Calcul des déplacements élastiques et résiduels en surface . 92

Comme dans le chapitre précédent, les déplacements élastiques sont donnés par les

potentiels de Love [159] pour une distribution de pression sur une surface élémentaire

rec-tangulaire. Ainsi, une discrétisation de la surface de contact enN_séléments rectangulaires

où sont réparties des pressions uniformes p mène à l'équation du déplacement élastique

est donnée par :

u^e_z(A) =

N

s

X

n=1

p(n)D^p(n) (3.23)

où Dp sont les coecients d'inuence. De même, on peut calculer les déplacements

tan-gentiels dus aux cisaillements. Comme dans la résolution du problème élastique évoquée

au chapitre précédent, la DC-FFT est appliquée à l'équation (3.23).

Déplacements résiduels

Pour calculer la composante normale du déplacement résiduel en surface, il est

néces-saire de faire une mise à jour de h(x, y)de l'équation (3.2). Ainsi, le volume plastiqueΩ_p

est discrétisé en N_v cuboïdes notés Ω_c. De l'équation (3.15a) on peut écrire l'expression

du déplacement résiduel normal u^r_z généré par les N_v cuboïdes,

u^res_z (A) = 2µ_l

N

v

X

n=1

Z

Ω

c

ε^pl_ij(n)ε^∗_zij(M, A)dΩ. (3.24)

En supposant que les déformations plastiques sont constantes dans chaque cuboïde,

on peut écrire que :

u^res_z (A) = 2µ_l

N

v

X

n=1

ε^pl_ij(n)

Z

Ω

c

ε^∗_zij(M, A)dΩ =

N

v

X

n=1

ε^pl_ij(n)D^r_zij(n) (3.25)

avec

D^r_zij =µl

Z Z Z

Ω

c

(u^∗_zi,j +u^∗_zj,i)dxdydz. (3.26)

Le calcul des fonctions Dr

zij est détaillé en annexe A.4. De même, on calcule les

compo-santes tangentielles du déplacement résiduel en surface.

3.2.1.4 Contraintes résiduelles dans un espace semi-inni

Les contraintes élastiques en sous couche sont calculées à partir des potentiels de

Love [159] pour des contraintes surfaciques connues. La diculté dans le problème

élasto-plastique réside dans le calcul des contraintes résiduelles qui est une étape de

l'algorithme consommant beaucoup de temps. Son ecacité est donc cruciale pour la

rapidité de la méthode. De plus, les contraintes résiduelles étant à l'origine de la diérence

entre une solution élastique et le résultat eectif d'une simulation élasto-plastique, leur

précision est également fondamentale. Ainsi, pour accélérer le calcul numérique, une

tech-nique de transformée rapide de Fourier 3D (3DFFT) sera utilisé par Zhou et al. [118] et

sera reprise par Chaise [88]. Les détails de cette méthode peuvent être retrouvés dans [88].

Dans ses travaux sur la théorie continue de plasticité et de dislocation, Mura [179] a

précisé qu'en présence de déformations initiales, un corps ni avec une surface sans

trac-tion peut être traité comme un corps inniment étendu, si des contraintes normales et

de cisaillements égales et opposées sont appliquées en surface, compensant celles

corres-pondant à la solution spatiale. Par conséquent, Chiu [129] propose une décomposition du

domaine semi-inni en présence d'un cuboïde. En eet, il considère une zone cuboïdale

de déformation plastique constante dans un espace semi-inni qui se décompose en trois

domaines. Ainsi, la contrainte résiduelle est calculée à partir de la superposition de trois

solutions comme illustré sur la gure 3.2. La solution (a) correspond à la solution dans

O

ɛ^pl

y

z

O

ɛ^pl

x

y

z

O ^x

y

z

ɛ^plm

O x

y

z

(a) (b) (c)

surf

Figure 3.2 Superposition de solutions pour le calcul de la contrainte résiduelle selon la

décomposition de Chiu. (a) Cuboïde de déformation plastique constante dans un espace

inni, (b) une image du cuboïde dans l'espace inni, (c) espace semi-inni avec distribution

de la contrainte de contact normale.

un espace inni en présence de cuboïde de déformation plastique constante. La solution

(b) correspond à la solution dans l'espace inni en présence de l'image du cuboïde de

déformation plastique constante tel que :

ε^pl =ε^plm, avec ε^pl_xz =−ε^plm_xz et ε^pl_yz=−ε^plm_yz . (3.27)

La superposition des deux solutions (a) et (b) laisse le plan médian sans contraintes

tangentielles. Enn, la solution (c) correspond au semi-espace sur lequel est appliquée

une contrainte normale obtenue sur le plan médian des deux solutions (a) et (b) qui est le

double de chaque solution prise séparément. On obtient à la n la solution du semi-espace

en présence du cuboïde de déformations plastiques constantes dont la surface est sans

contrainte. En notant par M₀(x₀, y₀, z₀)la location du cuboïde, la contrainte résiduelle en

un point M(x, y, z)de l'espace semi-inni est donnée par l'expression suivante :

σ^res_ij (x, y, z) =B_ijkl(x−x₀, y−y₀, z−z₀)ε^pl_kl(x₀, y₀, z₀)

+B_ijkl(x−x₀, y−y₀, z+z₀)ε^plm_kl (x₀, y₀,−z₀)

−F_ij(x−x₀, y−y₀, z)σ^surf(x₀, y₀,0),

(3.28)

avec,

σ^surf(x₀, y₀,0) =−B_ijkl(x−x₀, y−y₀, z−z₀)ε^pl_kl(x₀, y₀, z₀)

−B_ijkl(x−x₀, y−y₀, z+z₀)ε^plm_kl (x₀, y₀,−z₀). (3.29)

Le calcul des coecients du tenseur B et F est détaillé par Jacq et al. [117]. Dans

la résolution numérique du problème, la DC-FFT est utilisée à chaque profondeur de

déformation plastique et la FFT n'est eectuée qu'en deux dimensions (2DFFT). Ainsi,

l'eet tri-dimensionnel est calculé en trois sous problèmes avant de faire une somme

des contraintes résiduelles ce qui permet un gain de temps considérable par rapport au

2DFFT. Cette méthode a été proposé par Zhou et al. [118] et est appelée la 3DFFT.

Elle est utilisée pour calculer les contraintes dans un espace inni générées par un

cuboïde ou son image an d'augmenter la vitesse de calcul. Cette technique 3DFFT a été

reprise, implémentée dans le code semi-analytique actuel et validée par Chaise [88]. La

méthode de superposition ou décomposition de Chiu pour retrouver le champ élastique

en semi-espace est souvent qualiée de méthode indirecte.

Une formulation directe est utilisée par Liu et Wang [121]. Cette formulation utilise les

solutions de semi-espace de Mindlin et Cheng [180] ou des solutions beaucoup plus

géné-rales reportées par Yu et Sanday [119] pour des semi-espaces communs. Liu et Wang [121]

ont détaillé l'ensemble des formules pour les coecients d'inuence en terme de

déri-vés de quatre intégrales clés et sont utilisées pour exprimer les champs élastiques causés

par des distributions arbitraires des eigenstrains en semi-espace. Étant donnée que le

semi-espace est maillé en plusieurs cuboïdes de mêmes tailles, le champ élastique total est

obtenu par implémentation des algorithmes basés sur la FFT. En eet, les produits de

convolution sont calculés en utilisant la DC-FFT et les produits combinés de convolution

et de corrélation sont calculés par combinant la convolution discrète avec la corrélation

discrète et la FFT (DC-DCR-FFT) [121].

Dans le document Modélisation avancée du contact pneu-chaussée pour l'étude des dégradations des chaussées en surface (Page 113-116)