

Remarquons pour terminer que la deuxième loi de Snell-Descartes permet de démon-trer la première. En condition de réflexion totale, le rayon reste dans le premier milieu.

On peut écrire n sin i=n sin j, ce qui implique que i = j, (la fonction sinus étant bijective lorsque i est compris entre 0 et 90°). Remarquons aussi que l’on aurait pu rai-sonner dans ce paragraphe en appliquant directement au cas précédent le principe du retour inverse de la lumière (paragraphe 4.1). Pour cela, il aurait suffi d’inverser le sens de la lumière et donc les rôles de i et de r, tout en conservant les valeurs de net n. On serait alors dans la condition de réfraction limite trouvée dans le paragraphe précédent.

4.3. Déviation due à l’interface entre deux milieux

De manière générale, quelle que soit la situation de propagation vers un milieu plus ou moins réfringent, i est toujours différent de r. Le rayon incident est donc dévié d’une quantité mesurée par l’angle D, appelé « angle de déviation » ou plus couramment déviation. C’est l’angle dont il faut faire tourner le rayon incident pour l’amener sur le rayon réfracté. Dest par définition un angle orienté. Avec les conventions habituelles, si le rayon tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, la déviation est négative (et inversement).

n_r > 1

r i

D (a)

n_r < 1

r i

D (b)

D < 0 D > 0

Figure 2.14•Déviation subie par un rayon incident après réfraction vers un milieu plus réfringent (a) ou moins réfringent (b).