4.2 Estimation des structures ` a grande ´ echelle ` a partir de la pression
4.2.1 Lien pression pari´ etale/structure proche paroi
Corr´elation pression pari´etale/vitesse
Pour analyser le lien entre la pression pari´etale et la structure d’´ecoulement proche paroi, on observe d’abord la corr´elation de pression pari´etale avec la vitesse au dessus. Cette corr´elation est trac´ee sur la figure 4.11 o`u la pression est prise pour trois positions sur la paroi x/LR ∼ 1; 1.25; 1.5. Les deux composantes (Rpu, Rpv) sont utilis´ees pour tracer des lignes de courant. On se r´ef`ere aussi `a la figure 1.9 issue de l’´etude de Kiya et al. ([Kiy83]) pour une mˆeme configuration. Dans cette ´
etude, les auteurs ont invers´e le signe de Cp pour orienter les lignes de courant. La pression pari´etale est prise `a x/LR= 1 (recollement moyen), la vitesse est mesur´ees `
a diff´erentes hauteurs au recollement et la vitesse selon x est d´eduite de la vitesse de convection par U (X0+ Uc∆t, t0) = U (X0, t0− ∆t).
Les lignes de courant form´ees `a partir des corr´elations mettent en ´evidence une grande “structure” au dessus du point o`u est prise la pression. Au recollement, la forme de ces “structures” est en bon accord avec l’´etude de Kiya et al. ([Kiy83]. Cette structure est centr´ee `a une hauteur yp/LR ∼ 0.18 et ses axes majeurs sont inclin´es par rapport `a l’axe vertical d’environ 45◦.
La comparaison du niveau des corr´elations est montr´ee quantitativement dans la figure 4.12 o`u les profils `a x/LR = 1 de Rpu et Rpv sont trac´es (corr´elations entre la pression au recollement et la vitesse). Les donn´ees de l’exp´erience ne sont pas fiables au dessus de yp/LR ∼ 0.2 (zone de mauvais ensemencement) donc on ne compare pas la corr´elation dans cette r´egion. Une ´etude similaire des profils de
4.2. Estimation des structures `a grande ´echelle `a partir de la pression pari´etale
Figure 4.11 : Corr´elation de la pression pari´etale (`a x/LR∼ 1; 1.25; 1.5 respectivement de haut en bas) et la vitesse pour l’exp´erience (`a gauche) et la simula-tion de DDES (`a droite). Les lignes de courant bas´es sur les composantes (Rpu, Rp,v). Les petits cercles sont les points de r´ef´erence de la pression pari´etale
Figure 4.12 : Profil `a x = LR de corr´elation de la pression pari´etale (`a x/LR∼ 1 et la vitesse pour l’exp´erience et la simulation de DDES avec les r´esultats de Kiya et al. ([Kiy83]) o`u la vitesse mesur´ee par des fils chauds et split-flims
Figure 4.13 : Profil `a x = LR de corr´elation de la pression pari´etale (`a x/LR= 1 et la vitesse (d’apr`es Kiya et al. [Kiy83])
4.2. Estimation des structures `a grande ´echelle `a partir de la pression pari´etale
corr´elation est faite par Kiya et al. ([Kiy83]) et est montr´ee dans la figure 4.13. (Nous avons aussi retrac´ee les valeurs de Kiya et al. [Kiy83] dans la figure 4.12). Un bon accord est trouv´e entre la simulation, l’exp´erience et les r´esultats de Kiya et al. Les corr´elations Rpuet Rpv se croisent en yp/LR∼ 0.18 o`u ces deux corr´elations deviennent nulles. Rpu a le signe inverse de Rpv selon y et en valeur absolue, Rpu est de l’ordre de deux fois plus grande que Rpv.
Moyenne conditionnelle
Les ´etudes de Kiya et al. ([Kiy85]) ont montr´e le lien entre les tourbillons `a grande ´echelle et la pression pari´etale en utilisant la moyenne conditionnelle (re-voir la figure 1.19). Cette moyenne conditionnelle est ´evalu´ee en moyennant les ´
ev`enements o`u la pression pari´etale fluctuante au recollement atteint un minimum inf´erieur `a H = 1.8 fois l’´ecart-type (la condition s’´ecrit Cp0(t) < −HC02
p
12 ). Ce seuil n’est pas clairement justifi´e dans leur ´etude. On applique ce calcul de moyenne conditionnelle dans notre cas pour la simulation et pour l’exp´erience. D’abord, on fait varier le seuil H = 0 ÷ 4 afin de v´erifier la sensibilit´e de la moyenne `a ce seuil. Les ´ev`enements de “vall´ee” de pression pari´etale fluctuante sont pris au recollement. Les valeurs de hU i /U∞ en quelques points sont montr´es dans la figure 4.14 pour l’exp´erience. Les cinq points sont choisis en x/LR = 0.75, 1, 1.25 et yp/LR= 0.02, 0.1, 0.2 (respectivement en proche paroi, en r´egion de grand cisaillement, limite sup´erieur de la zone cisaill´ee). Le nombre d’´ev`enements d´etect´es est aussi int´egr´e dans cette figure. On trouve que la moyenne varie peu pour H ≤ 2.5 o`u le nombre d’´ev`enements est assez grand. Pour H > 2.5, le nombre d’´ev`enement diminue et la moyenne n’est pas converg´ee. Les profils `a x/LR = 1 de cette vitesse moyenne conditionnelle sont aussi montr´es dans la figure 4.15 pour diff´erentes valeurs du seuil H. Avec H ≥ 3, les profils sont tr`es ´eloign´es des profils o`u H < 3. Avec H < 3, les profils gardent une forme identique. On pr´ef`ere choisir une valeur H ≤ 2.5 de mani`ere `a assurer l’ind´ependance de la moyenne vis-`a-vis du seuil. Dans la suite, nous avons choisit H = 1 de mani`ere `a avoir un grand nombre d’´ev`enements.
Le calcul de la moyenne conditionn´ee `a la d´epression pari´etale avec le seuil de H = 1 est appliqu´e pour la simulation de DDES et l’exp´erience pour diff´erentes positions de capteurs de pression pari´etale. Afin de voir l’´evolution en temps de la structure de moyenne conditionnelle, on introduit ´egalement un d´ecalage en temps ∆t. On peut donc ´ecrire la moyenne calcul´ee comme U (X, t − ∆t) |cmin
p (X0, t) . Cette moyenne conditionn´ee `a la d´epression au recollement avec un temps de d´ e-calage positif et n´egatif est montr´ee dans la figure 4.16.
Dans le cas o`u ∆t = 0 on trouve une structure tourbillonnaire (d´etect´ee par le crit`ere Q) juste au dessus du point de r´ef´erence o`u est pris la condition. Ceci est obtenu pour l’exp´erience et la simulation, et en bon accord avec les ´etudes de
Figure 4.14 : Vitesse hU/U∞i de moyenne conditionn´ee `a la d´epression pari´etale au recollement pour l’exp´erience avec le seuil H vari´e ; 5 points choisis en x/LR= 0.75, 1, 1.25 et y varie pour ˆetre en proche paroi yp/LR= 0.02, en r´egion de grande cisaillement yp/LR= 0.1, au limite de couche limite yp/LR= 0.2
Figure 4.15 : Profils de hU/U∞i `a x/LR= 1 de moyenne conditionn´ee `a la d´epression pari´etale au recollement pour l’exp´erience avec le seuil H vari´e
4.2. Estimation des structures `a grande ´echelle `a partir de la pression pari´etale
Kiya et al. En variant le temps de d´ecalage, on observe l’´evolution de ce tourbillon. Une fois lˆach´e, ce tourbillon est convect´e en aval du recollement moyen. Durant son transport vers l’aval, l’intensit´e de ce tourbillon diminue et sa taille augmente.
On cherche `a ´evaluer de mani`ere quantitative l’´evolution des tourbillons en moyenne conditionnelle selon le temps de d´ecalage. En d´efinissant une limite du tourbillon conditionnel avec un contour de Q = Qlim, on peut trouver la surface A et la valeur Qmaxau sein de cette r´egion. L’aire ainsi d´efinie est sensible au choix de Qlim. La valeur Qlim= 0, qui devrait ˆetre utilis´ee d’apr`es la d´efinition du crit`ere Q ([Hun88]) conduit `a des contours mal d´efinis du fait des erreurs de convergence de la moyenne ou des erreurs de mesure dans l’exp´erience. En pratique, on choisit donc une valeur faible Qlim = 0.01U2
∞/e2. On doit cependant consid´erer l’aire d´eduite avec ce seuil avec pr´ecaution. En effet, si l’intensit´e du tourbillon d´ecroit selon x, la limite du tourbillon varie aussi selon x. Pour cette raison, le terme d’aire doit ici ˆetre plutˆot compris comme un param`etre de comparaison entre la simulation et l’exp´erience. Le centre Xc= (xc, yc) du tourbillon est ´evalu´e avec le barycentre de crit`ere Q. Pour caract´eriser une structure on d´efinit aussi l’int´egrale QA du crit`ere Q sur sa surface. Les diff´erentes quantit´es sont ainsi calcul´ees comme :
Xc= X (ΩQi⊂ΩQ) h XiQiΩQi i X (ΩQi⊂ΩQ) h QiΩQi i A = X (ΩQi⊂ΩQ) h ΩQi i QA = X (ΩQi ⊂ΩQ) h QiΩQi i (4.1)
Ici les ΩQi sont les surfaces des mailles `a l’int´erieur du domaine ΩQ limit´e par le crit`ere Q > Qlim. En rep´erant les positions successives du centre des structures ainsi d´efinies `a diff´erents temps de d´ecalage, on estime aussi la vitesse de convection Uc par d´erivation, avec un simple sch´ema centr´e.
La comparaison de l’´evolution des caract´eristiques du tourbillon conditionnel issu de la simulation et de l’exp´erience est montr´ee dans la figure 4.17. Les po-sitions des tourbillons d´etect´es sont tr`es similaires dans les deux cas, et donc la vitesse de convection Uc sont en bon accord. Quand x augmente, le barycentre du tourbillon monte l´eg`erement en aval du recollement, et la vitesse de convection augmente un peu. La vitesse de convection du tourbillon est estim´ee de l’ordre Uc/U∞ ∼ 0.6, qui est du mˆeme ordre de grandeur que la vitesse de convection d´eduite de la corr´elation de vitesse dans le chapitre 3. La d´ecroissance de l’inten-sit´e de tourbillon conditionnel est bien montr´ee dans les courbes de valeur Qmax et
Figure 4.16 : Moyenne conditionn´ee `a la d´epression pari´etale `a x/LR ∼ 1 avec un seuil H = 1 fois valeur de l’´ecart-type pour l’exp´erience (`a gauche) et la simulation de DDES (`a droite). Le temps d´ecal´e de l’´ev`enement de d´epression ∆tU∞/e = −2; 0; +2; +4; +6 respectivement de haut en bas
4.2. Estimation des structures `a grande ´echelle `a partir de la pression pari´etale
Figure 4.17 : Caract´eristiques de tourbillons de moyenne conditionnelle de la d´ epres-sion pari´etale `a x/LR ∼ 1 pour l’exp´erience et la simulation de DDES avec un seuil H = 1
celles de l’int´egrale QA. La simulation sous-estime l’aire et l’int´egrale QA, ce qui indique que les tourbillons dans le cas de l’exp´erience sont plus grands que dans la simulation. Ceci est li´e `a la sous-estimation des ´echelles int´egrales temporelles et spatiales dans la simulation DDES. On trouve cependant un bon accord quant `a l’´evolution de ce param`etre de l’aire qui augmente selon x en aval du recollement.
Cette ´etude donne une premi`ere ´evaluation de l’´evolution des tourbillons lˆach´es. On doit cependant noter que l’introduction du temps de d´ecalage pour la moyenne conditionnelle conduit `a une perte de corr´elation entre le signal de r´ef´erence (pres-sion) et les quantit´es moyenn´ees (vitesse). La d´ecroissance observ´ee de l’intensit´e du tourbillon conditionnel est donc influenc´ee par cet effet. De plus, la moyenne conditionnelle ainsi effectu´ee est uniquement bas´ee sur la condition d’un minimum de pression. Mˆeme avec l’usage d’un seuil, ceci n’assure pas que tous les ´ev` ene-ments participant `a cette moyenne sont de mˆeme nature. Dans la suite, on essaie de pallier ces d´efauts par l’utilisation d’une estimation stochastique multi-points, multi-temps.