Analyse de sensibilité en fve

~ AB ∧ ~AM^· ~n − ¹ 4  ~ AC ∧ ~AM^· ~n = ¹ 4  ~ CB ∧ ~AM^· ~n (3.75)

Ces contributions élémentaires dépendent uniquement de la géométrie du maillage et de la position des électrodes ; en particulier, elles ne dépendent pas des paramètres physiques : conductivité et impédance de contact. Dans l'implémentation, cela permet de mettre à jour la matrice d'admittance qui décrit le problème direct de manière transparente lorsque la conductivité et les impédances de contact sont modiées, lors du processus d'inversion, pour un maillage donné.

3.3.4 Analyse de sensibilité en fve

Sensibilité aux n÷uds

Selon l'approche adjointe, la sensibilité de la mesure usd en fonction de la variation de conductivité σn d'un volume de contrôle Ωn s'exprime par l'Eqn. 3.76, avec I le courant injecté dans le milieu. Cette formulation est issue des Eqn. 3.25 et Eqn. 3.54. Elle fait intervenir la densité de courant dans les congurations source et détecteur, indexées s et d. Traditionnellement, Ωn est choisi égal à un élément du maillage en fem au premier ordre ; le calcul de sensibilité est alors simplié avec ^js_σ^·2^jd constant.

[J]sd,n=^∂usd ∂σn = −1 I Z Ωn js·jd σ2 dΩ (3.76)

L'idée sous-jacente à l'approche fve consiste à choisir les volumes de contrôle égaux aux cellules de Voronoï. Ces dernières constituent des domaines d'inuence naturels pour chaque n÷ud du domaine d'étude.

Un lien peut être déterminé entre les sensibilités par cellules duales Jd et primales Jp, Eqn. 3.77. Il permet le calcul des premières à partir des secondes et simplie le processus d'inversion en fem [105].

∂u_sd ∂σn =−1 I Nk X k=1 Z Π_n∩Pk ∇v (i^s) · ∇v i^d
dΩ =−1 I Nk X k=1 ∇v_|Pk(i^s) · ∇v_|Pk i^d
Z Π_n∩Pk dΩ = Nk X k=1 kΠ_n∩ P_kk kPkk ∂u_sd ∂σk (3.77)

Ce processus correspond à une moyenne pondérée des sensibilités des éléments qui intersectent la cellule de Voronoï considérée. Les facteurs de pondérations sont des proportions surfaciques. Cette approche est particulièrement coûteuse.

La démarche suivie consiste à eectuer une approximation supplémentaire pour éviter le calcul des coecients Jp et déterminer directement les quantités Jd. Elle consiste à considérer les champs électriques constants par cellule de Voronoï. Ces derniers sont calculés aux n÷uds du maillage.

Le calcul de l'Eqn. 3.76 se réduit alors à l'Eqn. 3.78, où js n et jd

n désignent l'approximation de la densité de courant au n÷ud n calculée dans les congurations source et détecteur respectivement.

[J]d sd,n=^∂usd ∂σ_n ⁼ −kΠnk I js n·jd n σ2 n (3.78) Cette démarche conduit à une complexité de calcul réduite en termes de mémoire et d'assemblage. En eet, la taille de J ∈ RM ×N_n est proportionnelle au nombre de n÷uds du maillage Nn et non à celui du nombre d'éléments Nk; en pratique, Nk < Nn d'un facteur 2 ou plus, notamment en 3D. Par rapport à une formulation analogue tirée de la fem, la résolution du problème direct par fve apporte une description de la densité de courant, ingrédient essentiel du calcul de sensibilité, dèle à la physique du problème, en assurant sa conservation locale entre cellules de Voronoï.

Reconstruction des gradients par moindres carrés, matrice Jacobienne

Les sensibilités pour chaque conguration de mesure sont déterminées par le biais d'une reconstruction de gradients par moindres carrés (cf. annexe B.3) [130, 131]. Cette méthode fournit des opérateurs de dif-férentiation Wc∈ RNn×Nn, selon les coordonnées c de l'espace. Ils dépendent uniquement de la géométrie du maillage. De manière analogue à la fem, ces opérateurs permettent de déduire les champs électriques dans l'ensemble des congurations source - détecteur, puis les schémas de sensibilité (cf. section 3.2.4).

Il convient de noter que l'analyse de sensibilité nodale proposée suppose une discrétisation constante par morceaux, sur les cellules de Voronoï, des paramètres de conductivité. Elle est parti-culièrement adaptée au cas de la résolution par fve du problème direct en eit. De plus, elle permet de réduire les coûts de mémoire et d'assemblage par rapport à une analyse de sensibilité par éléments.

Cette démarche a également été mise à prot section 3.2.4 an de permettre l'analyse de sensibilité au sein de librairies fem généralistes. Dans ce cas d'application, cela suppose toutefois une approxi-mation supplémentaire concernant la discrétisation de la conductivité et les champs électriques.

3.3.5 Mise en ÷uvre numérique

La mise en ÷uvre de la méthode fve s'appuie sur des travaux initialement prévus pour le traitement de la tomographie optique diuse [130] et adaptés dans le cas d'électrodes ponctuelles en eit [34]. Les développements ont consisté à intégrer le code disponible pour traiter l'équation de diusion, et à l'adapter pour prendre en compte les spécicités de la physique électrique au niveau des conditions aux limites, i.e. le modèle d'électrode complet.

La résolution par fve est ajoutée comme méthode supplémentaire de résolution du problème direct en eit au sein de la librairie orientée objet mise en place avec la fem.

Vérication des performances

L'implémentation a été validée (i) par rapport à des solutions analytiques, avec des résultats exacts à la précision machine ; (ii) en comparaison avec une implémentation fem. Une cohérence globale est observée, malgré les hypothèses de travail diérentes.

Problème direct et analyse de sensibilité en fve

La démarche adoptée est similaire à celle suivie pour la mise en ÷uvre de la fem : le fantôme numérique est identique, Fig. 3.13. La principale diérence provient de la discrétisation des paramètres d'intérêt, la conductivité, choisie constante par morceaux sur les cellules de Voronoï, i.e. les entités du maillage secondaire. La distribution de potentiel et les lignes de courant prédites sont dèles aux attentes, des gures similaires à la Fig. 3.22 peuvent être tracées en fve.

L'implémentation des opérateurs de diérenciation nodaux Wc, calculés par reconstruction de gra-dients, est vériée, par rapport à leurs homologues fournis par comsol, au niveau des champs électriques nodaux. Pour des éléments nis d'ordre 1 ou 2, les deux méthodes de calcul fournissent des gradients strictement identiques, pour les fantômes numériques considérés jusqu'à présent, avec des maillages de diérente nesse. Ceci indique vraisemblablement que comsol utilise la même procédure pour évaluer les gradients des champs calculés.

Une analyse de sensibilité peut être conduite en suivant la même démarche que celle utilisée en fem. Une comparaison entre les quantités δu et Jδσ est eectuée. Les situations considérées correspondent à la présence d'une inclusion soit centrée, Fig. 3.36, soit décentrée, Fig. 3.37, avec un écart relatif de conductivité relativement faible δσ = 0.01 S · m−1.

Dans le cas de la fve, les valeurs moyennes et les déviations standard du ratio entre δu et Jδσ sont légèrement inférieures à celles calculées en fem : pour le cas décentré, la moyenne vaut 0.9940, avec une déviation standard de 3.8×10−3; pour le cas centré, la moyenne vaut 0.9948, avec une déviation standard de 2.2 × 10−3. Les diérences avec la fem s'expliquent par les approximations eectuées pour déduire l'Eqn. 3.78 à partir de l'Eqn. 3.76.

(a) δU (b) unvec (Jδσ) (c) Rapport δU / unvec (Jδσ)

Figure 3.36  Analyse de sensibilité en fve, inclusion centrée, écart relatif de conductivité 0.01 S · m−1.

(a) δU (b) unvec (Jδσ) (c) Rapport δU / unvec (Jδσ)

Figure 3.37  Analyse de sensibilité en fve, inclusion décentrée, écart relatif de conductivité 0.01 S · m−1.

Ainsi, pour un contraste de 1 %, l'erreur relative entre δu et Sδσ est comparable avec les valeurs obtenues en fem, avec toutefois un ordre de grandeur au niveau de la déviation standard pour cette dernière.

3.3.6 Discussion et perspectives

En termes de contributions à la problématique du problème direct en eit, la formulation fve proposée et son implémentation lèvent certains verrous pour la prédiction des données par des techniques volumes nis. Le couplage fem - fvm fournit un cadre ecace pour la prédiction des potentiels aux n÷uds du domaine et les potentiels d'électrodes, avec la prise en compte du modèle complet d'électrodes. L'implémentation est quasi immédiate en 2D et en 3D : seules des quantités géométriques sont à calculer. Au niveau de l'analyse de sensibilité, la fve fournit un cadre naturel pour dériver une matrice de sensibilité aux n÷uds du domaine d'étude, contrairement à la fem qui fournit une matrice de sensibilité dont les dimensions sont proportionnelles au nombre d'éléments nis. Les écarts sur l'analyse de sensibilité entre fve et fem ne semblent pas signicatifs. De plus, l'eet de l'approximation du cadre fve devrait s'atténuer avec l'augmentation de la densité du maillage.

Ces développements seront mis à prot dans le chapitre 4 concernant l'estimation de paramètres, notamment dans le cadre de méthodes de transport et de l'inversion multispectrale, pour tirer parti de la réduction de dimension apportée par la fve, tout en conservant la précision sur les données prédites. En particulier, la fve apporte :

 une mise à jour ecace des paramètres de conductivité, pour des schémas d'inversion itératifs ;

 un gain notable en termes de ressources de calcul pour la matrice de sensibilité : la place mémoire et le temps d'assemblage sont réduits en utilisant la fve.

3.4 Conclusion et perspectives

La formulation du problème direct en eit a été écrite en termes de description de la physique sous-jacente (modèle d'électrode complet), de sa traduction mathématique, puis sous la forme de diérentes implémentations numériques. La prédiction des données et l'analyse de sensibilité ont toutes deux été analysées d'après les travaux antérieurs et les libraires de calcul déjà disponibles dédiées à l'eit.

Les contributions à la problématique de la modélisation numérique en eit concernent deux aspects :  la proposition d'une méthodologie pour prendre en compte les conditions aux limites du modèle d'électrodes complet sous la forme d'une condition de Neumann et permettre l'utilisation de librairies fem généralistes, e.g. comsol ; ce point permet d'envisager le traitement de modèles complexes et de coupler diérentes applications, e.g. pour des applications d'enregistrement et de stimulation électriques [231] ;

 le développement d'une technique mixte éléments nis - volumes nis (fve) ; elle ore la possibilité de prendre en compte la physique de l'eit, à travers les méthodes éléments nis, tout en conservant les avantages de rapidité et de simplicité de mise en ÷uvre des méthodes volumes nis. Une boîte à outils a été mise en place sous Matlab en orienté objet. Elle intègre les développements mentionnés précédemment, ainsi que les travaux de l'état de l'art. En termes d'implémentations, les coor-données barycentriques ont été utilisées pour calculer les diérents éléments de la matrice d'admittance. Cette librairie a été mise à prot pour comparer les diérentes techniques de prédiction, et permet à la fois le traitement de modèles complexes, ou de modèles moins sophistiqués mais avec un souci dans la rapidité d'exécution.

L'analyse de sensibilité a montré que l'écart entre les tensions calculées non bruitées et les tensions déduites de la matrice de sensibilité sont très proches pour des faibles contrastes de conductivité. La considération de forts contrastes met en évidence le caractère fortement non linéaire de l'opérateur de mesure en eit.

La méthode fve ore un cadre naturel pour exprimer la matrice de sensibilité aux n÷uds du maillage primaire constitué des éléments nis. A travers une approximation qui considère le champ élec-trique constant par cellule de Voronoï, les dimensions de la Jacobienne en fve sont le nombre de mesures par le nombre de n÷uds ; alors qu'en fem, ces dimensions sont le nombre de mesures par le nombre d'éléments. Le gain en termes d'espace mémoire et de temps d'assemblage est considérable, alors que les approximations eectuées ne semblent pas inuer sur les résultats.

La factorisation de la matrice Jacobienne en eit, sous la forme d'une somme sur les coordonnées de produits de Khatri-Rao, ouvre des perspectives en termes de gestion de la problématique d'inversion. Elle sera mise à prot au chapitre 4.

Ces travaux ont fait l'objet de la rédaction de trois proceedings pour les conférences eit 2015 (pré-sentation orale), Gretsi 2015 (pré(pré-sentation orale), et comsol 2015 (pré(pré-sentation orale).

Problème inverse

La résolution du problème de conductivité inverse est l'une des problématiques les plus ardues liées à la tomographie d'impédance électrique ( eit). Alors que le problème direct est bien conditionné, le problème inverse est à la fois non-linéaire quant à la distribution de conductivité, et mal posé, notamment en termes de stabilité de la solution face à des perturbations de données. Qui plus est, des contrastes d'impédance élevés existent entre les diérents tissus pour les applications cliniques de l'eit. Dans le cas particulier d'un nerf, la présence de structures géométriques nes requiert un maillage dense. Le nombre de paramètres à estimer est donc élevé. Ce processus se révèle particulièrement exigeant en termes de ressources de calcul, et nécessite le développement de méthodes adaptées.

Après un panorama des méthodes classiques d'inversion, à travers une introduction à l'estimation par moindres carrés, ce chapitre détaille leur mise en ÷uvre, à la fois sur données numériques simulées bruitées et sur données expérimentales acquises in vitro. Trois démarches sont ensuite proposées pour abor-der la complexité de l'inversion à large échelle. La première approche utilise des notions de transport entre l'espace des images et l'espace des données. Elle fournit une forme compacte pour représenter l'infor-mation intrinsèque au système étudié et nécessaire à la reconstruction. Elle permet de limiter les ressources calculatoires nécessaires avec l'utilisation de méthodes itératives. Les deux autres techniques concernent la problématique d'inversion multifréquence. L'une s'attache à la prise en compte de contraintes spectrales, avec la présentation d'une méthodologie d'estimation de paramètres sous contraintes au sein de variétés. L'autre détermine de manière conjointe la conductivité et le spectre des tissus du domaine par une approche reconstruction - classication, pour laquelle une implémentation à large échelle est détaillée. Ces développements bénécient des méthodologies de prédiction de données exposées au chapitre précédent, notamment le cadre nodal pour la sensibilité obtenue par des méthodes mixtes éléments nis - volumes nis ( fve), qui réduisent la taille de la matrice de sensibilité sans perte d'information.

Sommaire

4.1 Estimation de paramètres en eit . . . 109 4.1.1 Moindres carrés pondérés . . . 109 4.1.2 Minimisation de la fonction de coût . . . 110 4.1.3 Algorithmes de minimisation . . . 112 4.1.4 Inversion robuste, forme de Kalman / Wiener . . . 114 4.1.5 Imagerie diérentielle . . . 114 4.2 Application des techniques classiques d'inversion . . . 115 4.2.1 Positionnement . . . 115 4.2.2 Problème inverse avec des données numériques simulées . . . 115 4.2.3 Problème inverse avec des données expérimentales . . . 119 4.2.4 Estimation robuste . . . 120 4.2.5 Discussion et perspectives . . . 121 4.3 Méthodes de transport . . . 122 4.3.1 Positionnement . . . 122 4.3.2 Transport direct et adjoint . . . 122 4.3.3 Factorisation de la Jacobienne, opérateurs de transport implicites . . . 123 4.3.4 Applications 2D et 3D . . . 125 4.3.5 Discussion et perspectives . . . 127 4.4 Inversion sous contraintes spectrales . . . 128 4.4.1 Positionnement . . . 128 4.4.2 Modèle de mélange . . . 129 4.4.3 Fonction objectif, gradients . . . 130 4.4.4 Méthodologie d'inversion sous contraintes . . . 131 4.4.5 Mise en ÷uvre . . . 132 4.4.6 Discussion et perspectives . . . 135 4.5 Approches reconstruction - classication . . . 136 4.5.1 Positionnement . . . 136 4.5.2 Modèle de mélange de distributions Gaussiennes (gmm) . . . 137 4.5.3 Reconstruction des distributions de conductivité . . . 137 4.5.4 Mise en ÷uvre . . . 140 4.5.5 Discussion et perspectives . . . 143 4.6 Conclusion et perspectives . . . 145

4.1 Estimation de paramètres en eit