ont des formes diff´erentes, il existe des tourbillons de fer `a cheval (hairpins) aux alentours du recollement et des petites structures de forme plus al´eatoire. Les hair-pins semblent d´etruits en convectant durant leur transport en aval au dessus de la couche limite en formation.
Figure 1.17 : Contour instantan´e λ2 = −0.1 de la simulation (LES) pour la plaque ´
epaisse de Suksangpanomrung et al. ([Suk00])
Un autre champs instantan´e pour la marche descendante est montr´e dans la figure 1.18 avec les diff´erentes conditions aux limites. Les structures tourbillonnaires sont d´etect´ees par les iso-surfaces du crit`ere Q = 0.5U2
0/h2 (voir ce crit`ere en d´etail dans le chapitre 2). Les structures sont tr`es compliqu´ees, plus 2D proche du bord d’attaque. Les hairpins sont plus difficiles `a observer et semblent group´es en grands paquets avec les petites structures de formes non-d´etermin´ees. Il est ´etonnant de constater que la pr´esence de structure quasi 2D proche du bord d’attaque ne se refl`ete pas dans les mesures d’´echelle int´egrale transversale de Kiya et al. (figure 1.13). Ils travaillent toutefois `a un nombre de Reynolds plus grand et leur courbe en x = 0 est extrapol´ee.
Les structures instantan´ees sont vraiment tr`es ´eloign´ee de grosses structures transversales. Ce sont des tourbillons ayant beaucoup d’´echelles diff´erentes. Donc elles ont besoin des analyses de plus pour comprendre mieux la dynamique de tourbillon. Les outils d’analyse des structures coh´erentes sont cit´es dans les sections suivante.
1.3 Lien avec la pression
Depuis longtemps, les a´erodynamiciens et a´eroacousticiens s’int´eressent aux liens entre structures d’´ecoulement dans la couche limite et pression pari´etale. Le
Figure 1.18 : Contour instantan´e Q = 0.5U02/h2de la simulation (LES) pour la marche descendante d’Aider et al. ([Aid08]) avec la condition `a l’entr´ee du bruit blanc (gauche) et du calcul pr´ecurseur (droite)
.
but est de trouver une solution pour am´eliorer et d´evelopper les applications in-dustrielles o`u les bruits, la vibration et la fatigue sont ind´esirables.
Du point de vue math´ematique, la d´ependance de la pression pari´etale au champ de vitesse dans l’´ecoulement turbulent incompressible est montr´ee dans l’´equation de Poisson 1.2, obtenue en prenant la divergence de l’´equation de bilan de la quan-tit´e de mouvement (Navier-Stokes) :
52p = −ρ∂
2(uiuj) ∂xi∂xj
(1.2)
Cette relation est cit´ee par Willmarth ([Wil75]). Naguib et al. ([Nag01]) l’ont d´evelopp´e pour une couche limite. Dans cette couche limite, on a l’homog´en´eit´e en direction longitudinale (x) et en direction transversale (z) o`u une source de pression est s´epar´ee aux deux termes : le premier dit le terme rapide ou terme lin´eaire (son influence directe vient de l’interaction entre le gradient de la vitesse moyenne et la turbulence), le deuxi`eme dit terme lent ou terme non-lin´eaire (son influence vient de l’interaction de turbulence-turbulence) (voir ´equation 1.3).
1 ρ 52p = −2dU dy ∂v0 ∂x − ∂ 2(u0iu0j) ∂xi∂xj (1.3)
Dans les ´equations 1.2 et 1.3, ρ est la densit´e du fluide, uiest la vitesse totale, U est la vitesse moyenne longitudinale, u0i est la fluctuation de vitesse. En supposant la moyenne de pression nulle (donc la pression p dans les ´equations devient la fluctuation p0), p0 = 0 dehors de la couche limite et ∂p0/∂y = 0 sur la paroi, la solution pour la pression pari´etale (x = x0, y = 0, z = z0) est d´eduite dans
1.3. Lien avec la pression
l’´equation 1.4 comme l’int´egrale volumique dans le domaine de fluide Vs.
p0(x0, 0, z0, t) ρ/2π = − Z Z Z Vs 2 dU dy ∂v0 ∂x(xs, ys, zs, t) p(xs− x0)2+ y2 s + (zs− z0)2dVs − Z Z Z Vs ∂2(u0iu0j) ∂xi∂xj (xs, ys, zs, t) p(xs− x0)2+ y2 s + (zs− z0)2dVs (1.4)
L’´equation 1.4 traduit la non-localit´e de la pression pari´etale, c’est-`a-dire que la fluctuation de la pression est influenc´ee par la fluctuation de la vitesse non seulement en un point mais encore aux points voisins.
Figure 1.19 : Tourbillon conditionnel de la pression pari´etale propos´e par Kiya et al. ([Kiy85])
Revenant `a notre cas de la plaque ´epaisse, la forte interaction entre la pression pari´etale et la couche limite donne un lien fort entre les signaux de pression pari´etale et les structures coh´erentes cr´ees dans cette couche limite. Kiya et al. ([Kiy85]) a utilis´e la moyenne conditionn´ee par les pics/vall´ees de la fluctuation de pression pari´etale au recollement moyen avec un certain seuil. Ils ont montr´e l’existence d’un large syst`eme de rotation dans le sens anti-horaire, donc interpr´et´e par un tourbillon de grande ´echelle qui passe au dessus quand la pression pari´etale est minimale (vall´ee). Le centre de ce tourbillon semble-t-il se situe `a y/LR ≈ 0.18. L’´ev`enement de pic de la pression pari´etale est associ´e `a la zone au milieu de deux tourbillons cons´ecutifs, la distance entre eux est environs 0.6LR. L’analyse du tourbillon montre que son axe majeur est inclin´e de 45◦, en bon accord avec le tourbillon pr´evu par le champs de corr´elation (Rp0u0,Rp0v0) (revoir la figure 1.9). Kiya et al. proposent aussi la forme du tourbillon conditionnel `a partir des analyses de vitesse conditionnelle aux plans diff´erents qui est montr´ee dans la figure 1.19, n´eanmoins la forme de fer `a cheval avec deux pieds en distance de 0.6LR n’est pas bien justifi´ee, peut-ˆetre est ce simplement une forme de rouleau.
On trouve aussi beaucoup d’´etudes pour la d´emonstration de la relation entre la pression pari´etale et la structure de la couche limite. Cette relation est d´ecouverte essentiellement `a partir des calculs de moyenne conditionn´ee par la pression pari´ e-tale. Tous les ´etudes donnent une conclusion d’un lien strict entre eux. La moyenne conditionnelle hu0|Ei est la meilleure estimation de u0 quand l’´ev`enement E a lieu (voir Adrian [Adr94]). Les champs de vitesse conditionn´ee dans la couche limite montrent l’image des structures organis´ees “en moyenne” ([Tho83]). Le champs de la vitesse conditionn´ee est aussi analys´e dans les ´etudes de Johansson et al. ([Joh87]) o`u le seuil choisi pour l’´ev`enement de pic/vall´ee de la fluctuation de pression pa-ri´etale est plus justifi´e.
Une autre approche est l’estimation stochastique. L’id´ee est d’estimer la moyenne conditionnelle hu0|Ei en fonction de l’´ev`enement E (ici E est la fluctuation de la pression pari´etale). Si on garde que le premier ordre de pr´ecision, on obtient l’es-timation stochastique lin´eaire (LSE) o`u hu0|Ei est une fonction lin´eaire de E (voir les d´etails de la m´ethode dans le chapitre prochain). Pour am´eliorer la pr´ecision ou mieux repr´esenter la physique, on peut ajouter des ordres plus hauts (donc par exemple l’estimation stochastique quadratique QSE). Adrian a cit´e dans ses ´etudes ([Adr94]) qu’il y a d´ej`a un tr`es bon accord d’estimation avec LSE dans beaucoup de types d’´ecoulement surtout dans les cas domin´es par la convection comme notre cas de la plaque ´epaisse. Ruiz et al. ([Rui10]) ont utilis´e LSE pour reconstruire le champs de vitesse `a partir de la pression pari´etale dans l’´ecoulement d’interaction entre le sillage d’un disque rond et une paroi. Hudy et al. ([Hud07]) appliquent LSE et aussi QSE pour l’´ecoulement d’une marche descendante, avec pour condi-tion un seul point de pression pari´etale (vers le recollement). Il obtient bien les structures de tourbillon au dessus de ce point quand il prend un ´ev`enement de val-l´ee de cette pression p0 = −5prms. Un ´ev`enement de pic de pression (p0 = +5prms) donne une image de point de condition au milieu de deux structures de vorticit´e. Il conclut que la QSE augmente les d´etails d’´ecoulement mais qu’en g´en´eral, la LSE montre aussi bien les caract´eristiques d’´ecoulement des grandes ´echelles. Naguib et al. ([Nag02], [Nag01]), dans ses ´etudes de plaque d’obstacle/plaque de s´eparation, propose d’ajouter des termes d’ordre plus grand (quadratique, voire plus pour les grands Re) qui ont un lien `a la g´en´eration de la pression pari´etale par la source non-lin´eaire pour assurer la pr´ecision. De plus, comme montr´e par Kim ([Kim89]), la source non-lin´eaire est aussi important que celle lin´eaire dans l’´equation de Pois-son. La pr´ecision peut ˆetre am´elior´ee en utilisant plus de points de condition pour LSE, dit mLSE (LSE multi-points) ([Adr94]). La mLSE est utilis´ee aussi par Hudy et al. ([Hud07]), il montre que la mLSE repr´esente bien les caract´eristiques r´eelles instantan´ees des mouvements organis´es de grande ´echelle. Dans les ´etudes pour la configuration la plaque d’obstacle/plaque de s´eparation, en aval de recollement