Développements limités
3. ANALYSE DES FORMULES DU PRISME
Nous allons faire une analyse complète des quatre formules du prisme établies au para-graphe précédent en étudiant l’évolution des différents angles r1, r2, i2 et D en fonc-tion de l’angle d’incidence i1. Nous pourrons déterminer ainsi les conditions d’existence du rayon émergent. De plus, nous pourrons aussi montrer l’existence d’une valeur minimale de Dappelée minimum de déviation.
3.1. Étude des différents angles du prisme et de la déviation en fonction de l’angle d’incidence
Cette étude nécessite la connaissance de l’angle A du prisme et de l’indice de réfraction nr. Pour fixer les idées, nous allons présenter les résultats pour un prisme de verre
d’angle A=60◦ pour lequel n0=1 et n=nr=1,5. Les valeurs des quatre angles r1, r2, i2 et D sont rassemblées dans le tableau 3.1 lorsque i1 est compris entre 0 et 90°. Les résultats sont exprimés en degrés par pas de 10°. Les tracés correspondants sont représentés sur la figure 3.4.
L’examen du tableau 3.1 et de la figure 3.4 sont très instructifs et sus-citent les remarques suivantes :
• La courbe i2= f(i1) est symé-trique par rapport à la bissectrice principale ; ceci est dû au principe du parcours inverse de la lumière (voir chapitre 2). Quand l’angle i1
est petit, il n’y a pas de rayon
émer-gent sur la deuxième face du prisme. On ne peut donc définir ni i2 ni D. La condition d’émergence sera étudiée en détail au paragraphe suivant mais il est déjà possible d’in-diquer le parcours d’un rayon incident à travers le prisme (figure 3.5), selon que l’angle d’incidence i1 est grand ou petit.
Tableau 3.1•Valeurs numériques des différents angles r1, i2, r2et D pour nr=1,5 et A=60◦, quand l’angle d’incidence i1varie de 0° à 90°.
0 0 60 – –
10 6,6 53,3 – –
20 13,2 46,8 – –
27,9 18,2 41,8 90 57,9
30 19,5 40,5 77,1 47,1
40 25,4 34,6 58,5 38,5
48,59 30 30 48,59 37,18
50 30,7 29,3 47,2 37,2
60 32,6 21,8 38,9 38,9
70 38,8 21,2 32,9 42,9
80 41,0 18,9 29,2 49,2
90 41,2 18,2 27,9 57,9
90 75 60 45 30 15 0
0 15 30 45 60 75 90
Angle d'incidence i1 (degrés) r1
r2
i2 D
Figure 3.4•Tracés de l’évolution des différents angles r1, i2, r2et D en fonction de i1pour A=60◦
et nr=1,5.
.i1 r1 r2 i2 D
(degrés) (degrés) (degrés) (degrés) (degrés)
• r1 croît comme i1 tout
• L’angle de déviation D est d’abord une fonction décroissante de l’angle d’incidence i1. Il change de comportement à partir d’une certaine valeur de i1 et correspond alors à un angle de déviation D minimal autour duquel la courbe D(i1) varie moins. Le com-portement de D est symétrique en i1 et i2 (ou r1et r2), toujours en vertu du principe du retour inverse de la lumière. Par exemple, les couples (i1,i2) égaux à (60 ; 38,9) et (38,9 ; 60) donnent le même angle de déviation D=38,9◦. Enfin, si l’on traçait pour différentes incidences i1 le rayon émergent du prisme, on constaterait que la déviation a toujours lieu en direction de la base. Si l’on devait tenir compte de cette orientation, on écrirait D<0.
3.2. Condition d’émergence
L’angle d’émergence i2 n’existe pas si le rayon atteint la deuxième face avec un angle trop important, dépassant l’angle limite qui est donné par sin r2lim=1/nr (soit, dans notre exemple r2lim=41,8◦). Les formules du prisme permettent de déterminer les valeurs correspondantes de r1 et de i1. On a r1lim= A−r2lim=18,2◦, soit i1lim=27,9◦. Il faut donc que l’angle d’incidence i1 soit supérieur à cette valeur pour qu’un rayon sorte du prisme par la deuxième face. Plus généralement, on a :
r1lim=A−Arcsin
En observant le tableau 3.1 ou la figure 3.4, nous voyons bien que l’angle D passe par une valeur minimale, notée Dm, pour une certaine valeur de i1, comprise entre 0 et 90°.
Nous allons montrer par deux méthodes différentes que la déviation d’un prisme passe par un extremum qui correspond bien à un minimum de déviation. Les deux démons-trations sont équivalentes, l’une utilisant la notion de différentielle et l’autre celle de dérivée. Pour le prisme considéré ici, le minimum de déviation est donné par la valeur
Dm =37,18◦pour un angle d’incidence i =48,59◦. 3.3.1. Première méthode (différentielle)
Pour une certaine valeur de i1 correspondant à une déviation extrémale, la différen-tielle de D=i1+i2−A doit être nulle (A est une donnée intrinsèque du prisme) ; on a donc dD=di1+di2=0, soit di1= −di2. De la même façon, on peut aussi différentier
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Figure 3.5•Parcours à travers un prisme suivant que l’angle d’incidence i1est grand (le rayon émergent existe)
ou petit (le rayon émergent n’existe pas).
les trois autres formules du prisme. Ainsi, à partir de A=r1+r2, on obtient dr1= −dr2. Enfin, à partir des deux relations de Snell-Descartes sin i1=nrsin r1 et sin i2=nrsin r2, on obtient :
cos i1di1=nrcos r1dr1 et cos i2di2=nrcos r2dr2.
En divisant membres à membres ces deux dernières relations, et en utilisant les deux premières, on arrive à :
cos i1cos r2=cos i2cos r1
En éliminant r1 et r2 à partir des relations de Snell-Descartes, on obtient l’équation reliant i1 et i2 :
Après simplification, on trouve :
(1−n2r)(sin i12−sin i22)=0
La déviation passe par un extremum qui correspond donc à i1=i2=i. L’autre solution est nr=1 ; elle est sans intérêt car elle revient à considérer un prisme d’air : la propaga-tion se fait alors toujours dans un même milieu, en ligne droite, sans déviapropaga-tion.
3.3.2. Deuxième méthode (dérivée)
A est une caractéristique du prisme, la seule variable étant i1. La valeur minimale de D peut donc être obtenue en annulant la dérivée de Dpar rapport à i1. Celle-ci s’écrit :
dD di1
=1+di2
di1
De même en dérivant par rapport à i1 la loi de Snell-Descartes écrite aux deux faces, on obtient :
, on obtient finalement : dD
di1
=1−cos r2cos i1
cos r1cos i2
Comme précédemment cette dérivée s’annule si i1=i2=i, soit r1=r2=r.
En toute rigueur, pour s’assurer que cet extremum est bien un minimum, il faut détermi-ner le signe de la dérivée seconde de D à l’extremum. Un calcul simple, mais fastidieux, que nous ne donnerons pas ici permet de montrer que, en i1=i2=i et r1=r2=r, d2D
di12
>0.
3.3.3 Formules du prisme au minimum de déviation
On a, au minimum de déviation : i1=i2=i, soit : r1=r2=r et Dm =2i−A. Enfin, sachant que l’on a alors sin i =nrsin A
2 (avec A=2r), on peut aussi relier le minimum de déviation à l’angle A et écrire :
sin Dm +A
2 =nrsin A 2
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Formules d’un prisme d’angle A au minimum de déviation. À la déviation minimale, le rayon incident traverse le prisme symétriquement et les rayons entrant et émergent font le même angle avec les normales aux faces. On a :
i =i1=i2 et r1=r2= A alors symétrique par rapport à la hauteur du prisme passant par A.