Méthode par éléments nis (fem), positionnement

− Z Ω δγ∇v^d· ∇v^sdΩ + E X e=1 δz_e Z E_e jd ·n
(js ·n) dΓ ) (3.25) L'analyse de sensibilité présentée à l'Eqn. 3.25 est cohérente avec les travaux antérieurs [45]. En termes d'impédance de transfert, elle se traduit par l'Eqn. 3.26 en considérant uniquement des variations d'admittance [98, 164]. δZ = ^δusd I ⁼ −1 I2 Z Ω δγ∇v^d· ∇vs dΩ (3.26)

La démarche suivie jusqu'à présent travaille sur des variations élémentaires des quantités phy-siques.

L'inuence de la distribution d'admittivité peut également être identiée de manière globale. La conservation de la densité de courant, Eqn. 3.2, se traduit sous forme faible par R_Ωjd· ∇w dΩ = R

∂Ωwjd·n dΓ. En choisissant la fonction de forme w = vs , la prise en compte des conditions aux limites d'injection de courant conduit à l'Eqn. 3.27.

Z Ω γ∇v^d· ∇vsdΩ = E X e=1 v^s_e Z Ee −jd·n dΓ = E X e=1 v^s_ei^d_e (3.27) L'impédance de transfert d'une conguration source détecteur Zsdest alors déterminée par l'Eqn. 3.28, avec usd= vs

C−vs

Dpour un détecteur entre les électrodes C et D. L'intégration est menée sur les diérents sous-domaines du milieu étudié, e.g. organes, composants. La contribution de chaque sous-domaine à l'impédance totale est ensuite évaluée [207].

Zsd= ^usd I ⁼ −1 I2 Z Ω γ∇v^d· ∇vsdΩ (3.28)

D'autres analyses de sensibilité peuvent également être retracées en fonction de la forme du contour et de la position des électrodes [70, 71, 72].

3.2 Résolution sur un maillage primaire : fem

Le problème direct formulé précédemment est résolu de manière analytique ou numérique. L'approche analytique fournit la solution la plus précise. Cependant, elle s'applique pour un nombre limité de modèles, qui comprennent des géométries simples, comme des sphères concentriques, des cylindres [233, 76]. Cette approche bénécie d'une grande ecacité de calcul. Elle est utilisée aujourd'hui pour des applications industrielles et médicales (ventilation pulmonaire). Les méthodes numériques sont plus génériques. Elles sont préférées pour le traitement des géométries complexes en imagerie médicale.

3.2.1 Méthode par éléments nis (fem), positionnement

La méthode des éléments nis (fem) est une méthode numérique de résolution des équations aux dérivées partielles (pde). Elle fournit une approximation éléments nis de la solution, et traite eca-cement les conditions aux limites, les non-linéarités et les maillages irréguliers.

Discrétisation, approximation en dimension nie

En fem, le domaine d'étude Ω est partitionné en Nk sous-domaines appelés éléments nis, Fig. 3.6. Ces éléments sont essentiellement des triangles en 2D et des tétraèdres en 3D. Les sommets de chaque élément sont les n÷uds du maillage. Ce maillage est appelé maillage primaire.

Figure 3.6  Exemple 2D de partition du domaine d'étude selon un maillage de Delaunay ; en rouge, les éléments nis ; en bleu, les n÷uds du maillage ; un exemple d'élément ni est mis en évidence.

L'inconnue, le potentiel électrique v, est approximée en dimension nie par sa projection sur une base de fonctions d'interpolation (ou fonctions de forme) {ϕf}^Nf

f =1 avec Nf et vf respectivement la dimension de l'espace des fonctions d'interpolation et le nombre de degrés de liberté, Eqn. 3.29. Les fonctions de forme sont prédéterminées sur des éléments de référence.

v(x) ' N_f X

f =1

v_fϕ_f(x) ∀x ∈ Ω (3.29)

Dans le cas d'une analyse à l'ordre 1, le potentiel électrique est décomposé sur une base de fonctions linéaires par morceaux, Fig. 3.7. v est alors linéaire par morceaux (pwl) sur les éléments du maillage, et le champ électrique constant par élément. L'Eqn. 3.29 prend la forme de l'Eqn. 3.30, aussi notée sous forme vectorielle, avec vn l'approximation du potentiel électrique au n÷ud n.

Figure 3.7  Exemple de fonctions d'interpolation d'ordre 1 ; gauche : une fonction d'interpolation ϕJest présentée sur le maillage complet : elle vaut 1 sur un n÷ud J donné et 0 sur les autres n÷uds ; droite : extraction de cette fonction d'interpolation sur un élément (J, K, L) voisin de J, ϕJ |IJKL; d'après [130].

v(x) ' N_n X n=1 v_nϕ_n(x) = ϕT n(x)vn ∀x ∈ Ω (3.30)

Concernant les inconnues liées aux potentiels d'électrodes, les fonctions de forme correspondantes sont choisies égales aux fonctions caractéristiques d'appartenance aux électrodes χe(polynômes d'ordre 0).

Positionnement des apports à la problématique de résolution du problème direct par fem Deux possibilités existent pour la résolution du problème direct en eit par fem :

1. développer une librairie dédiée, e.g. eidors [8] et la libraire de P. Hadwin [116] ; 2. adapter une librairie généraliste, e.g. comsol Multiphysics R.

Une analyse des avantages et des inconvénients de chacune de ces approches est proposée Tab. 3.1.

Table 3.1  Analyse des librairies de résolution du problème direct en eit.

Librairie Avantages Inconvénients

Dédiée

Prise en compte du cem en tant que condi-tions frontières

Développements longs et coûteux (implémentation et débogage) Docu-mentation limitée

Accès aux produits des gradients de fonc-tion de forme par élément pour l'analyse de sensibilité

Hypothèses de calcul simpliées : domaine réel, isotropie, fonctions de forme d'ordre 1

Maillages et géométries sommaires

Généraliste

Outils développés et maintenus par des tiers ; méthodes numériques éprouvées

Modèle d'électrode limité [169, 293] : dispositifs ponctuels [54] ou repré-sentation nécessaire des électrodes dans leur épaisseur pour le cem (ajout inutile de degrés de liberté) [10, 207]

Nombreuses hypothèses de calcul ; cou-plages multiphysiques

Impossibilité d'accès aux gra-dients des fonctions de forme par élément pour l'analyse de sensibilité [169]

Gestion des maillages denses et parallélisa-tion des calculs

Les contributions de ce travail concernent les deux approches identiées pour adresser la résolution du problème direct :

1. une analyse du fonctionnement des librairies dédiées est proposée à travers l'écriture de la ma-trice d'admittance augmentée ; elle mène à une factorisation de la mama-trice de sensibilité, mise à prot au chapitre 4 dans le cadre des méthodes de transport pour estimer les paramètres sans assembler la matrice Jacobienne ;

2. une méthode pour résoudre les problèmes identiés dans la littérature et outrepasser les limitations apparentes des librairies généralistes est mise en avant ; le cem est analysé et une implémentation sous la forme d'une matrice d'admittance non augmentée est mise en avant ; elle évite la représentation des électrodes dans leur épaisseur.

Les implémentations relatives à ces deux voies de développements sont détaillées, appliquées et com-parées. Elles se révèlent concordantes, et laissent entrevoir les limites des librairies dédiées.