Etude du bruit numérique

Dans la suite, on dénit par bruit numérique, tout artefact numérique non physique qui vient fausser l'interprétation des observables de la simulation, dont notamment les spectres harmoniques. Remarquons que l'on exclut de cette dénition la dispersion numé- rique qui concerne plutôt la propagation du champ harmonique dans le vide et non son émission par le plasma. Le bruit est en général issu des multiples discrétisations opérées 62

3.3. Etude de la génération d'harmoniques à l'aide des codes EUTERPE ET CALDER dans le code particulaire : discrétisation de la fonction de distribution sous forme de ma- croparticules et maillage de l'espace. Il dépend donc essentiellement de la taille du treillis en espace ∆z ainsi que du nombre Np et de la forme [ordre d'interpolation kpoids] des macroparticules utilisées pour décrire l'évolution de fonction de distribution du plasma. Dans ce paragraphe, on réalise une étude paramétrique de la dépendance du bruit en ces paramètres, le but de ce travail étant de fournir un jeu de paramètres numériques per- mettant la réduction du bruit non physique pouvant fausser l'interprétation des spectres. Etant donné le grand nombre de simulations à eectuer, nous réaliserons cette étude à l'aide du code 1D EUTERPE.

Origine du bruit numérique

On s'intéresse ici aux harmoniques générées par une impulsion laser polarisée linéai- rement, en incidence oblique sur le plasma. Les uctuations électromagnétiques dans le champ By proviennent du courant de charge des électrons/ions du plasma J = ρv et ont donc pour origine [39] :

 les uctuations numériques < ρ >noise de densité ρ issues à la fois de l'utilisation d'un nombre ni Np de macroparticules, de la taille du maillage spatial ∆z et de l'ordre des fonctions d'assignation de la charge de ces macroparticules sur les noeuds du maillage à t,

 les uctuations numériques < F >noise dans le calcul de la force de Lorentz F utilisée dans le pousseur de particules pour déduire la vitesse v des ions/électrons du plasma. Le terme < F >noise est calculé à l'aide des champs électromagnétiques et des vitesses des itérations précédentes. Il dépend donc de toutes les uctuations numériques de densité accumulées aux instants inférieurs à t.

L'ensemble de ces uctuations numériques aboutissent à des erreurs de calcul dans les trajectoires des macroélectrons et macroions qui composent le plasma et dont une partie contribue au courant J à l'origine du rayonnement harmonique. On s'intéresse maintenant à une analyse du bruit numérique en termes de fréquences.

Chauage numérique du plasma

D'un point de vue fréquentiel, le maillage spatial et l'introduction de fonctions poids dans la résolution de l'équation de Vlasov entraînent une modication de la relation de dispersion ω = f(k) du plasma. Dans le cas purement électrostatique et pour un plasma non collisionnel [40], la relation physique s'écrit :

1 + ω 2 pe k2_v2 th X  ω |k|vth  = 0 (3.26)

où vth est la vitesse thermique des électrons et X désigne la fonction : X(z) = √1 2π Z _u u − z exp  −u 2 2  du (3.27)

Dans le cas discrétisé, on peut montrer [35] qu'elle devient : 1 − i ˆD(k) ˆG(k)Σl ω2 pe (k − lkg)vth2 X  ω |k − lkg|vth  ˆ W_k2_{poids(k − lk}g) = 0 (3.28)

Chapitre 3. Simulation numérique de la génération d'harmoniques sur cible solide

où ˆWkpoids est la TF par rapport à z de la fonction poids d'ordre kpoids et kg = 2π/∆z.

Les opérateurs fréquentiels ˆD et ˆGassociés à la discrétisation de l'équation de Poisson et au calcul des forces sont dénis de la manière suivante :

ˆ D(k) = isin k∆z ∆z (3.29) ˆ G(k) = Π  k kg   ∆z/2 sin k∆z/2 2 (3.30) où Π est la fonction porte sur la zone principale de Brillouin |k| < kg/2. On voit dans l'équation (3.28) que la fonction poids et les opérateurs de discrétisation ˆDet ˆGmodient la relation de dispersion physique en créant de nouveaux modes numériques ω. Selon les valeurs de ∆z/λDe et kpoids, ils pourront créer des valeurs de ℑ(ω) < 0 non nulles qui correspondent à des modes instables non physiques. Ces modes instables sont associés au bruit causé par les diérentes discrétisations qui créent un chauage numérique du plasma : l'énergie cinétique du plasma augmente dans le temps.

Dans le cas électromagnétique, la relation de dispersion devient plus complexe et l'augmentation du bruit numérique va également dépendre des conditions de l'interaction laser-plasma [aL, gradient L et densité ne0] ce qui rend l'étude plus complexe.

Eet du bruit d'autochauage sur le spectre harmonique

Un eet du bruit d'autochauage sur le spectre harmonique est représenté sur la Fig. 3.7. Sur le panneau (a) on a représenté l'évolution du spectre harmonique en fonction du paramètre ∆z/λDe, où λDedésigne la longueur de Debye électronique (échelle de couleur). Cette carte de couleur a été obtenue à partir de 20 simulations EUTERPE réalisées pour

1 2 3 1 1 2 2 1 2 1 4 565 7

1₆₁

8

94

A

62

B C

D

E 12 1F 2 F     3F 3 3 3  

Fig. 3.7  Inuence du rapport ∆z/λDe sur le spectre harmonique. (a) La carte de couleur

représente le spectre harmonique en fonction du ratio ∆z/λDeexprimé dans le repère de Bourdier. Pour

obtenir ce ratio dans le référentiel du laboratoire, il sut de le diviser par γ3/4

d ≈ 1.6, γd= 1/ cos θ =

√ 2 étant le facteur de Lorentz associé au changement de référentiel. (b) Evolution du chauage numérique ∆E/Ei [Ei étant l'énergie initiale totale dans la boîte de simulation] en fonction du paramètre ∆z/λDe.

20 paramètres ∆z/λDe entre 2 et 8 avec à chaque fois : 64

3.3. Etude de la génération d'harmoniques à l'aide des codes EUTERPE ET CALDER (i) Un laser d'amplitude aL = 6 en incidence oblique θ = 45° sur un plasma de tem- pérature Te = 0.5keV, de prol de densité exponentiel, de longueur de gradient L = λL/20 et de densité plateau ne0 = 200nc,

(ii) Un nombre total de macroparticules Np = 500000 constant, (iii) une fonction d'assignation/interpolation d'ordre kpoids = 4.

Le paramètre ∆z/λDe a été exprimé dans le référentiel de Bourdier. Sur le panneau (b), on constate que la variation d'énergie totale du plasma ∆E exprimée en pourcentage de l'énergie initiale est quasiment constante pour ∆z/λDe < 4 puis augmente ensuite brusquement jusqu'à atteindre 10% pour ∆z/λDe≈ 8. En parallèle on voit sur le panneau (a) que ce chauage numérique du plasma pour ∆z/λDe> 4, s'accompagne de l'apparition d'une résonance non physique en ωr≈ 20ωLet d'une chute de l'intensité des harmoniques, voire même de leur disparition pour les ordres les plus élevés n > 20. La réduction du bruit d'autochauage est donc essentielle pour pouvoir correctement interpréter les spectres harmoniques.

Comment réduire le bruit et éviter le chauage numérique ?

An de limiter l'inuence du bruit numérique sur le spectre, on devra donc maintenir un rapport ∆E/Ei constant et le plus faible possible tout au long de la simulation. Nous avons étudié l'évolution de ce rapport avec le pas spatial ∆z/λDe, le nombre de macropar- ticules Np et l'ordre de la fonction poids kpoids à l'aide du code EUTERPE. Dans toutes les simulations réalisées, on considère une impulsion laser polarisée p, d'amplitude aL= 6 et de durée τL = 24TL pied à pied, incidente avec un angle θ = 45° sur un prol de densité plasma exponentiel, de longueur de gradient L = λL/20 et de densité maximale ne0 = 200nc. La durée totale de la simulation est de 55 périodes laser TL et on a choisi une température électronique\ionique, Te = 0.5keV \Ti = 0.05keV. Dans ces conditions, la longueur de Debye dans le repère du laboratoire vaut λDe= 3.6 × 10−4λL.

Sur les Fig. 3.8 (a-b) on a représenté l'évolution du chauage numérique ∆E/Ei [en %] en fonction de l'ordre de la fonction d'assignation\interpolation kpoids et du ratio ∆z/λDe exprimé dans le référentiel mobile. Pour kpoids 6 3, le chauage numérique est très important avec une valeur ∆E/Ei > 10% : dans cette zone, on voit sur le panneau (a) que le ratio ∆E/Ei décroît fortement avec l'ordre kpoids et dépend très peu de la taille du maillage spatial ∆z/λDe. Pour kpoids > 4 en revanche, le chauage numérique devient inférieur à 5% et à présent le ratio ∆E/Ei dépend surtout du maillage ∆z/λDe. Il se stabilise pour ∆z/λDe < 4 [courbe verte sur le panneau (b)]. Par ailleurs, pour kpoids = 4, on voit sur le panneau (c) que ∆E/Ei décroît faiblement avec le nombre de macroparticules Np de la simulation.

Ainsi, on voit qu'il est beaucoup plus ecace d'augmenter l'ordre de la fonction poids kpoids pour réduire le chauage numérique plutôt que de diminuer le maillage spatial ∆z/λDe ou augmenter le nombre de macroparticules Np. En outre, il apparaît sur le pan- neau (d) que cette solution augmente très peu le temps de calcul comparé à l'augmentation induite par la diminution du maillage spatial ∆z/λDe [panneau (e)] ou l'augmentation du nombre de macroparticules Np [panneau (f)]. Dans ces conditions d'interaction laser- plasma [aL = 6,L = λL/20], on pourra choisir kpoids = 4, Np = 4 × 105 et ∆z/λDe = 4

Chapitre 3. Simulation numérique de la génération d'harmoniques sur cible solide dans le référentiel mobile pour maintenir un ratio ∆E/Ei inférieur à 0.1%. Le temps de calcul dans ce cas est de l'ordre de 6h CPU. Même si nous avons constaté que pour des valeurs ∆z/λDe, Np et kpoids xées le chauage numérique dépend des conditions d'inter- action (aL,L), les valeurs précédentes susent dans tous les cas à maintenir une valeur ∆E/Ei < 1%acceptable. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 19 12 14 A BC1_DE F    1 2 3 4 5 6 7 5 55 6 65 7 75   F    1 2 3 4 5 6 191 199 191 192 193 _ A  C 2 3 4 5 191 199 191 192 193 A BC1_DE A  C  193 194 195 191 199 A  C 193 194 195 9 95 1 15 2 F        E   !  !  2BC134567_DE 2BC134869 DE  "2 _"3 _"4 _"4 2BC134A6B DE _"4 _"4 2BC134A DE 2BC134A DE

Fig. 3.8  Inuence des paramètres ∆z/λDe, kpoids et Np sur le chauage numérique

∆E/Ei. (a) Evolution du chauage numérique ∆E/Ei [en %] avec l'ordre kpoids de la fonction d'as-

signation/interpolation pour deux ratios ∆z/λDe = 5.7 et ∆z/λDe = 2.9 diérents [exprimés dans le

référentiel mobile]. Dans les deux cas, on a choisi Np= 4 × 105macroparticules. (b) Evolution du chauf-

fage numérique ∆E/Ei [en %] avec le ratio ∆z/λDe = 5.7 pour trois ordres kpoids = 2, kpoids = 3 et

kpoids = 4de la fonction d'assignation\interpolation. Le nombre de macroparticules vaut Np = 4 × 105

macroparticules. (c) Evolution du chauage numérique ∆E/Ei[en %] avec le nombre de macroparticules

Np pour kpoids = 4 et ∆z/λDe = 3 xés. (d) Evolution du temps total de simulation tcpu en heures

en fonction de l'ordre kpoids pour des paramètres ∆z/λDe = 3.8 et Np = 4 × 105 xés. (e) Evolution

du temps total de simulation tcpu en heures en fonction du ratio ∆z/λDe = 3.8 pour des paramètres

kpoids= 4 et Np= 4 × 105 xés. (f) Evolution du temps total de simulation tcpuen fonction du nombre

de macroparticules Np pour des paramètres ∆z/λDe= 3 et kpoids= 4xés.

Chapitre 4

Calcul des propriétés spatiales du

champ harmonique généré par le miroir

plasma

Dans ce chapitre, on détaille les traitements numériques que l'on a appliqués sur le champ harmonique fourni par le code PIC 2D CALDER an d'obtenir ses propriétés spatiales et spectrales en champ proche et en champ lointain. Dans un premier temps, on s'intéresse à la propagation d'un champ électromagnétique E dans le vide et on montre que la donnée de son prol spatio-temporel E(x, y, t, z = z0)dans un plan z = z0 orthogonal à sa direction de propagation, sut à déterminer son prol E(x, y, t, z) dans n'importe quel autre plan z à l'aide d'une simple transformée de Fourier. On illustre ensuite comment nous avons calculé l'ensemble des propriétés spatiales du champ harmonique issu du code CALDER en utilisant cette méthode de propagation.

4.1 Propagation d'un champ électromagnétique

Dans cette section, on détaille comment propager un champ électromagnétique connu initialement dans un plan z = z0 vers un plan situé en z, à l'aide d'une approche scalaire, beaucoup moins coûteuse en temps de calcul que l'approche vectorielle utilisée dans le code CALDER [schéma de Yee].

Dans le document Génération d'impulsions attosecondes sur miroir plasma relativiste (Page 65-70)