STRUCTURE ORTHOTROPE RAIDIE DANS DEUX
III. G. Limites du modèle : validations numériques et expérimentales
Le développement d’une méthode de calcul passe nécessairement par une phase de validation des résultats via des comparaisons numérique/expérience ou encore numérique/numérique. En ce sens, des comparaisons croisées entre des résultats expérimentaux et issus de plusieurs méthodes de calculs numériques ont permis de montrer la pertinence d’un
grand nombre de simplifications réalisées dans notre modèle mais aussi de mettre en défaut certaines hypothèses.
Dans cette optique, des campagnes de mesures ont fait office de première phase de validation. Celles-ci se sont déroulées au LVA dans le cadre du stage de Master 2 recherche M.E.G.A de Pierre Margerit [Marg15] sur une table d’harmonie de Pleyel P131 (Figure III–33), laquelle avait servi pour la mise en données du modèle présenté jusqu’ici. Cette table d’harmonie a été séparée du meuble pour élaborer un montage destiné à créer un encastrement. Elle a par la suite été montée dans la fenêtre de transparence d’une salle réverbérante de façon à reconstituer les conditions de baffle pour des mesures de rayonnement.
La structure est excitée par un bruit blanc au chevalet dont les vibrations sont mesurées avec un vibromètre laser à balayage POLYTEC PSV-400 sur un maillage d’environ 4600 points. La bonne séparation des résonances en basses fréquences permet alors de mesurer directement les déformées propres de la table d’harmonie. Ces mesures ont montré une très bonne correspondance spatiale entre les déformées expérimentales et issues du modèle analytique, en témoigne la Figure III–34 extraite de [Marg15]. Malgré les simplifications géométriques (chevalets rectilignes, hauteurs de sifflets non progressives, orientations des barres de mouchoirs) le modèle analytique permet donc de calculer des champs de déplacements pertinents au regard de l’expérience. Cependant à l’inverse des déformées propres, les fréquences sont sensiblement différentes. A titre d’exemple, le premier mode est calculé à 100 Hz au lieu de 66 Hz, ce qui est symptomatique d’une structure trop raide. Sur les autres types de mesures effectuées, comme la puissance acoustique rayonnée ou encore le coefficient de rayonnement, les écarts ont pour répercussion d’introduire un décalage en fréquence des courbes vers le haut, sans en modifier les tendances. La Figure III–35 illustre ce décalage sur la puissance acoustique rayonnée et le coefficient de rayonnement global de la structure qui est surestimé en BF.
Figure III–33 : Montage de la table dans la fenêtre de transparence d’une salle réverbérante vue du côté chevalet. Le montage permet de réaliser les conditions d’encastrement et de baffle nécessaires à la comparaison expérimentale avec le modèle.
Figure III–34 : Comparaison entre le modèle analytique et les mesures faites sur table d’harmonie bafflée encastrée : déformées basses fréquences. Extrait de [Marg15].
Figure III–35 : Comparaison entre le modèle analytique et les mesures faites sur table d’harmonie bafflée encastrée : puissance et coefficient de rayonnement de la structure. Extrait de [Marg15].
La problématique est alors de déterminer la ou les cause(s) principale(s) de ces écarts. Du fait d’une bonne correspondance spatiale mais non fréquentielle, les simplifications géométriques ne semblent pas les premières suspectes. En revanche, les effets de membrane ne sont pas pris en compte et seraient susceptibles de justifier ces différences. En effet, la structure n’est pas
Déformées opérationnelles expérimentales Déformées propres calculées
hypothèses de Love-Kirchhoff, on supprime alors deux degrés de liberté à la structure et on introduire donc de la raideur supplémentaire. Ceci explique alors le décalage des fréquences propres mais valide également l’exactitude des tendances décrites par notre modèle puisque ces effets perdent de l’importance en montant en fréquence, d’où un décalage des courbes vers le haut. On sait par ailleurs que pour une même déformée propre, plus sa fréquence est basse et moins le mode est rayonnant, ce qui justifie la surestimation du coefficient de rayonnement mentionnée précédemment.
Une double comparaison avec un modèle élément fini est réalisée afin de répondre à ces questions. Pour confirmer la validité des simplifications géométriques appliquées à notre modèle, ces dernières sont reproduites à l’identique dans un modèle 2D NASTRAN. Comme dans le chapitre précédent, la plaque non-rectangulaire orthotrope est encastrée et maillée avec des éléments coques PSHELL. Quant à elles, les superstructures sont maillées avec des éléments poutres PBEAM dont les inerties sont déportées du feuillet moyen de la plaque. Afin d’assurer la continuité des éléments coques et poutres à chaque nœud, le maillage de la plaque diffère de celui du chapitre précédent de façon à minimiser la distance entre les nœuds. La continuité entre les différentes pièces en contact est faite en appliquant des équivalences aux nœuds des éléments de chacune de ces pièces. La géométrie décrite est illustrée Figure III–36 et les simplifications géométriques réalisées sont les mêmes que dans notre modélisation. On distingue cependant deux cas de figure :
– Un modèle où la membrane est bloquée en imposant des déplacements nuls aux nœuds
du maillage dans le plan de la plaque,
– Un modèle où la membrane est laissée libre, seulement contrainte sur les bords par la
condition d’encastrement.
Figure III–36 : Modèle éléments finis de la table d’harmonie de Pleyel P131 : géométrie identique au modèle analytique.
a) b)
Contrairement au modèle FEM de la plaque orthotrope présenté au chapitre précédent, la taille du maillage doit ici être de 1mm pour assurer la convergence du modèle. La Figure III–37 propose une étude comparative de convergence des fréquences propres de notre modèle et du modèle NASTRAN (ici sans membrane) respectivement en fonction de la troncature modale et de la finesse du maillage.
Même si dans notre modèle, l’augmentation de l’ordre de troncature améliore la précision du calcul, ce résultat confirme bien que l’ordre déterminé dans la section III.E.1 est très acceptable. Par ailleurs, cet ordre de troncature est le même qu’il y ait ou non présence des superstructures. Le modèle éléments finis se comporte d’une façon toute autre. En effet, on constate une différence importante entre un maillage de 5mm et un maillage de 1mm. Ainsi, l’ajout des superstructures conduit à devoir considérablement augmenter le nombre d’éléments, et donc le temps de calcul, contrairement à notre modèle.
Ce résultat montre bien que les deux solutions convergent vers un même résultat à mesure que chacun des modèles devient de plus en plus raffiné. Notons par ailleurs une différence fondamentale entre les deux modèles : le modèle développé dans le cadre de cette thèse converge par le haut (diminution des fréquences propres : « assouplissement » lorsque la troncature augmente) alors que le modèle éléments finis converge par le bas. En effet, dans ce modèle éléments finis, les masses sont concentrées (la matrice de masse n’est donc pas cohérente avec celle de raideur) et non pas réparties par interpolation entre les nœuds du maillage, d’où un modèle « trop lourd » lorsque le maillage n’est pas assez fin et donc une augmentation des fréquences propres lorsque celui-ci se raffine. Cette différence décroit alors lorsque la taille des éléments diminue dans le modèle NASTRAN et/ou si l’ordre de troncature augmente dans notre modèle.
Figure III–37 : Étude comparative de convergence des fréquences propres entre le modèle analytique et le modèle NASTRAN (ici sans membrane) respectivement en fonction de la troncature modale et de la finesse du maillage.
Pour recentrer la discussion, les résultats des deux modèles FEM sont sensiblement différents en terme de fréquences propres. La Figure III–38 propose une comparaison des premières déformées propres de la table d’harmonie pour les quatre méthodes d’obtention : le modèle analytique, le modèle FEM sans membrane, le modèle FEM avec membrane et les
0 50 100 150 200 250 300 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 F ré q ue n c e [H z ] Numéro de mode Modèle analytique (P,Q) = (82,63) Modèle analytique (P,Q) = (120,100) MSC NASTRAN 5mm MSC NASTRAN 1mm
les quatre méthodes donnent des résultats sensiblement équivalents. En revanche, ils sont un peu différents concernant les fréquences propres. Comme nous pouvions le prévoir, celles de notre modèle et du modèle FEM sans prise en compte des effets de membrane sont très proches avec des écarts semblent-ils minimes. De la même façon, le modèle éléments finis avec la prise en compte des effets de membrane, recolle parfaitement avec les fréquences propres expérimentales. Ceci montre que les simplifications géométriques appliquées à notre modélisation sont bien négligeables au premier ordre et que les écarts fréquentiels observés sont essentiellement dus à l’hypothèse de membrane négligeable.
Pour compléter, la Figure III–39 donne la matrice de MAC entre les déformées calculées par l’intermédiaire de notre modèle et du modèle éléments finis sans membrane. A l’instar de l’étude menée à la section II.F du CHAPITRE II, les premières déformées propres sont très semblables entre les deux modèles. Cependant, en montant en fréquence les déformées propres perdent peu à peu en similitude, constatation qui n’est cependant pas alarmante puisqu’en hautes fréquences les aspects modaux deviennent de moins en moins pertinents. En effet, les modes de structure ne répondent plus de façon individuelle mais par paquet [Lesu88].
Ces comparaisons montrent que les simplifications géométriques réalisées dans notre modèle sont pertinentes. Ainsi, la prise en compte des sifflets, l’orientation exacte des barres de mouchoirs, la courbure du chevalet ou encore l’épaisseur variable de la plaque sont des seconds ordres et les négliger est tout à fait acceptable. Effets de membrane mis à part, ces résultats confirment les hypothèses réalisées dans notre modélisation selon lesquelles les barres peuvent êtres modélisées comme isotropes, l’absence de phénomènes de gauchissement dans les renforts, l’hypothèse de milieu mince appliquée aux barres et à la plaque ainsi que le principe général qui consiste à utiliser une plaque étendue puis à la contraindre afin de recréer les contours et l’angle d’orthotropie souhaités.
Figure III–38 : Comparaison des premières déformées propres de la table d’harmonie pour les quatre méthodes d’obtention : le modèle analytique, le modèle FEM sans membrane, le modèle FEM avec membrane et les déformées expérimentales.
Figure III–39 : Matrice de MAC entre les déformées calculées par l’intermédiaire de notre modèle et du modèle éléments finis sans membrane.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons terminé de mettre en place un modèle destiné à la prédiction des mécanismes vibroacoustiques des plaques orthotropes raidies de forme quelconque. Dans la continuité du CHAPITRE II consacré à la prise en compte de contours quelconques et à la prise en considération d’un angle d’orthotropie, nous avons ici introduit des renforts qui peuvent être orientés dans deux directions perpendiculaires, lesquelles correspondent aux axes d’orthotropie de la plaque « étendue ».
Nous avons également introduit le calcul du rayonnement acoustique d’une structure raidie non-rectangulaire encastrée. L’originalité de ce calcul étant d’utiliser les impédances de rayonnement acoustique d’une structure à ce jour parfaitement maitrisé, i.e la plaque rectangulaire simplement supportée bafflée, pour calculer le rayonnement acoustique d’une structure beaucoup plus complexe, ce qui était jusqu’ici limité au cas des structures rectangulaires.
Cette méthodologie a ensuite été appliquée à la table d’harmonie de piano droit et nous avons pu mettre en évidence quatre familles de modes étroitement liées aux domaines fréquentiels. Il ressort que les premiers modes d’une table d’harmonie et plus généralement d’une structure raidie sont semblables à ceux d’une structure non-raidie. En revanche, la montée en fréquence s’accompagne d’un paysage vibratoire beaucoup plus hétéroclite : les renforts se mettent progressivement à inhiber la vibration jusqu’à ce que les ondes ne puissent s’établir que dans les zones laissées sans barres. Conformément à ce que la littérature présente, on identifie également des
modes où la vibration est confinée entre quelques barres lorsque les longueurs d’onde deviennent de l’ordre de grandeur des espaces inter-raidisseurs.
L’outil développé nous a également permis de produire des cartographies du comportement vibroacoustique de la table d’harmonie. En considérant des indicateurs plus musicaux, nous avons également mis en évidence que le comportement des notes médiums et aigües est clairement différent et dépend de leur contenu spectral. Il ressort que les notes de l’extrême aigu souffrent d’une grande hétérogénéité tandis que les notes des 3ème et 4ème octaves ont un comportement plus homogène. Même si les études paramétriques menées montrent qu’il est possible de modifier légèrement l’aspect inhomogène dans les aigus, elles ont également mis en évidence toute la difficulté de « lisser » la réponse de la table d’harmonie dans ce même domaine.
Enfin, nous avons vérifié les hypothèses associées de notre modèle via une comparaison croisée avec des résultats expérimentaux et numériques. Malgré des effets de membrane non pris en compte dont il résulte un décalage des premières fréquences propres, les tendances décrites par notre outil sont correctes. Son utilisation à des fins d’études paramétriques devient alors pertinente.
Cependant, nous avons jusqu’ici traité exclusivement de la table d’harmonie qui constitue le récepteur des ondes présentes dans la corde. Il nous semble alors que le meilleur moyen de traiter les questions d’ordre musical soit d’introduire la notion de systèmes couplés cordes / table et de considérer le problème dans le domaine fréquentiel, logique dans laquelle le prochain chapitre s’inscrit.