Méthode Semi-Analytique

De la méthode des éléments frontières, des solutions analytiques peuvent être dérivées

an de permettre le développement d'une méthode dite Semi-Analytique. Lorsque des

solutions analytiques sont diciles à trouver pour des problèmes complexes, il est possible

de discrétiser le problème en une somme de solutions basiques pour lesquelles des solutions

analytiques sont bien connues. Il s'agit du principe de base de la méthode semi-analytique

( Semi-Analytical Methods (SAM)).

1.7.4.3.1 Développement des techniques Semi-analytiques

Les premiers modèles semi analytiques sont proposés par Bentall et Johnson [108]

ainsi que Paul et Hashemi [109] an d'étudier les problèmes de contact sous chargement

statique. Une première formalisation de cette méthode a été proposée par Kalker [98]

(cf. 1.7.3.3) en utilisant un algorithme de Newton-Raphson. Pour étudier un problème

de contact roulant bidimensionel, Nowell et Hill [110] ont également utilisé une méthode

similaire. D'autres techniques numériques ont été également proposées. On peut citer

par exemple Jaeger [111] qui a utilisé l'algorithme de Gauss-Seidel. Ces algorithmes sont

souvent moins rapides en terme de temps de calcul.

Des techniques plus rapides ont été proposées et sont désormais largement utilisées.

Après les techniques multigrilles utilisées par Brandt [112], les techniques de Transformé

de Fourier Rapide ( Fast Fourrier Transforms (FFT)) ont été tout récemment

utilisées [113115]. Ces techniques sont bien adaptées aux méthodes Semi-Analytiques.

L'utilisation de la FFT permet un gain énorme de temps de calcul comparé aux méthodes

directes de calcul mais exigent une extension de la dimension du domaine de calcul de 8

fois dans chaque direction. Liu et al. [116] proposent la DC-FFT (Discret Convolution

FFT), qui permet de diviser ce problème par deux dans chaque direction de calcul.

Les techniques de zero-padding et de wrap-around appliquées aux solutions

analytiques ont réduit considérablement les erreurs de calcul durant la transformation

FFT. Actuellement, le couplage de ces méthodes avec des algorithmes puissants tels que

la méthode des gradients conjugués ( Conjugate Gradient Method (CGM)) [115] a

permis l'utilisation de mailles de taille très nes dans la zone de contact.

An de prendre en compte la plasticité, des solutions semi-analytiques

tridimension-nelles ont été considérées ces dernières années. La technique de FFT bidimensionnel est

appliquée en chaque profondeur des corps en contact. Des détails sur ce point peuvent

être retrouvées dans les travaux de Jacq et al. [117]. Pour accélérer les calculs, Zhou

et al. [118] ont proposé comme alternative la technique de FFT en trois dimensions

(3D-FFT) qui permet une diminution considérable des temps de calcul an d'éviter les

calculs plan avec la 2D-FFT.

Les modèles semi-analytiques utilisent généralement des éléments cubiques de

dimen-sions constantes car l'utilisation de la technique FFT exige un maillage régulier. Pour des

problèmes tridimensionnels, il existe d'autres méthodes notamment la technique

vecto-rielle de Galerkin [119121].

1.7.4.3.2 Applications étendues de la méthode semi analytique

La méthode semi analytique a été développée en premier pour résoudre des problèmes

de contact des corps élastiques de formes complexes. Dans cette perspectives, les travaux

de Bentall et Johnson [108] ainsi que de Kalker [98] pour des applications au contact roue

sur rail ont été développés. Des modèles ont été ensuite développés pour des problèmes de

revêtement d'épaisseur constante en élasticité [122125] et en thermo-élasticité [126,127].

Le développement et l'extension de SAM sont liés à la connaissance de solutions

ana-lytiques nécessaires à la discrétisation du problème en plusieurs problèmes simples connus.

Pour prendre en compte la plasticité dans SAM, Jacq et al. [117] ont implémenté les

solutions analytiques de Chiu [128, 129] sur les contraintes résiduelles générées par un

cuboïde de déformation uniforme dans un massif semi-inni. Ceci a permis ensuite de

résoudre des problèmes de contact élasto-plastiques.

Le problème de contact élasto-plastique par un modèle SAM est ainsi appliqué à l'étude

de plusieurs phénomènes physiques. On peut noter le développement d'une interaction

entre le comportement plastique et l'échauement par frottement par Boucly et al. [130].

A cet eet, le calcul plastique a été amélioré par l'algorithme de return mapping

déni par Simo et Taylor [131]. Une application au cas de contact glissant a été eectuée

par Chen et al. [132] pour étudier l'eet de début d'adoucissement et de fusion thermique.

Antaluca et al. [133, 134] ont appliqué un chargement tangentiel dans le cas du

contact en glissement total pour étudier l'inuence sur une surface rugueuse et de même

étudier le cas d'une charge roulante sur un semi espace élasto-plastique. Une étude a été

eectué pour le même modèle de charge roulante an de vérier l'inuence du rapport

d'ellipticité des surfaces en contact, partant des contacts circulaires aux contacts presque

cylindriques [135].

Au delà de la simplication du régime de glissement total, Gallego et al. [136] ont

proposé un modèle de contact pour les corps élastiques dans les conditions

d'adhé-rence/glissement. Ce modèle a été appliqué à la prédiction de l'usure des surfaces de

fretting [137] et dans une condition de glissement partiel [138]. Le modèle est capable

de prendre en compte chacun des trois modes de fretting [139] et a été couplé avec

la simulation FEM des pieds d'aubes pour étudier l'usure par fretting à l'interface

aube/disque [140]. Ce modèle a été appliqué également au cas des matériaux élastiques

multicouches [141]. Le modèle prend en compte le couplage entre le problème normal et

tangentiel résolus alternativement selon le processus de Panagiotopoulos. Des solutions

analytiques prenant en compte la plasticité pour le problème tangentiel ont été

déter-minées par Fulleringer et al. [142] et appliquées aux modèles de fretting et d'usure des

corps élasto-plastiques [143].

La plupart des travaux récents ont permis de coupler les modèles semi analytiques

de contact sec avec les contacts lubriés. La transition de l'usure douce à sévère des

contacts lubriés, toujours avec l'eet de la plasticité, a été étudiée par Bosman et

Shipper [144]. Le couplage entre les modèles de lubrication élastohydrodynamique

( elasto-hydrodynamic lubrication (EHL)) et les modèles de contact élasto-plastique

pour arriver aux modèles PEHL a été traité par Ren et al. [145].

Actuellement un eort considérable est déployé pour la considération de l'eet des

inclusions ou des inhomogénéités dans les corps en contact. Le modèle peut être appliqué

au problème de contact des massifs contenant des défauts ou des revêtements irréguliers.

Le cas du problème d'indentation sur des massifs élastiques contenant des inhomogénéités

est traité par Leroux et al. [146]. Le problème de roulement prenant en compte un eet

tangentiel avec un massif visco-élastique contenant des inclusions sphériques et/ou

ellipsoïdes a été résolus par Koumi et al. [147, 148]. Amuzuga et al. [149] ont également

étudié le cas du couplage entre problème plastique et inhomogéneité. L'indentation

élasto-plastique sur des massifs multicouches ont été étudié par Chen et al.[150] et utilise

la méthode des inclusions.

Les cas de roulement ont été également abordé par Nélias et al. [151] puis Vincent et

al. [152] pour traiter des problèmes d'endommagement par fatigue mais ces derniers ne

prennent pas en compte les eets tangentiels en condition de traction. Chen et Wang [153,

154] ont pris en compte l'eet tangentiel dans un contact sphérique, tout d'abord pour

eectuer une analyse thermo-mécanique des corps elasto-plastiques et ensuite pour une

analyse entre des matériaux élastiques dissimilaires en utilisant la méthode SAM. Un

modèle semi-analytique est récemment développé par Wang et al. [155] pour l'étude du

roulement tractif stationnaire d'un cylindre élastique sur une surface plane en présence

d'aspérités.

1.8 Conclusions

Il est généralement admis que les chaussées se dégradent sous l'action du trac

lourd, du climat et du vieillissement des enrobés constituant les couches de surface des

chaussées souples. Mais il apparait comme détaillé dans ce chapitre, des phénomènes de

dégradations devenus de plus en plus récurrents et provenant des sources mécaniques

telles que les arrachements des granulats aux points singuliers (rond point, virage, ...),

les top-down cracking et les ornières d'instabilité.

S'agissant des dégradations initiées en surface, l'objectif principal de ce travail est

alors d'étudier de façon plus précise le contact Pneu-Chaussée, donc les contraintes

surfa-ciques issues de l'interaction entre le Pneu et la Chaussée et leurs impacts sur la réponse

d'une chaussée souple et plus précisément dans les premiers centimètres. Ainsi, il est alors

détaillé dans ce chapitre, les bases de la mécanique du contact et les travaux qui ont

été eectué dans son champ d'application. La mécanique du contact utilisant un modèle

semi-analytique est alors utilisé dans ce travail de thèse an de pouvoir rechercher le

comportement de la structure chaussée soumise à une charge roulante tractif.

Chapitre 2 :

Modélisation numérique du contact

roulant tractif élastique par la méthode

Dans le document Modélisation avancée du contact pneu-chaussée pour l'étude des dégradations des chaussées en surface (Page 62-67)