D.4. Charge acoustique pariétale

∑ ∑ ( ) ( ) ( ) (II.19)

Compte tenu de cet effort extérieur, la formulation matricielle du problème devient : ̿ ^̿

̿ ^̿ ̿

(II.20) où ̿ ̿ ̿ ̿ et ^̿ ̿^̿ ̿.

En présence d’un amortissement de type modal, une matrice d’amortissement ̿ est introduite sur les vitesses généralisées dans la base du système (les mécanismes d’amortissement seront abordés plus en détail dans la section II.D.5). L’intérêt de calculer la réponse dans la base des modes de table d’harmonie est que cette matrice ̿ constitue l’amortissement des « vrais » modes et peut être ainsi obtenue expérimentalement. On donne alors l’expression du vecteur des amplitudes modales dans la base du système :

[ ̿ ̿ ^̿ ] ̿ (II.21)

Ou encore dans la base de la plaque étendue, i.e la base initiale :

[ ̿ ( ̿) ̿ ̿ ^̿ ] (II.22)

II.D.4. Charge acoustique pariétale

Le comportement vibratoire d’une structure couplée à un fluide ne va pas avoir le même comportement que dans le vide. En effet, plongée dans un fluide, toute structure vibrante échange de l’énergie avec son environnement. La pression acoustique qui en résulte vient s’appliquer sur la structure et ainsi perturber son comportement de façon d’autant plus importante que le fluide est lourd. Une façon de prendre en compte directement l’influence de cette pression acoustique pariétale dans les équations du mouvement est d’introduire une

̿ ̿ ^̿ (II.23) dont les termes sont calculés numériquement selon (voir ANNEXE F pour une démonstration complète du calcul de cette expression) :

( ) ∫ ∫ ^{( ) ( )} √( ₎ (II.24)

où désigne le complexe conjugué de et la transformée de Fourier d’une déformée bafflée.

Cette matrice ̿ complexe a trois effets : la partie imaginaire (réactance) apporte une masse ajoutée au système qui a pour conséquence de décaler les fréquences propres vers le bas ; la partie réelle (résistance) apporte un amortissement dû au fluide d’autant plus important que la fréquence est supérieure à la fréquence critique de l’objet (régime supersonique) ; un couplage des modes de structures dû aux termes extra-diagonaux, dont nous reparlerons dans le chapitre suivant. On note cependant que ces termes de couplage et de masse ajoutée par rayonnement sont habituellement considérés négligeables en fluide léger.

On donne finalement une expression du vecteur des amplitudes modales incluant un effort extérieur ponctuel harmonique, la pression acoustique pariétale et un amortissement modal dans chaque base par :

[ ̿ (( ̿) ̿ ̿ ̿) ^̿ ]

[ ̿ ( ̿ ̿ ̿ ̿) ^̿ ] ̿

(II.25)

Dans la pratique la charge acoustique pariétale n’est pas prise en compte directement dans l’équation du mouvement. Celle ci sera introduite dans les termes modaux de la matrice d’amortissement ̿ que nous allons développer dans la suite.

II.D.5. Mécanismes d’amortissement

L’amortissement joue un rôle déterminant dans le comportement vibratoire des structures et les mécanismes dissipatifs restent difficiles à modéliser, en particulier lorsque la

structure devient complexe. Le choix d’un modèle d’amortissement adéquat est indissociable du type de structure considéré, de son matériau et surtout de l’étude souhaitée.

Dans le cadre de la table d’harmonie de piano, il convient d’identifier les phénomènes dissipatifs susceptibles d’interagir avec la structure. Lambourg [Lamb97], entre-autres, propose une classification de ces mécanismes dans le cadre des plaques et il en résulte deux grandes catégories :

– Les pertes internes : phénomènes visco- et thermo-élastiques,

– Les pertes par couplage : pertes par transmission mécanique, perte par rayonnement

acoustique (interaction fluide/structure) ou encore les pertes par friction fluide.

En ce qui concerne les pertes par friction fluide, celles-ci semblent limitées aux mouvements de grandes amplitudes. Le modèle que nous développons se limite aux petites déformations. Par conséquent, nous ne nous intéressons pas aux pertes de ce type [CaVa95]. Les pertes par couplage mécanique sont également considérées nulles, les conditions aux limites étant supposées idéales.

L’importance des pertes internes dépend grandement des matériaux constituant la structure : les phénomènes viscoélastiques qui prédominent dans les matériaux peu conducteurs de la chaleur comme les polymères ou les bois ; et à l’inverse, les phénomènes thermoélastiques prédominant dans les matériaux conducteurs de la chaleur comme les métaux semblent être la première cause de dissipation en basses fréquences [CKBD08]. Notre domaine d’application se limite à des structures composées de bois où les dissipations d’origine thermoélastique sont a priori négligeables [Lamb97]. Il en découle que le facteur de perte total peut être écrit comme une somme des pertes par rayonnement et d’origine viscoélastique :

(II.26)

Les modèles de viscoélasticité linéaire cherchent à représenter un effet mémoire ou « fading memory » [Chri03] et partent du postulat d’un lien direct de cause à effet entre les déformations passées et les contraintes à l’instant présent. Il peut être représenté par un retard de phase de la contrainte sur la déformation (modèle de relaxation [CrHP05]) et se base sur l’hypothèse que le champ de contraintes à un instant donné dépend localement des valeurs antérieures du champ de déformations.

En régime harmonique, ce qui correspond à une excitation stationnaire et donc une absence de régime transitoire, une stratégie simple et couramment utilisée pour prendre en compte cette idée de déphasage entre les contraintes et les déformations infinitésimales consiste à introduire des rigidités complexes telles que ( ) où est le facteur de

cas, la fonction ( ) peut d’une part présenter des défauts de causalité et d’autre part une partie imaginaire.

Le choix d’un modèle d’amortissement modal s’impose donc puisque par définition causal. Cette dissipation est introduite par une matrice d’amortissement ̿ appliquée sur les vitesses généralisées du système [GéRi96]. Le problème généralisé en temps dans la base propre du système prend alors la forme suivante :

̿ _{̈ ̿ ̇ ̿ (II.27)}

où ̿ est une matrice pleine et symétrique et le vecteur des amplitudes modales dans la base du système.

Cependant, lorsque l’amortissement est faible, réparti de manière homogène et que les pulsations propres sont bien distinctes, Géradin & Rixen [GéRi96] montrent que les termes de couplage introduits par l’amortissement peuvent être négligés. Ainsi, dans le cas des systèmes faiblement dissipatifs, cette précédente hypothèse appelée hypothèse de Basile conduit à une matrice d’amortissement ̿ diagonale dont les termes sont définis par :

̿ ( ( ) ( ) ) ^̿ ( ( ) ( ) ) (II.28)

tel que les coefficients sont les facteurs de pertes modaux où l’indice désigne le nième mode propre de la structure.

Il se pose alors la question de l’évaluation de ces termes, qui d’après ce que nous venons de voir dans cette partie, sont la somme des dissipations viscoélastiques et par rayonnement (couplage fluide / structure). Cependant l’évaluation de chacune de ces contributions modales est difficile. En effet, il est primordial de ne pas confondre les paramètres d’amortissement matériaux et modaux. Dans le premier cas, la littérature concernant les bois étant abondante, il est possible de connaître les paramètres viscoélastiques matériau d’une espèce. Concernant l’épicéa (dont la table d’harmonie est généralement faite), Haines [Hain79, HaLH96] montre une grande disparité selon les espèces, selon la saison de coupe du bois ou encore son âge. De plus, il semble que les facteurs de perte dans la direction perpendiculaire à la fibre soient en moyenne 3 fois supérieurs aux facteurs de perte dans la direction de la fibre avec notamment un accroissement systématique en hautes fréquences (au delà de 5 kHz) [Fuka50].

Le passage entre les paramètres matériaux et modaux n’est sans difficulté en particulier dans le cadre des structures raidies comme la table d’harmonie. En supposant connus les paramètres viscoélastiques du matériau, McIntyre & Woodhouse [McWo78] ont pu exprimer les facteurs de perte modaux (via des coefficients de Rayleigh complexes5) associés aux modes d’une plaque dans plusieurs cas : des plaques isotropes, orthotropes (dont l’épaisseur pouvait varier) et pour différentes conditions aux limites. Dans le cadre des petites perturbations, les facteurs de perte modaux s’expriment donc comme une somme pondérée des dans les différentes directions :

∑

(II.29) où les coefficients de pondération sont définis par :

∬ ( ) ‖ ‖ ∬ ‖ ‖ ∬ ( ) ‖ ‖ ∬ ( ₎ ‖ ‖ (II.30)

Lambourg [Lamb97] propose une expression semblable des facteurs de perte modaux associés aux dissipations thermoélastiques. Cependant ces modèles restent limités à des cas de structures homogènes et par conséquent non adaptés à notre cas. Il serait notamment intéressant et ambitieux de développer un modèle d’amortissement viscoélastique se basant sur le même principe en incluant les énergies liées à la densité de ressorts et aux renforts (dont il sera question dans le CHAPITRE III) mais ce n’est pas le sujet de ce manuscrit.

Pour en revenir aux facteurs de perte modaux de la table d’harmonie, Ege [Ege09] donne une estimation des facteurs de perte modaux d’une table d’harmonie de piano droit via une analyse modale haute résolution et la méthode ESPRIT. Estimés non pas in vacuo mais dans l’air, on peut alors convenir que ces facteurs de perte représentent déjà la somme des dissipations d’origines viscoélastiques et par rayonnement. Comme l’atteste la Figure II–4, les facteurs de perte modaux sont globalement compris dans un cône délimité par des valeurs de facteurs de perte de 1 et 3% en dessous de 3000 Hz. Cette disparité peut s’expliquer par le fait que dans le cas d’une plaque orthotrope, qui plus est raidie, « les modes ne sont pas forcément amortis de la même façon selon leur direction d’orthotropie, ni selon leur nature (mode en flexion, mode en torsion, mode en cisaillement...) [Chab12]».

Figure II–4 : Paramètres d’amortissement mesurés entre 0 et 3 kHz sur une table d’harmonie de piano droit. Les facteurs de perte fluctuent entre 1 et 3 % sur la bande de fréquences [0 ;3000] Hz montrant la disparité des différents types de modes en terme d’amortissement. Extrait de Ege [Ege09].

On considérera dans la suite de ce manuscrit que les facteurs de perte modaux intervenant dans l’équation (II.28) ont tous une valeur égale à 2%.