3.2 Analyse statistique
3.2.3 Analyse spectrale
On analyse les fr´equences caract´eristiques de l’´ecoulement en estimant la densit´e spectrale de puissance (DSP) de signaux de vitesse ou de pression diff´erents points de l’´ecoulement. Les DSP sont ´evalu´ees en utilisant la m´ethode du p´eriodogramme moyenn´e de Welch ([Wel67]). La largeur de la fenˆetre temporelle (rectangulaire) utilis´ee est la mˆeme pour la simulation et pour l’exp´erience de mani`ere `a ne pas biaiser la comparaison. Celle-ci est ajust´ee de mani`ere `a obtenir un compromis entre r´esolution spectrale et variance des DSP estim´ees. Ici, une fenˆetre d’une du-r´ee de l’ordre de 20 p´eriodes de lˆachers tourbillonnaires est retenue. Dans le cas de la simulation, l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e permet ´egalement de moyenner les p´eriodogrammes selon la direction z.
3.2. Analyse statistique
Figure 3.18 : S´erie de champs instantan´es issus de la simulation de DDES, iso-surface Q = 3 U2
∞/e2, le d´ecalage de temps entre deux images cons´ecutives est 0.4e/U∞. Le plan visualis´e est (x, z)
Figure 3.19 : Spectres de vitesse DSP(u) (`a gauche) et DSP(v) (`a droite) pour la si-mulation et l’exp´erience `a x/LR = 1.0 pour yp/LR = 0.05; 0.1; 0.15; 0.2 respectivement de haut en bas
3.2. Analyse statistique
x = LR) dans diff´erentes r´egions de l’´ecoulement : proche de la paroi en yp/LR = 0.05, dans la r´egion cisaill´ee o`u les contraintes sont maximales en yp/LR = 0.1, et au dessus de la r´egion cisaill´ee en yp/LR = 0.15 et yp/LR= 0.2. Les spectres de u sont domin´es par une contribution basse fr´equence et ne pr´esentent pas de fr´equence caract´eristique particuli`ere. En revanche, les spectres de v mettent en ´evidence une contribution large bande centr´ee sur f e/U∞ ' 0.12 pour l’exp´erience, clairement identifiable `a yp = 0.15 et yp = 0.2, au dessus de la zone cisaill´ee. Cette fr´equence, si elle est adimensionn´ee avec LR, est de l’ordre de f LR/U∞ ' 0.65 et est carac-t´eristique du lˆacher tourbillonnaire en aval de la bulle de recirculation, en accord avec la litt´erature. A mesure que l’on se rapproche de la paroi, cette contribution est de moins en moins identifiable, comme on peut le voir sur les spectres de v en yp/LR = 0.1 et yp/LR = 0.05. Cet aspect est ´egalement report´e par les ´etudes de Kiya et al. ([Kiy83]), qui expliquent que les spectres sont plus largement influen-c´es par la contribution du mouvement d´esorganis´e. On obtient une comparaison satisfaisante des spectres issus de la simulation par rapport `a l’exp´erience, tant au niveau de la dominance des basses fr´equences pour la composante u, qu’au niveau de la contribution du lˆacher tourbillonnaire sur les spectres de v, mˆeme si cette fr´equence, que l’on observe plutˆot dans la gamme de fr´equence f e/U∞ ' 0.15 ÷ 0.2 est surestim´ee par rapport `a l’exp´erience. La diff´erence de niveau sur les spectres au dessus de la zone cisaill´ee est `a relier `a la position de celle-ci. En effet, il a ´
et´e observ´e dans le paragraphe pr´ec´edent que les extrema des contraintes se si-tuent l´eg`erement plus proche de la paroi dans le cas de la simulation. Les positions yp/LR = 0.15 et yp/LR = 0.2 se situent donc “plus en dehors” de la zone cisaill´ee pour la simulation que pour l’exp´erience et ceci explique les niveaux plus faibles observ´es `a un mˆeme point. L’´evolution de l’allure des spectres est cependant en bon accord.
Afin d’analyser l’´evolution des fr´equences caract´eristiques depuis le bord d’at-taque, nous avons plac´e des sondes `a diff´erentes abscisses x dans la couche cisaill´ee, en se basant sur les lieux o`u les contraintes turbulentes sont maximales. Les po-sitions yp des extrema des contraintes hu2i, hv2i et huvi sont trac´ees sur la figure 3.20. On voit que ces positions sont identiques pour la simulation et l’exp´erience jusqu’`a la moiti´e de la bulle de recirculation et qu’en aval, la couche cisaill´ee semble un peu plus proche de la paroi dans le cas de la simulation, comme cela a d´ej`a ´et´e observ´e. Les lieux o`u hu2i, hv2i et huvi sont extr´emales sont presque identiques.
La figure 3.21 montre l’´evolution des spectres de u et v dans la couche cisaill´ee entre le d´ecollement au bord d’attaque et le recollement moyen. Ces spectres ne sont issus que de la simulation, car les donn´ees PIV dans cette r´egion ne sont pas r´esolues en temps. Proche du bord d’attaque, les spectres semblent pr´esenter deux gammes de fr´equences particuli`eres. Une contribution basse fr´equence centr´ee
Figure 3.20 : Lieux des contraintes extr´emalesu2 , v2 , huvi respectivement de haut en bas pour l’exp´erience et la simulation (les coordonn´ees sont adimen-sionn´ees par LR)
sur f e/U∞ ' 0.025 est d’abord observ´ee. Cette basse fr´equence est de l’ordre de 1/6 de la fr´equence du lˆacher tourbillonnaire identifi´ee plus haut et semble correspondre `a la fr´equence de battement de la couche cisaill´ee identifi´ee par Kiya et al. ([Kiy83]). Cette fr´equence ne d´epend pas de x et n’est clairement identifiable que proche du bord d’attaque, en accord avec la litt´erature. On voit aussi une haute fr´equence, qui elle, diminue quand on s’´eloigne du bord d’attaque, jusqu’`a la fr´equence du lˆacher tourbillonnaire au recollement. Ce r´esultat est en bon accord l’´evolution des spectres de pression pari´etale report´ee par Cherry et al. ([Che84]). En suivant [Che84], cette fr´equence r´esulte de l’instabilit´e de Kevin-Helmholtz et des appariements des tourbillons, lors du d´eveloppement de la couche cisaill´ee. Les niveaux ´energ´etiques associ´es `a cette fr´equence augmentent avec x, conform´ement `
a l’accroissement des contraintes turbulentes jusqu’au recollement moyen.
La figure 3.22 compare les spectres de vitesse dans la r´egion du recollement et en aval avec ceux issus de l’exp´erience. On observe d’abord l’influence de la paroi en aval du recollement, o`u la fr´equence du lˆacher tourbillonnaire n’´evolue pas, l’amplitude des spectres, elle, diminuant sensiblement avec x, en accord avec la forte diminution des contraintes dans cette r´egion. Comme d´ej`a observ´e sur la figure 3.19, on retrouve un bon accord entre simulation et exp´erience.
Les mˆemes caract´eristiques sont observ´ees sur les spectres de pression pari´etale. On retrouve la mˆeme ´evolution en x sur la figure 3.23 qui montre les DSP de pression pari´etale dans la zone de recirculation, avec notamment une forte contribution des basses fr´equences proche du bord d’attaque, et une fr´equence associ´ee aux instabi-lit´es dans la couche cisaill´ee qui diminue vers la fr´equence du lˆacher tourbillonnaire
3.2. Analyse statistique
Figure 3.21 : Spectres de vitesse DSP(u) (`a gauche et DSP(v) (`a droite) pour la si-mulation `a x/LR = 0.1 ÷ 1.0 sur la ligne des contraintes extr´emales en amont du recollement moyen
Figure 3.22 : Spectres de vitesse DSP(u) (`a gauche) et DSP(v) (`a droite) pour l’exp´ e-rience et pour la simulation `a x/LR = 0.6, 1.0 et 1.5 respectivement de haut en bas sur la ligne des contraintes extremales
3.2. Analyse statistique
Figure 3.23 : Evolution depuis le bord d’attaque des spectres de pression pari´etale pour la simulation selon x
vers le recollement, en accord par Cherry et al. ([Che84]) (voir 1.14).
La figure 3.24 repr´esente les spectres de pression pari´etale aux positions x/LR = 1, 1.25 et 1.5. Le niveau global des fluctuations diminue fortement en aval du re-collement moyen, en accord avec les observations faites sur le coefficient Cp0. Pour l’exp´erience, on retrouve une contribution large bande centr´ee sur f e/U∞ ' 0.12 que l’on identifie de plus en plus clairement `a mesure que x augmente, et qui est `a associer au lˆacher tourbillonnaire. Cette fr´equence n’´evolue plus en aval du recol-lement. Pour la simulation, on retrouve la surestimation des fr´equences du lˆacher tourbillonnaire d´ej`a observ´ee sur les spectres de vitesse. On retrouve ´egalement la surestimation du niveau de Cp0 observ´ee dans le paragraphe pr´ec´edent au niveau du recollement. En ce qui concerne l’´evolution des spectres avec x, la mˆeme tendance que dans l’exp´erience est observ´ee dans la simulation.