Le modèle du miroir oscillant

Avant de décrire l'eet Doppler induit par un miroir oscillant, intéressons-nous au décalage de fréquence induit par un miroir en mouvement uniforme à la vitesse v constante sur lequel se rééchit une onde plane de fréquence ωi. Les champs électriques incident Ei [en rouge] et rééchi Er [en bleu] (de fréquencesωi et ωr) s'écrivent :

2.4. Harmoniques Doppler

Fig. 2.7 Illustration du calcul des courants retardés en 1D [29]. En (a) une source harmonique placée en z = z0 émet pendant trois périodes optiques. Le courant transverse associé à cette source est

tracé en échelle de couleur. En (b) cette source est animée d'une vitesse de l'ordre de c. les droites en traits continus représentent les chemins d'intégration en (0, t) et (0, t + dt), celles en pointillés correspondent au cas où on considère que l'information se déplace à vitesse innie.

123423 5

6

6

7

7

Fig. 2.8  Eet Doppler électromagnétique créé par un miroir en mouvement uniforme à la vitesse v. Le champ rééchi Er a une fréquence ωr supérieure à celle ωi du champ incident Ei, dans

le cas où le miroir se déplace vers le champ incident.

. Ei(z, t) ∝ cos ωi  t + z c  (2.16) Er(z, t) ∝ cos ωr  t − z_c (2.17) (2.18) A la surface du miroir (supposé parfait), on a Ei(zs, t) = −Er(zs, t), où zs = vt désigne la position du miroir. On en déduit la relation :

ωr ωi

= 1 + β

1 − β = (1 + β)

Chapitre 2. Génération d'harmoniques sur miroir plasma

avec β = v/c et γ = 1/p1 − β2. Pour une vitesse relativiste γ ≫ 1, on obtient :

ωr ≈ 4γ2 (2.20)

On voit ainsi que la fréquence du champ rééchi augmente avec la vitesse du miroir : c'est l'eet Doppler. Cette augmentation devient extrêmement forte lorsque v est proche de c. C'est pourquoi ce mécanisme de génération devient dominant pour des intensités I ≫ 1018_W.cm−2_{, associées à une oscillation relativiste des électrons du miroir plasma} sous l'eet du champ laser. Par ailleurs, dans le cas d'un mouvement oscillant avec une vitesse v variant continument, nous verrons dans la suite que le miroir va émettre une distribution continue de nouvelles fréquences.

Le modèle ROM

Le principe du modèle du miroir oscillant a été énoncé pour la première fois par Wilks [30] et al ainsi que Bulanov et al [31], qui attribuèrent la génération d'harmoniques d'ordres élevés à l'eet Doppler produit par l'oscillation relativiste du miroir plasma sous l'eet du champ incident très intense.Trois ans plus tard, Lichters et al [9] proposèrent un modèle analytique 1D, le modèle ROM [Relativistic Oscillating Mirror en anglais], qui décrit le mécanisme de génération d'harmoniques Doppler par un laser de polarisation linéaire [p ou s], en incidence oblique θ sur un plasma surcritique en échelon de densité ne0.

Supposons que la source d'émission harmonique est localisée à la surface du plasma en z = Zm(t). Cette hypothèse est raisonnable ici car le plasma possède une interface raide et une densité électronique ne très importante, si bien que l'épaisseur de peau ls = c/ωpe << λL. Dans cette approximation, le champ Er(z, t) rééchi par le miroir plasma s'écrit donc :

Er(z, t) ≈ µ0

Z Zm(tret)+ls

Zm(tret)

Jt(Zm(tret), tret)dz′ (2.21) où tret= t − Zm(tret)/c + z/cest le temps retardé au point Zm qui tient compte du temps mis par la lumière pour aller de la source à l'observateur. Il en résulte que :

Er(z, t) ≈ µ0lsJt(Zm(tret), tret) (2.22) En utilisant l'expression de la source Jt [équation (2.14)] et celle de γ [équation 2.15], on obtient dans le cas d'une onde polarisée p en incidence oblique θ sur le plasma :

~ Er(z, t) = ωp 2ω0 " _p 1 − (Zm(tret)/c)2 p

1 + a(Zm(tret), tret)2cos θ2 − a(Zm(tret), tret) sin 2θ × (a(Zm(tret), tret) − tan θ) + tan θ



1 + Zm(tret) ls



~x (2.23) où on a supposé que le potentiel vecteur dans (2.14) est uniquement dû au champ incident et que ne = nc en z = Zm [la source étant située au niveau de la surface critique]. Pour déterminer l'expression du champ rééchi Er(z, t), il nous reste à déterminer tret = f (t) pour déduire Zm(tret) connaissant le mouvement du miroir oscillant Zm(t). Zm étant 36

2.4. Harmoniques Doppler dénie de façon récursive par la relation Zm(tret) = Zm(t − Zm(tret)/c + z/c), on peut approcher numériquement tret par la méthode du point xe, en cherchant pour chaque couple (z, t) la limite de la suite dénie par Z0 = Zm(t)et ∀n > 0, Zn+1 = Z(t−(Zn−z)/c). Le modèle de Lichters ne permettant pas de déterminer rigoureusement Zm, on se place dans le cas approché où le mouvement du miroir est dominé par l'oscillation de sa couche électronique sous l'eet de la composante ωL du champ laser incident normale à la cible :

Zm(t) = vm ωL

cos φ (2.24)

où φ = ωLt + φ0 désigne la phase du laser incident sur la cible en z = 0, φ0 = cstsa phase absolue et vm la vitesse d'oscillation des électrons sous l'eet des champs laser incident et rééchi : vm c ≈ 2a sin θc γ ≈ 2a sin θ p 1 + (2a sin θ)2 (2.25)

Sur le panneau de la Fig. 2.9 (b), on a tracé la trajectoire du point de réexion Zm(t)

12 3 2 12 3 2 456 7 87 12 3 2 1392 139A 3 39A 392 456 7 B C 51 7 1A A D 12 3 2 456 7 8E A33 A3A A31F A33 2₅₂ 7   98  8   

Fig. 2.9 Calcul du champ rééchi par le miroir plasma à l'aide du modèle ROM (a) Champ incident à θ = 45° sur le miroir plasma en z = 0, avec a = 3 exp(−t2_/τ2_{)et τ = 5fs (b) Trajectoires Z}

m(t)

(trait pointillés bleus) et Zm(tret)(trait plein rouge) (c) La courbe en traits pointillés bleus représente le

champ laser ar(t)rééchi calculé par le modèle ROM, vu par un observateur en z = −λL. La courbe en

trait plein rouge correspond au champ rééchi ltré entre [15ωL, 60ωL](d) Intensité spectrale du champ

rééchi par le miroir plasma. Cette courbe a été normalisée par sa valeur maximale.

de l'équation (2.24), pour une impulsion gaussienne de prol a(t) = aLexp(−t2/τ2) que l'on a représentée Fig. 2.9 (a). On a également représenté, sur ce panneau, l'évolution de cette trajectoire aux temps retardés Z(tret) vue par un observateur xe en z = −λL. Il apparait que le mouvement de la suface vu par cet observateur n'est pas sinusoïdal. ar

Chapitre 2. Génération d'harmoniques sur miroir plasma

étant proportionnel à Jt(Z(tret), t − Z(tret)/c + z/c), la phase du courant est modulée de façon ultra-rapide par le terme d'oscillation de la surface ωLZ(tret)/c à la fréquence ωL, qui introduit de nouvelles fréquences multiples de ωL dans son spectre. Cet eet est mis en valeur par la panneau (c), sur lequel on a tracé le champ rééchi ar(t, z) en z = −λL. On voit que ce champ est fortement distordu par la modulation de phase et qu'il présente, avec la période du champ incident, des fronts très raides (qui sont associés aux instants où le miroir se déplace dans la direction de l'observateur). Cette forme en dent de scie suggère que le signal est riche en ordres harmoniques, ce que l'on peut vérier sur le panneau (d). An de montrer que ces hautes fréquences sont émises au moment où le champ rééchi présente des fronts raides, on a superposé au champ rééchi en (d), le champ ltré entre les harmoniques 15 et 60. On voit que ces harmoniques sont eectivement produites durant un intervalle de temps très court, aux instants où la vitesse de la surface en direction de l'observateur est maximale. On vérie ainsi que le spectre d'harmoniques en (d) est bien associé, dans le domaine temporel à un train d'impulsions sub-femtosecondes [≈ 170as à mi-hauteur en intensité].

Limites du modèle ROM

Même si cette approche présente l'avantage de donner un sens physique clair à Z(t) [position de la surface critique], elle présente l'inconvénient majeur de n'avoir aucun ca- ractère prédictif. Par exemple, le modèle ROM ne donne aucune information directe sur l'allure du spectre [sa loi de décroissance et sa coupure].

123 4 52 1 4 67 6789 6A 6A89 69 B8C B87 B8A B89 B8D B8E B8B 6FC 6 C6FC 6F    1  2    F 6        1 ! "7 F "A F

Fig. 2.10 Oscillations de densité électronique et impulsions attosecondes. Carte de densité électronique ne(z, t)[niveaux de rouges] et champ émis par le miroir plasma [niveaux de gris] issu d'une

simulation PIC EUTERPE où le champ laser d'amplitude aL= 10est incident sur un plasma à la densité

maximale ne0 = 200nc et de prol exponentiel de gradient L = λL/8.

En outre, le fait d'imposer le mouvement de la surface critique par une fonction ad hoc composée d'une seule ou de deux harmoniques est peu satisfaisant. On voit par exemple sur la Fig. 2.10 que le mouvement de la surface critique est très anharmonique. On voit également que la surface critique eectue deux oscillations durant chaque cycle optique 38

2.4. Harmoniques Doppler mais n'émet pourtant qu'une seule impulsion attoseconde. Il est ainsi nécessaire de déve- lopper un modèle sans hypothèse sur le mouvement de la surface critique.

2.4.3 Le modèle Baeva-Gordienko-Pukhov (BGP)