−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 t/T L a L −2 0 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 t/T L a L 123 143
Fig. 5.4 Eet de la CEP avec la technique de fenêtrage par intensité. Simulation EUTERPE réalisée dans le cas d'une impulsion laser d'amplitude aL = 10, de pro l temporel gaussien de durée à
mi-hauteur τL = 2TL, en incidence oblique θ = 45° sur un plasma de pro l exponentiel possédant une
longueur de gradient L = λL/20 et une densité maximale ne0 = 200nc. La courbe rouge est le champ
ré échi ltré entre les harmoniques 30 et 40, normalisé à chaque fois par sa valeur maximale. On a superposé en bleu le champ électrique du laser incident. (a) CEP φ0= 0(b) φ0= 3π/2
5.2 Le fenêtrage temporel par polarisation
5.2.1 Bref rappel sur l'état de polarisation de la lumière
Soit −→E le champ électrique et −→B le champ magnétique d'une onde électromagnétique se propageant selon le vecteur d'onde −→k = k−→z . Les composantes de −→E selon les axes du repère (x, y) orthogonal à l'axe de propagation z s'écrivent :
Ex = E0xcos(kz − ωLt) (5.3)
Ey = E0ycos(kz − ωLt + ǫ) (5.4)
où ǫ désigne le déphasage entre les composantes Ex et Ey. A partir des équations (5.3) et (5.4), on obtient très facilement l'équation de la courbe paramétrée que décrit le champ électrique au cours du temps dans le plan (x, y) [49] :
Ey E0y 2 + Ex E0x 2 − 2 Ey E0y Ex E0x cos ǫ = sin2ǫ (5.5)
C'est l'équation d'une ellipse d'excentricité χ = E0y/E0xsin ǫcommunément appelée 'po- larisation' du laser. χ = 0 ou χ = +∞ correspondent à une onde polarisée linéairement et |χ| = 1 à une onde polarisée circulairement. Une lumière sera dite non-polarisée lorsque χvarie aléatoirement au cours du temps.
5.2.2 Principe du fenêtrage par polarisation
Cette technique repose cette fois sur la dépendance de l'e cacité de génération harmo- nique ηXU V [plasma ou gaz] en l'ellipticité χ du laser. Par exemple, la gure 5.5 montre la variation de cette e cacité pour les harmoniques Doppler, en fonction de la polarisation
Chapitre 5. Etat de l'art des techniques de génération d'impulsions attosecondes uniques 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
χ
η
XUVFig. 5.5 Evolution de l'e cacité de génération avec l'ellipticité χ du laser. Les points bleus représentent l'e cacité de génération des ordres harmoniques 70 à 80 pour diérentes valeurs de l'ellipticité χ du laser incident. Chaque point correspond à une simulation EUTERPE, dans laquelle un laser de polarisation elliptique χ, d'amplitude aL= 20, de pro l temporel gaussien de durée à mi-hauteur
τL= 5TL est incident avec un angle θ = 0 sur un plasma à bord raide de densité maximale ne0= 50nc.
Les pointillés bleus correspondent à un t gaussien associé aux points de simulation.
du laser incident χ. On voit que ηXU V est maximale lorsque χ = 0 puis décroît fortement à mesure que χ augmente. Cette tendance s'explique simplement dans le cas d'un laser ultra-intense en incidence normale sur un plasma à la densité du solide. Lorsque χ → 1, la partie oscillante de la force de Lorentz à l'origine de la génération d'harmoniques diminue progressivement jusqu'à s'annuler lorsque la polarisation χ du champ incident devient circulaire.
Dans la suite, on nomme χ0 la valeur seuil d'ellipticité au-delà de laquelle l'e cacité de génération chute à 10% de sa valeur maximale, atteinte en χ = 0. En façonnant une impulsion laser dont la polarisation reste à l'état linéaire (i.e χ < χ0) durant au plus un cycle optique on sera en mesure de générer une seule impulsion attoseconde. Cette idée fut proposée pour la première fois dans le cas des harmoniques gaz par Corkum et al [50] qui suggérèrent d'utiliser deux impulsions avec des fréquences légèrement diérentes et des polarisations croisées pour générer la porte. Les impulsions attosecondes les plus courtes, générées à l'aide de cette technique dans un milieu gazeux (≈ 130as), ont été obtenues par Sansone et al [46]. Détaillons brièvement son principe.
Si l'on combine deux impulsions laser d'enveloppes temporelles identiques f(t), de fréquences centrales ω1 et ω2 diérentes et de polarisations orthogonales dans le plan transverse (x, y) à leur direction de propagation z, le champ électrique total s'écrit :
− →E = E0 √ 2f (t) cos ω1t−→x + cos ω2t−→y (5.6) Le champ de l'équation 5.6 peut être construit expérimentalement par l'utilisation de techniques de façonnage d'impulsions ultra-brèves comme par exemple celle proposée par A. Weiner et al [51]. En posant ω = 2π/T = (ω1+ ω2)/2 et ∆ω = ω1− ω2 et en se plaçant dans le repère de référence (x′, y′) tel que la direction de polarisation du laser soit selon − →x' à t = 0, il vient : − →E = E 0f (t) h
cos (ωt) cos (∆ωt/2)−→x' + sin (ωt) sin (∆ωt/2) −→y'i (5.7) 88
5.2. Le fenêtrage temporel par polarisation 1 12 1 32 2 32 12425 1 6 7 8 32 1 322 14 5 4 678 698
Fig. 5.6 Technique du fenêtrage par polarisation (a) Evolution de l'ellipticité χ(t) au cours du temps avec ∆ω/ω = 0.15 (b) Représentation de la trajectoire de l'extrémité du vecteur champ électrique dans l'espace (x,y,z) toujours avec ∆ω/ω = 0.15 et une impulsion laser gaussienne de demi-largeur à 1/e τL= Tχ= 5TL.
Dans l'hypothèse où ∆ω << ω on obtient une ellipticité χ qui dépend du temps selon : χ(t) = − →E .−→y' − →E .−→x' = tan ∆ωt 2 (5.8) L'évolution temporelle de χ est représentée sur la Fig 5.6 (a). C'est une fonction périodique de période Tχ = π/∆ω. Aux instants t = nTχ, la polarisation est linéaire et elliptique pour t 6= nTχ. Si l'on souhaite générer une seule impulsion attoseconde, une première condition est que la durée totale de l'enveloppe f(t) ne dépasse pas 2Tχ. Sur la gure Fig 5.6 (b), on a représenté la trajectoire de l'extrémité du vecteur champ électrique −→E de l'équation 5.6 dans l'espace (x, y, z), pour une enveloppe f(t) gaussienne de demi-largeur τL = Tχ. On s'aperçoit que la polarisation χ reste inférieure au seuil χ0 = 0.3 de génération des harmoniques Doppler (partie rouge) pendant une durée :
δ T = 2 π ω ∆ωarctan χ0 ≈ 1.9 (5.9)
où on a choisi la valeur ∆ω/ω ≈ 0.15 proche de celle réalisable expérimentalement. Cette durée détermine la largeur du fenêtrage temporel. Deux impulsions attosecondes étant séparées par un seul cycle optique T dans le cas des harmoniques Doppler générées à θ = 45°, on pourra considérer que le fenêtrage est e cace si sa largeur δ n'excède pas 2T. Pour une valeur de χ0 xée, on pourra augmenter le paramètre ∆ω/ω pour réduire δ mais au prix d'une diminution de la période Tχ et donc d'une réduction de la durée de l'enveloppe f(t) de l'impulsion laser. On remarque que l'intérêt majeur du fenêtrage temporel par polarisation par rapport au fenêtrage par intensité est que l'on pourra utiliser des impulsions laser un peu plus longues. Par exemple, pour ∆ω/ω ≈ 0.15, on pourra utiliser une impulsion d'au maximum τL = 2Tχ ≈ 17fs pour un laser de période T = 2.55f s.
En revanche, si cette technique a été démontrée expérimentalement dans les gaz [52, 46, 53], elle reste toujours à l'état d'ébauche théorique dans le cas des harmoniques générées sur miroir plasma. La première étude numérique a été menée par Baeva et al [54], dans le cas d'une impulsion laser façonnée avec la technique ci-dessus, de durée τL = 12f s en incidence normale sur un échelon de plasma à la densité du solide. Cette étude montre
Chapitre 5. Etat de l'art des techniques de génération d'impulsions attosecondes uniques qu'il est eectivement possible d'obtenir une impulsion attoseconde unique avec une im- pulsion laser dont la polarisation est à l'état linéaire pendant un cycle optique. Toutefois aucune étude numérique n'a été publiée pour le moment a n d'établir si cette technique est envisageable dans des conditions expérimentales réalistes, pour lesquelles le laser est incident avec un angle θ 6= 0 sur un plasma de pro l de densité exponentiel et de longueur de gradient L. Dans le paragraphe suivant, on propose une méthode nouvelle et originale a n d'étudier si le fenêtrage par polarisation est applicable aux harmoniques Doppler dans ces conditions.
5.2.3 Application au cas des harmoniques Doppler
Il s'agit ici de calculer la largeur de la porte temporelle δ(θ, L) que l'on peut obtenir via la technique de fenêtrage par polarisation appliquée aux harmoniques Doppler, pour une amplitude laser aL= 20, une large gamme d'angle d'incidence 0° < θ < 45° et de longueur de gradient λL/80 < L < λL/10. Dans cette optique, nous avons calculé à l'aide du code EUTERPE, l'e cacité seuil χ0 pour chaque couple de paramètre (θ, L), puis nous en avons déduit la largeur du fenêtrage δ(θ, L) correspondant, à partir de l'équation (5.9). En pratique, le calcul de χ0a nécessité pour chaque couple (θ, L), 7 simulations réalisées avec 7 ellipticités laser χ = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} diérentes. A partir de ces simulations et d'un t non-linéaire analogue à celui de la courbe de la Fig. 5.7, on a pu en déduire la valeur de χ0(θ, L). Pour 10 valeurs de θ = {0°, 5°, 10°, 15°, 20°, 25°, 30°, 35°, 40°, 45°} et 9 valeurs de longueur de gradient L = {λL/80, λL/70, λL/60, λL/50, λL/40, λL/30, λL/20, λL/10}, nous avons dû lancer 630 simulations de 6h CPU chacune, ce qui donne un total de 159 jours CPU sur une station de travail de 16 coeurs et 16Go de mémoire RAM. Grâce à un script de lancement des threads par ots de 15 cas en parallèle (chaque cas tournant sur un coeur diérent), nous avons pu achever l'ensemble des simulations en environ 159/15 ≈ 10 jours. Les résultats sont tracés sur la Fig. 5.7.
Lorsque θ augmente, la partie oscillante de la force de Lorentz à l'origine de la généra- tion d'harmoniques par eet Doppler décroît moins vite avec l'ellipticité qu'en incidence normale. Ceci entraîne une augmentation de la durée du fenêtrage comme nous pouvons le voir sur le panneau (a) représentant l'évolution de δ/TL avec θ et L. De même, lorsque la longueur de gradient L augmente, l'e cacité de génération pour une ellipticité donnée augmente, comme nous pouvons le voir sur le panneau (b) de la Fig. 5.7 dans le cas d'une polarisation linéaire [χ = 0]. Ceci a pour eet d'augmenter la valeur de χ0 et donc de δ.
Au nal, on s'aperçoit que le domaine de θ et L pour lesquels la largeur de fenêtrage est inférieure à 2TL est réduit aux très faibles valeurs de θ < 10° et L < λL/50 [Fig. 5.7 (a)]. Pour ces valeurs, on voit sur la Fig. 5.7 (b) que les e cacités de génération harmonique ηXU V dans la gamme [60ωL, 80ωL] sont très faibles (≈ 10−6), ce qui limite considérablement l'intérêt de la technique du fenêtrage par polarisation dans le cas des harmoniques Doppler.
5.3. Le fenêtrage spatial dans le régime λ3