Développements limités
5. APPLICATION AUX MESURES DE L’INDICE ABSOLU D’UN MILIEU
. Par exemple, si nr=1,5, il faut A<83,62◦.
Finalement, on établit ainsi une deuxième propriété intéressante :
Dans un prisme d’angle A, la déviation et donc le rayon émergent n’existent que si : A<2 Arcsin
1
nr
5. APPLICATION AUX MESURES DE L’INDICE ABSOLU D’UN MILIEU
La grandeur essentielle caractérisant un milieu transparent étant son indice absolu, sa détermination précise est capitale. L’existence du minimum de déviation est à l’origine d’une méthode permettant de mesurer les indices de réfraction tels qu’ils sont définis dans le cadre du formalisme de l’optique géométrique. Cela suppose que le matériau auquel on s’intéresse (par exemple un verre) puisse être taillé sous forme de prisme.
Dans le cas où l’on veut mesurer l’indice de réfraction d’un liquide, on peut en remplir une cellule prismatique creuse et transparente, dont les parois, agissant comme des faces à lames parallèles, ne changent pas les valeurs des angles en jeu. Nous traitons à titre d’exemple le cas d’un prisme de verre.
5.1. Détermination de la valeur de l’indice absolu d’un verre
Le prisme de verre est placé sur une platine tournante graduée de 0 à 360 degrés, appe-lée goniomètre. Le prisme est éclairé par une source fixe S, considérée monochroma-tique dans un premier temps, équipée d’une fente fine. Une lentille, le collimateur, donne une image de l’ensemble à l’infini. Le principe de la méthode revient à détermi-ner l’indice absolu du prisme en recherchant visuellement le minimum de déviation pour la radiation utilisée et en appliquant la relation :
sin Dm +A
2 =nrsin A 2 A est une caractéristique du prisme que l’on peut mesurer expérimentalement. Pour cela, on repère tout d’abord les normales aux faces du prisme par une méthode d’autocollimation : cela consiste à éclairer chacune des deux faces du prisme en incidence normale. Dans ce cas seulement, les rayons réfléchis par les faces d’entrée sont superposés aux rayons incidents.
On peut alors déterminer sur le goniomètre l’angle π−A que font entre elles chacune des normales aux 2 faces du prisme (figure 3.7).
L’évolution de l’angle D est connue grâce à l’étude simultanée de i1 et i2. Tant que le mini-mum de déviation n’est pas atteint, lorsque i1
croît, i2 et D évoluent dans le même sens. Pour une certaine valeur d’incidence i1, D diminue, évolue moins, puis croît à nouveau. Ce change-ment d’évolution marque le passage au mini-mum de déviation Dm. Dm peut être repéré
visuellement, puis mesuré sur le goniomètre en mesurant la déviation du rayon réfracté par rapport au rayon incident, préalablement repéré en absence de prisme. L’indice de réfraction, et donc l’indice absolu n, sont alors déterminés à partir de la formule précé-dente pour la longueur d’onde de la source utilisée. Par cette méthode, la précision de la mesure est excellente puisque, dans bien des cas, elle est de l’ordre de 10−4. Elle est cependant conditionnée par l’homogénéité du matériau, la planéité des faces du prisme et la précision de lecture accessible sur le goniomètre.
5.2. Étude de la loi de dispersion de l’indice d’un verre : n(λ)
Si l’on utilise plusieurs sources monochromatiques, chacune ayant une longueur d’onde déterminée, on peut reproduire la méthode précédente pour chacune des sources et en déduire la variation de l’indice absolu en fonction de la longueur d’onde. On étudie ainsi la dispersion du prisme, notion abordée au chapitre 1 avec la loi de Cauchy. Nous verrons plus loin en quoi certains phénomènes naturels découlent directement de cette dispersion. Cette étude peut être aussi menée simultanément avec une source polychro-matique étalonnée, les rayons de différentes longueurs d’onde ne se propageant pas de la même façon dans le prisme. Ainsi on observe en sortie des rayons émergents dans des directions différentes directement reliées à la valeur de λ ; la mesure du minimum de déviation pour chaque longueur d’onde permet d’établir la loi n(λ).
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
A
π -- A 360°
180°
Figure 3.7•Les deux directions des rayons en réflexion normale sur les deux faces du prisme forment entre elles un angle égal
à π−A. On peut ainsi mesurer l’angle A du prisme.
Rappelons que la loi de Cauchy s’écrit :
n(λ)= A1+ B1
λ2
Considérons un spectre continu issu d’une source émettant de la lumière blanche.
Quand la longueur d’onde augmente, l’indice de réfraction diminue et la réfraction devient moins importante. Les petites longueurs d’onde, perçues comme du bleu (λ≈400 nm), sont donc plus dispersées que les grandes longueurs d’ondes, perçues comme du rouge (λ≈750 nm) ; on observe donc que les petites longueurs d’ondes sont plus déviées par le prisme que les grandes.
On peut justifier analytiquement cette observation : considérons en effet de la lumière blanche arrivant sur un prisme d’angle A, avec un angle d’incidence i1. La variation de Den fonction de la longueur d’onde permet d’accéder à celle de l’indice n(λ). La diffé-rence fondamentale avec l’étude précédente est la nature de la variable car cette fois, l’angle i1 est constant et c’est nqui varie.
On peut obtenir l’expression analytique permettant d’accéder à la variation de Den dif-férentiant les quatre formules du prisme avec i1 et A constants :
sin i1=nrsin r1⇒0=dnrsin r1+nrcos r1dr1
r1+r2=A⇒dr1+dr2=0
sin i2=nrsin r2⇒cos i2di2=dnrsin r2+nrcos r2dr2
D=i1+i2−A⇒dD=di2
Les trois premières différentielles permettent d’exprimer di2 puis dD en fonction de dnr.
di2= dnrsin r2+nrcos r2dr2
cos i2
= dnrsin r2−nrcos r2dr1
cos i2
Or : nrdr1= −dnr
sin r1
cos r1
d’où : dD=di2= dnr
cos r1cos i2
(sin r2cos r1+sin r1cos r2)= dnr
cos r1cos i2
sin(r1+r2)
Finalement : dD = dnr
cos i2cos r1
sin A
En différentiant l’expression de nr dans la loi de Cauchy énoncée précédemment (nr =n car on suppose l’indice extérieur égal à 1) on obtient dD en fonction de dλ :
dnr=dn= −2B1
λ3 dλ
et : dD= −2B1
λ3
sin A cos r1cos i2
dλ
On retrouve analytiquement qu’à la sortie du prisme, les différentes radiations sortent bien dans des directions différentes. Si λ augmente, dλ >0 et dD<0; la déviation diminue. Ceci montre bien que les radiations de petite longueur d’onde (comme λ≈400 nm, percues comme du bleu) sont plus déviées que les radiations de grande lon-gueur d’onde (comme λ≈750 nm, percues comme du rouge). Si l’on place un écran dans le faisceau sortant, on y verra donc le rouge en haut et le bleu en bas (figure 3.8(a)).
La figure 3.9 présente les courbes de déviation observées à travers un prisme de verre pour trois lon-gueurs d’onde différentes (λ=400,600 et 800 nm). Le tableau 3.2 indique les indices cor-respondants ainsi que la valeur de la déviation minimale dans les trois cas. Les calculs ont été faits dans le cas du verre en utilisant les coefficients de Cauchy donnés dans le tableau 1.2 du chapitre 1.
Ces résultats illustrent l’intérêt de travailler au minimum de dévia-tion pour mesurer l’évoludévia-tion de l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde. D’une
manière générale, on peut voir sur la courbe 3.9 que, tant que l’on reste près du mini-mum de déviation, les couleurs restent relativement bien séparées. Elles sont donc bien distinguables sur l’écran. Par exemple, pour 800 nm (l’observation se fait alors à 38°), seule cette couleur apparaît sur l’écran car les autres longueurs d’onde sont davantage déviées et ne peuvent être observées dans cette direction. Il est alors possible de mesurer précisément l’angle de déviation minimum, et donc l’indice du verre pour 600 nm. On notera par ailleurs que la déviation tracée sur la figure 3.9 varie beaucoup plus vite en fonction de la longueur d’onde lorsque l’angle d’incidence est proche de l’angle limite. Ceci est bien visible si l’on compare l’écart entre les trois courbes présentées sur la figure selon que l’on trace une verticale au minimum de déviation ou près de l’angle limite. On travaillera donc plutôt à incidence proche de l’angle limite lorsqu’il s’agira de séparer des longueurs d’onde assez différentes d’un faisceau polychromatique.
©Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Rouge
Figure 3.8•Les différentes couleurs sont « vues » (b) dans un ordre qui semble en contradiction avec l’étalement des couleurs à la sortie du prisme (a).
Tableau 3.2•Indices et angles de déviation minimum dans un prisme de verre d’angle A=60◦
Au contraire, si l’on place l’œil ou un détec-teur dans le faisceau, on y verra le bleu en haut et le rouge en bas, comme sur la figure 3.8(b). Ainsi, le rayon bleu, plus incliné que le rouge, semble arriver dans l’œil au-dessus du rouge. Ceci est dû au fait que l’écran reçoit les rayons mais l’œil leurs images. Nous développerons ce point au chapitre 4.
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Angle d'incidence i1 (degrés)
Déviation (dégrés)
400 nm 600 nm 800 nm
Figure 3.9•Déviation par un prisme de verre de rayons de longueurs d’onde différentes.