Concavité et convexité

A

B A

A B A

B B

Figure 5.2•Exemples de deux surfaces convexes (à gauche) et d’une surface concave (à droite).

Suivant les valeurs relatives des indices n et n (n>n ou n<n) et suivant le signe du rayon de courbure (r>0 ou r<0), on a les quatre configurations schématisées sur la figure 5.3 : à titre d’exemple, on considère un rayon incident parallèle à l’axe qui subit, au point I de la surface de séparation, une réfraction. On a tracé schématiquement, dans chaque cas, le rayon réfracté. On retiendra des différentes constructions représentées sur la figure 5.3, qu’il existe donc quatre configurations possibles conduisant à séparer les dioptres en deux catégories : les dioptres divergents et convergents. Dans un système convergent, un rayon se rapproche toujours de l’axe principal. Au contraire, il s’en éloigne toujours lorsqu’il traverse un système divergent. Ainsi le caractère convexe ou concave ne suffit pas à définir complètement un dioptre : en effet, il existe des dioptres convergents convexes ou concaves. On peut aussi remarquer que si l’on retourne le dioptre, sa propriété de convergence ne change pas (il reste par exemple convergent) ; par contre, s’il est initialement concave, il devient convexe !

On considèrera par la suite uniquement les rayons incidents paraxiaux afin de travailler dans l’approximation de Gauss. Dans ce cas, pour bien révéler les constructions, on emploie-ra les symboles de la figure 5.3b) pour les différentes configuemploie-rations possibles de dioptres.

2. DE LA LOI DE SNELL-DESCARTES À LA RELATION DE CONJUGAISON

Si une source lumineuse A, située par exemple à gauche d’un dioptre sphérique, émet des rayons de faible incidence par rapport à la normale au dioptre, on est dans le cadre de l’approximation de Gauss. Le dioptre sphérique, comme tout bon instrument optique, fournit alors de cet objet une image A, fidèle à l’objet. Comme pour les dioptres plans, cette image est définie par l’intersection de rayons lumineux ou de leurs prolongements.

A est réelle ou virtuelle, selon la nature des rayons qui forment cette image. Nous allons établir, à partir de la deuxième loi de Snell-Descartes, et dans ces conditions une relation qui lie les positions de A et A, quelle que soit leur nature ; on l’appelle la relation de conjugaison. Sa forme mathématique ne dépend pas du type de dioptre étudié : elle est universelle. Nous proposons tout d’abord de l’établir pour un dioptre convexe convergent.

La démonstration pour un dioptre divergent est donnée dans l’encart 5.2.

Les formules établies relient entre elles des quantités algébriques ; il est donc nécessaire d’orienter les angles dans cette discussion. On choisira comme sens positif le sens trigo-nométriques. Ainsi, l’angle ω de la figure 5.5 doit être affecté d’un signe « – ». Au contraire α^, r et i sont dans le sens direct, (voir l’annexe du chapitre 2). Notons que ce choix d’orientation est arbitraire et n’influe pas sur le résultat final.

L’objet A est situé sur l’axe optique du dioptre, par exemple à gauche de S(figure 5.5).

C’est un objet réel. Considérons deux rayons particuliers issus de A. Le premier est celui qui se propage avec une incidence nulle : il est sur l’axe principal, horizontal, et non dévié après la traversée du dioptre. Le deuxième fait en I un angle d’incidence i avec la normale au dioptre sphérique. Il est réfracté et l’on note r l’angle de réfraction avec la

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Convergent

Figure 5.3 (a)•Les quatre configurations possibles d’un dioptre sphérique.

Convergent

Figure 5.3 (b)•Même représentation dans l’approximation de Gauss.

normale en I. Dans l’exemple choisi, les deux rayons se coupent physiquement sur l’axe en A, qui est l’image réelle de A.

En posant p=S A et p=S A, on repère les positions de l’objet A et de son image A par rapport au sommet du dioptre. Comme l’objet est réel, situé à gauche du dioptre, p est négatif. La construction donne, pour l’exemple choisi, une image réelle située à droi-te du dioptre avec p positif. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, les angles défi-nis sur la figure 5.4 (α, α et ω) sont petits ; au lieu de la relation de Snell-Descartes, on utilisera donc la loi de Kepler.

Dans les triangles I AC et I C A, on écrit que la somme des angles orientés est égale à π^:

• dans I AC : α+π−i+(−ω)=π^{, d’où} i =α−ω ^;

• dans I C A : (−α)+r+π−(−ω)=π^{, d’où} r =α−ω^.

La relation de Snell-Descartes écrite au point I et réduite à l’équation de Kepler devient : n(α−ω)=n(α−ω)

Dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut confondre Het S et assimi-ler les tangentes aux angles correspondants :

α≈tanα= H I

Cette relation fondamentale qui relie les positions d’un objet A et de son image A est appelée la relation de conjugaison du dioptre sphérique. On peut la réécrire sous la forme suivante :

Figure 5.4•Étude de la marche d’un rayon pour un dioptre sphérique convexe convergent.

Finalement, on a démontré sur deux exemples qu’une même relation de conjugaison reliait la position p d’un objet A à celle, p, de son image A.

©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

On a positionné à nouveau un point objet A sur l’axe principal et déterminé la posi-tion de son image A à partir de la construction de deux rayons particuliers. Les angles α, α et ω sont également orientés de façon arbitraire (figure 5.5) et l’on tra-vaille dans l’approximation de Gauss. Dans les triangles AI A et AI C, on écrit que la somme des angles orientés est égale à π.

– triangle AI A : α+π−α+r−i =π, d’où α−α=i−r – triangle AI C : α+π−r+(−ω)=π, d’où α−ω=r

On a donc i =α−ω ; on peut écrire au point I que n(α−ω)=n(α−ω). Cette relation est identique à celle obtenue ci-dessus pour le dioptre convergent, ce qui va conduire au même résultat final, c’est-à-dire à la même relation de conjugai-son. On remarquera que, dans cet exemple, A est réel et A virtuel (p<0 et p<0).