Emission Cohérente de Sillage (CWE)

q

1 + (~p_e/mec)2 le facteur de Lorentz et ~p0_e,⊥ = −mec tan θ~x l'impulsion initiale qui décrit la dérive du plasma. Finalement, en utilisant l'expression de la vitesse électronique transverse fournie par l'équation (2.13) on aboutit à : J_⊥= ec  ne γ (~a − tan θ~x) + Znisin θ~x  (2.14) où ~a = e~A/mecest le potentiel vecteur normalisé. En utilisant l'expression de ~p_e,⊥donnée par l'équation (2.13) dans le calcul de γ on obtient :

γ = s 1 + (~a − ~x tan θ)2 1 − β2 z (2.15) où βz = ve,z/c désigne la vitesse électronique longitudinale normalisée.

De prime abord, il apparaît que deux grandeurs pourront introduire de nouvelles fré- quences dans le terme source J⊥ : les variations de densité ne et le facteur de Lorentz γ. Nous verrons notamment dans la section suivante qu'un mécanisme de génération d'har- moniques d'ordres élevés est associé aux variations de densité électroniques : l'émission cohérente de sillage (CWE).

Toutefois ce mécanisme n'est pas le seul puisque pour obtenir le champ rééchi Er, l'équation 2.11 montre qu'il faut également intégrer le courant transverse J⊥. Nous ver- rons que cette opération est responsable de la génération d'harmoniques par un autre mécanisme : l'eet Doppler.

2.3 Emission Cohérente de Sillage (CWE)

Dans cette section, on détaille un mécanisme de génération d'harmoniques associé à des oscillations de densité électronique dans le gradient de densité : l'émission cohérente de sillage.

2.3.1 Mécanisme d'émission

L'émission CWE [pour Coherent Wake Emission] est le mécanisme dominant à des intensités modérées de l'ordre de 1016_{− 10}17_W.cm2_{. Elle a lieu à l'intérieur du gradient de} densité et est excitée par les électrons de Brunel. Nous avons vu dans la section précédente que ces électrons sont renvoyés dans le plasma lorsque le champ électrique du laser EL normal à la cible s'inverse. Au sein d'un cycle optique, au fur et à mesure que le champ laser augmente, les électrons de Brunel sont arrachés du plasma. L'électron e1 arraché au début du cycle laser va retourner plus tard dans le plasma avec une vitesse plus grande que l'électron e2 arraché plus tard dans le cycle laser. Leurs trajectoires vont donc se croiser en z1 à l'intérieur du gradient plasma en créant localement un pic de densité électronique. La variation de densité électronique suite à ce croisement d'électrons est représentée sur la Fig.2.5 (c). Ce pic excite le plasma et déclenche une oscillation de densité à la fréquence de Langmuir locale ωpe(z1). Ces oscillations en z1 émettent alors, par conversion de mode linéaire, une onde lumineuse à la fréquence ωpe dans la direction spéculaire [8].

Chapitre 2. Génération d'harmoniques sur miroir plasma 1 2 3₄ 3₅₆ 789AB9 5_C 5_D 1 2 3_C 1 C 2 3₄ 2 EF5425 74 4231_5 12222314_5 532531_C 3_C 6 7523 5 532 !" !" !4" ! " C

Fig. 2.5  Mécanisme d'émission cohérente de sillage (CWE) (a) Champ laser initial normal à la cible (b) Trajectoires de deux électrons de Brunel à la surface du plasma et se croisant dans le gradient de densité en z1 à la densité n1> nc (c) Evolution de la densité électronique en z = z1 en fonction du

temps t (d) Carte de variation de la densité électronique du plasma sous l'eet du croisement des électrons de Brunel dans le plasma : leurs trajectoires [ligne noire] forment une caustique [pointillés rouges] qui déclenche les oscillations plasma. Comme le plasma est de plus en plus dense en profondeur [prol de densité exponentielle similaire à celui de la Fig. 1.1], la fréquence de Langmuir de ces oscillations ωpe

augmente également.

En appliquant ce raisonnement à l'ensemble des électrons de Brunel, on constate qu'ils vont se croiser à diérentes profondeurs z dans le plasma. Un pic de densité électronique se déplace alors au sein du gradient de densité le long de la courbe en pointillés rouges sur la Fig. 2.5 (d). Dans son sillage, le pic de densité excite le plasma à une fréquence de Langmuir qui dépend de la profondeur. Les oscillations plasmas sont ainsi de plus en plus rapides à mesure que l'on s'enfonce dans le plasma. Celui-ci émet donc une distribution de fréquences allant de ωL pour la densité ne = nc à ωpe0 pour ne = ne0. En outre, comme ces diérentes fréquences sont quasiment émises en phase [8], le plasma émet pendant une durée très courte inférieure au cycle optique du laser.

2.3.2 Propriétés de l'émission CWE

Discutons à présent des diérentes propriétés du rayonnement émis via ce mécanisme. Ces propriétés ont toutes été mises en évidence expérimentalement [8, 19, 27, 28].

2.3. Emission Cohérente de Sillage (CWE) Coupure du spectre à ωpe0

L'émission cohérente de sillage est principalement caractérisée par un spectre dont la fréquence de coupure est limitée à ωpe0. Cette fréquence de coupure dépendra bien sûr du matériau utilisé. Par exemple, la Fig. 2.6 montre un spectre CWE obtenu récemment dans cadre de la thèse de S. Monchocé, en focalisant le laser UHI100 sur une cible en silice pour laquelle ωpe0≈ 20ωL. Dans cette expérience, l'amplitude laser sur cible est de l'ordre de aL = 0.6 [IL ≈ 4 × 1017W.cm−2]. On voit très clairement sur cette gure qu'aucune harmonique CWE n'est émise au delà de la coupure du spectre située en ωe0 = 20ωL.

12 13 14 15 16 17 18 19 2A 21 A AB2 AB4 AB6 AB8 1 1C1 D EF  B 

Fig. 2.6  Spectre expérimental d'harmoniques CWE obtenu sur l'installation laser UHI100. Spectre obtenu en focalisant le laser UHI100 sur une cible en silice pour laquelle ωpe0≈ 20ωL.

L'amplitude laser sur cible dans cette expérience est de l'ordre de aL = 0.6.

Variation des temps d'émission avec l'intensité

Temporellement, l'instant d'émission d'une impulsion attoseconde dans un cycle op- tique laser dépend de l'éclairement laser. L'émission a lieu d'autant plus tôt dans le cycle que l'éclairement est élevé. Ceci est dû à la première étape du processus de génération : la vitesse à laquelle les électrons de Brunel sont renvoyés vers le plasma et se croisent aug- mente avec l'éclairement. Au voisinage du maximum de l'impulsion laser, l'éclairement est sensiblement constant et la période d'émission entre deux impulsions attosecondes est quasiment identique et égale à la période laser TL. Avant le maximum, l'éclairement augmente au cours du temps et la période entre deux impulsions successives diminue. A l'inverse, après le maximum, l'éclairement diminue et la période d'émission augmente. Nous avons vu que cet eet est responsable d'une dérive de fréquence femtoseconde à l'origine d'un élargissement des harmoniques individuelles [Fig. 2.3].

En outre, cet eet a aussi une conséquence spatiale. Comme l'éclairement laser varie au sein de la tache focale, l'instant d'émission des impulsions attosecondes augmente lorsqu'on s'éloigne du centre de la tache. Il en résulte une courbure des fronts d'onde et d'intensité des impulsions émises, responsable d'une divergence relativement élevée des harmoniques de sillage.

Chapitre 2. Génération d'harmoniques sur miroir plasma

2.4 Harmoniques Doppler

Lorsque l'éclairement augmente et dépasse 1018−19_W.cm−2_{, un second mécanisme de} génération d'harmoniques intervient et domine progressivement le signal XUV : l'eet Doppler. Dans un premier temps on montre comment cet eet introduit de nouvelles fré- quences lorsqu'on calcule analytiquement le champ rééchi par l'intégrale des courants retardés. Ensuite, on décrit cet eet plus physiquement en modélisant la réexion d'une onde électromagnétique sur un miroir en mouvement relativiste uniforme. Enn, on pré- sente les diérentes modélisations qui ont été proposées jusqu'à ce jour pour modéliser l'eet Doppler induit par le mouvement oscillant relativiste du miroir plasma. Il convient de noter que même si elles sont diérentes, l'ensemble des approches présentées ici tentent à chaque fois de rendre compte du même eet physique : la génération d'harmoniques par eet Doppler.

2.4.1 L'eet Doppler dans l'intégrale des courants retardés

La Fig. 2.7 illustre comment l'eet Doppler peut modier la fréquence vue par un observateur xe lorsqu'une source se déplace à vitesse relativiste v ≈ c. On rappelle tout d'abord que pour calculer le champ Er(z = 0, t) reçu par un observateur en z = 0, il faut calculer l'intégrale (2.11) du courant sur les demi-droites de pente ±c passant par (0, t). En (a), la source que l'on suppose parfaitement ponctuelle est placée en z0. Comme elle est xe, le signal détecté est identique au signal émis. En (b), la source a une vitesse de l'ordre de c. On observe que durant le temps dt, l'observateur en z = 0 voit trois oscillations complètes du champ alors qu'il n'en voyait qu'une et demie en (a). Les deux paires de droites d'intégration en t et t + dt encadrent en eet (b) à une fréquence deux fois plus élevées qu'en (a), c'est le principe de l'eet Doppler : un observateur immobile reçoit les signaux émis par une source de fréquence ω qui se déplace dans sa direction, à une fréquence ω′ > ω. Dans la suite de cette section, on présente les diérentes ap- proches qui ont été utilisées jusqu'à présent pour modéliser la génération d'harmoniques sur miroir plasma par ce mécanisme. Il est important de noter que même si les modèles analytiques développés pour le mouvement du miroir plasma sont parfois très diérents, ces approches tentent cependant toutes de rendre compte d'un seul et même eet : l'eet Doppler relativiste.

2.4.2 Le modèle du miroir oscillant

Avant de décrire l'eet Doppler induit par un miroir oscillant, intéressons-nous au décalage de fréquence induit par un miroir en mouvement uniforme à la vitesse v constante sur lequel se rééchit une onde plane de fréquence ωi. Les champs électriques incident Ei [en rouge] et rééchi Er [en bleu] (de fréquencesωi et ωr) s'écrivent :